知识点 平行四边形的判定
1. 两组对边分别的四边形是平行四边形。
2. 两组对边分别的四边形是平行四边形。

1. 平行
2. 相等

【分析】
本题考查平行四边形的基础判定内容，解题时只需回忆教材中平行四边形的定义及判定定理即可作答。首先回忆平行四边形的定义类判定：两组对边的位置关系满足平行时，四边形为平行四边形；再回忆基于边的数量关系的判定：两组对边的长度满足相等时，四边形也为平行四边形，依次对应填空即可。
【解析】
根据平行四边形的判定规则：
1. 由平行四边形的定义可知，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此第一空填“平行”；
2. 根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此第二空填“相等”。
【答案】
1. 平行；2. 相等
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查平行四边形的核心判定定理，是学习平行四边形相关内容的基础，熟练掌握此类基础概念才能顺利解答后续更复杂的平行四边形证明、计算类题目。
【难度系数】
0.9

例1 如图,已知四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D,求证:四边形ABCD是平行四边形。

[点拨] 利用四边形的内角和和已知条件中的对角相等得到邻角互补,从而判定两组对边平行,进而证得结论。
[证明] ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=∠C,∠B=∠D,
∴∠A+∠B=180°,
又∵∠A=∠C,
∴∠B+∠C=180°,
∴AD//BC,AB//CD,
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)。

证明：
∵ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即 ∠A + ∠B = 180°，
∴ AD // BC，
又∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠B + ∠C = 180°，
∴ AB // CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。

【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，可选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定方法。首先利用四边形内角和为360°的性质，结合题目给出的对角相等的条件，推导出邻角之和为180°（即邻角互补），再根据“同旁内角互补，两直线平行”得到两组对边分别平行，最终即可判定四边形为平行四边形。
【解析】
证明：
∵ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即 ∠A + ∠B = 180°，
∴ AD // BC，
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠B + ∠C = 180°，
∴ AB // CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
【答案】
证明：
∵ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即 ∠A + ∠B = 180°，
∴ AD // BC，
又
∵ ∠A = ∠C，
∴ ∠B + ∠C = 180°，
∴ AB // CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
【知识点】
四边形内角和定理；平行线的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题，解题关键是将对角相等的条件结合四边形内角和转化为邻角互补的关系，进而得到对边平行，能帮助学生加深对平行四边形判定定理的理解和应用。
【难度系数】
0.8

变式训练1 | 如图，$△ ABC$中，$AB=AC$，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，$EF=EC$。求证：四边形DBFE是平行四边形。

证明:$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because EF=EC$,
$\therefore ∠ EFC=∠ C$,
$\therefore ∠ B=∠ EFC$,
$\therefore AB// EF$。
又$\because DE// BC$,
$\therefore$ 四边形$DBFE$是平行四边形。

【分析】
要证明四边形DBFE是平行四边形，已知DE//BC，因此只需证明另一组对边BD//EF即可。首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，由AB=AC可得∠B=∠C，再由EF=EC可得∠EFC=∠C，通过等量代换得到∠B=∠EFC，根据“同位角相等，两直线平行”可推出AB//EF，结合已知DE//BC，即可根据平行四边形的判定定理证明结论。
【解析】
证明:$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because EF=EC$,
$\therefore ∠ EFC=∠ C$,
$\therefore ∠ B=∠ EFC$,
$\therefore AB// EF$。
又$\because DE// BC$,
$\therefore$ 四边形$DBFE$是平行四边形。
【答案】
四边形DBFE是平行四边形
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的判定，平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，将等腰三角形性质与平行四边形判定结合考查，解题核心是通过角的等量代换推得一组对边平行，结合已知的平行关系即可完成证明，能很好地锻炼基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

例2 如图,在四边形ABCD中,AD=CB,BD⊥AB,BD⊥CD,求证:四边形ABCD是平行四边形。

[点拨] 由垂线的定义得出∠ABD=∠CDB=90°,根据HL证明Rt△ABD≌
Rt△CDB推出AB=CD,根据平行四边形的判定即可得证。
[证明] ∵BD⊥AB,BD⊥CD,
∴∠ABD=∠CDB=90°。
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)。
∴AB=CD。
又∵AD=CB,
∴四边形ABCD是平行四边形。

证明：
∵BD⊥AB，BD⊥CD，
∴∠ABD=∠CDB=90°。
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)。
∴AB=CD。
又∵AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形。

【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，已知一组对边AD=CB，我们可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需证明另一组对边AB=CD即可。观察图形，由BD⊥AB、BD⊥CD可得△ABD和△CDB都是直角三角形，两个三角形有公共边BD，结合已知AD=CB，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，进而推出AB=CD，最后代入平行四边形判定定理即可得证。
【解析】
证明：
∵BD⊥AB，BD⊥CD，
∴∠ABD=∠CDB=90°。
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)。
∴AB=CD。
又
∵AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【答案】
证明：
∵BD⊥AB，BD⊥CD，
∴∠ABD=∠CDB=90°。
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
$\begin{cases} AD=CB, \\ BD=DB, \end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)。
∴AB=CD。
又
∵AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础应用题，将直角三角形全等的证明和平行四边形的判定相结合，解题的核心是利用垂直条件构造全等三角形得到相等的对边，属于基础题型，需要熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.8