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1.[2023·安徽第7题]如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（
A.$\frac{5}{9}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{9}$
C
）A.$\frac{5}{9}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{9}$
答案
1.C
解析
【分析】
本题属于结合新定义的古典概型计算问题，解题思路如下：首先确定所有等可能的结果总数，即枚举出用1、2、3组成的全部无重复数字的三位数；再根据“平稳数”的定义，逐一判断每个三位数是否满足任意相邻数字差的绝对值不超过1，统计符合条件的结果数；最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先，用1、2、3三个数字组成无重复数字的三位数，所有等可能的结果为：123、132、213、231、312、321，共6种。
根据“平稳数”的定义逐一判断：
1. 123：相邻数字差的绝对值分别为|1-2|=1、|2-3|=1，均≤1，是平稳数；
2. 132：相邻数字差的绝对值|1-3|=2＞1，不是平稳数；
3. 213：相邻数字差的绝对值|1-3|=2＞1，不是平稳数；
4. 231：相邻数字差的绝对值|3-1|=2＞1，不是平稳数；
5. 312：相邻数字差的绝对值|3-1|=2＞1，不是平稳数；
6. 321：相邻数字差的绝对值分别为|3-2|=1、|2-1|=1，均≤1，是平稳数。
综上，符合条件的平稳数共2种，因此所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型计算，枚举法，新定义理解
【点评】
本题将新定义与概率计算结合，核心考查对新定义的准确理解和枚举法的应用，解题时要注意不重不漏地枚举出所有等可能结果，再严格按照定义筛选符合条件的结果即可。
【难度系数】
0.7
本题属于结合新定义的古典概型计算问题，解题思路如下：首先确定所有等可能的结果总数，即枚举出用1、2、3组成的全部无重复数字的三位数；再根据“平稳数”的定义，逐一判断每个三位数是否满足任意相邻数字差的绝对值不超过1，统计符合条件的结果数；最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
首先，用1、2、3三个数字组成无重复数字的三位数，所有等可能的结果为：123、132、213、231、312、321，共6种。
根据“平稳数”的定义逐一判断：
1. 123：相邻数字差的绝对值分别为|1-2|=1、|2-3|=1，均≤1，是平稳数；
2. 132：相邻数字差的绝对值|1-3|=2＞1，不是平稳数；
3. 213：相邻数字差的绝对值|1-3|=2＞1，不是平稳数；
4. 231：相邻数字差的绝对值|3-1|=2＞1，不是平稳数；
5. 312：相邻数字差的绝对值|3-1|=2＞1，不是平稳数；
6. 321：相邻数字差的绝对值分别为|3-2|=1、|2-1|=1，均≤1，是平稳数。
综上，符合条件的平稳数共2种，因此所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型计算，枚举法，新定义理解
【点评】
本题将新定义与概率计算结合，核心考查对新定义的准确理解和枚举法的应用，解题时要注意不重不漏地枚举出所有等可能结果，再严格按照定义筛选符合条件的结果即可。
【难度系数】
0.7
2.[2026·安徽第13题]中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载.数学兴趣小组从《九章算术》中挑选出4个问题作为数学活动材料,其中“开平方”问题和“开立方”问题各2个.在某次活动中,从这4个问题中随机抽出一个进行算法推演,则抽到的是“开平方”问题的概率为
$\frac{1}{2}$
.答案
2.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先判断本题属于每个结果发生可能性相等的古典概型，第一步先统计所有等可能的总情况数，第二步统计抽到“开平方”问题的符合条件的情况数，最后代入概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”即可求出结果。
【解析】
解：从4个问题中随机抽取1个，每个问题被抽到的可能性相等，
∴ 总共有4种等可能的结果，其中抽到“开平方”问题的结果有2种，
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到“开平方”问题})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率公式；等可能事件概率
【点评】
本题以我国古代数学著作《九章算术》为命题背景，既考查基础的概率计算能力，也渗透了传统数学文化，题目难度低，侧重对基础知识的掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先判断本题属于每个结果发生可能性相等的古典概型，第一步先统计所有等可能的总情况数，第二步统计抽到“开平方”问题的符合条件的情况数，最后代入概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”即可求出结果。
【解析】
解：从4个问题中随机抽取1个，每个问题被抽到的可能性相等，
∴ 总共有4种等可能的结果，其中抽到“开平方”问题的结果有2种，
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到“开平方”问题})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率公式；等可能事件概率
【点评】
本题以我国古代数学著作《九章算术》为命题背景，既考查基础的概率计算能力，也渗透了传统数学文化，题目难度低，侧重对基础知识的掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9
3.[2025·安徽第13题]在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20 g和70 g的物品后，天平倾斜(如图所示).现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中,随机选取两件放置在天平的左端托盘上,则天平恢复平衡的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
3.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确天平恢复平衡的条件是左右托盘总质量相等，先计算出左盘需要添加的两件物品的总质量为70g - 20g = 50g。接下来用列举法找出从四件物品中任选两件的所有等可能结果，再统计其中质量和为50g的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可得到答案。
【解析】
解：要使天平恢复平衡，左盘添加的两件物品总质量应为 $70\mathrm{g} - 20\mathrm{g} = 50\mathrm{g}$。
从10g、20g、30g、40g四件物品中随机选取两件，所有等可能的结果为：(10,20)、(10,30)、(10,40)、(20,30)、(20,40)、(30,40)，共6种。
其中两件物品质量和为50g的结果为：(10,40)、(20,30)，共2种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{天平恢复平衡})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，简单组合计数，天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的天平场景考查概率的计算，解题时需先根据平衡条件确定目标质量和，再完整列举所有情况，避免重复或遗漏，属于基础类的概率应用题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确天平恢复平衡的条件是左右托盘总质量相等，先计算出左盘需要添加的两件物品的总质量为70g - 20g = 50g。接下来用列举法找出从四件物品中任选两件的所有等可能结果，再统计其中质量和为50g的结果数，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数）计算即可得到答案。
【解析】
解：要使天平恢复平衡，左盘添加的两件物品总质量应为 $70\mathrm{g} - 20\mathrm{g} = 50\mathrm{g}$。
从10g、20g、30g、40g四件物品中随机选取两件，所有等可能的结果为：(10,20)、(10,30)、(10,40)、(20,30)、(20,40)、(30,40)，共6种。
其中两件物品质量和为50g的结果为：(10,40)、(20,30)，共2种。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{天平恢复平衡})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，简单组合计数，天平平衡原理
【点评】
本题结合生活中的天平场景考查概率的计算，解题时需先根据平衡条件确定目标质量和，再完整列举所有情况，避免重复或遗漏，属于基础类的概率应用题型。
【难度系数】
0.7
1. [2026·巴中中考]一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀。从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步，回忆等可能事件的概率公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有可能的总情况数；第二步，先计算布袋中球的总个数，再明确取出红球对应的情况数就是红球的个数；第三步，将数据代入公式计算，约分得到结果后匹配选项即可。
【解析】
首先计算布袋中球的总数量：$8 + 16 = 24$（个）
根据等可能事件概率公式，取出红球的概率为：
$P(\mathrm{取出红球}) = \frac{\mathrm{红球的个数}}{\mathrm{球的总个数}} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
概率计算公式、等可能事件概率
【点评】
本题是概率基础题型，核心考查对概率公式的直接运用，只要准确找到总情况数和目标事件的情况数，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步，回忆等可能事件的概率公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有可能的总情况数；第二步，先计算布袋中球的总个数，再明确取出红球对应的情况数就是红球的个数；第三步，将数据代入公式计算，约分得到结果后匹配选项即可。
【解析】
首先计算布袋中球的总数量：$8 + 16 = 24$（个）
根据等可能事件概率公式，取出红球的概率为：
$P(\mathrm{取出红球}) = \frac{\mathrm{红球的个数}}{\mathrm{球的总个数}} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
概率计算公式、等可能事件概率
【点评】
本题是概率基础题型，核心考查对概率公式的直接运用，只要准确找到总情况数和目标事件的情况数，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2.[2026·广东中考]某地开展广东非遗走进校园体验活动，有“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个体验项目，小晨和小明各随机抽取一个，
他们恰好抽到同一个项目的概率是 （
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{2}{9}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
他们恰好抽到同一个项目的概率是 （
C
）A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{2}{9}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查两步等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步，明确该事件为小晨、小明两人各独立抽取1个项目，共3种可选项目，属于等可能事件，适合用列表法或树状图法列举所有结果；第二步，统计所有等可能的总结果数，再筛选出两人抽到同一项目的符合条件的结果数；第三步，代入等可能事件的概率公式计算即可得到答案。
【解析】
我们将“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个项目分别记为A、B、C。
通过列表法列举两人抽取项目的所有等可能结果如下：
(小晨A,小明A)、(小晨A,小明B)、(小晨A,小明C)、
(小晨B,小明A)、(小晨B,小明B)、(小晨B,小明C)、
(小晨C,小明A)、(小晨C,小明B)、(小晨C,小明C)
共有9种等可能的结果。
其中两人恰好抽到同一个项目的结果有：(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得：
$P(抽到同一个项目)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
概率公式，列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，难度不大，解题的核心是通过列举法不重不漏地列出所有等可能的结果，再准确匹配符合条件的结果代入公式计算。
【难度系数】
0.8
本题考查两步等可能事件的概率计算，解题思路如下：第一步，明确该事件为小晨、小明两人各独立抽取1个项目，共3种可选项目，属于等可能事件，适合用列表法或树状图法列举所有结果；第二步，统计所有等可能的总结果数，再筛选出两人抽到同一项目的符合条件的结果数；第三步，代入等可能事件的概率公式计算即可得到答案。
【解析】
我们将“广东醒狮”“广绣”“英歌舞”三个项目分别记为A、B、C。
通过列表法列举两人抽取项目的所有等可能结果如下：
(小晨A,小明A)、(小晨A,小明B)、(小晨A,小明C)、
(小晨B,小明A)、(小晨B,小明B)、(小晨B,小明C)、
(小晨C,小明A)、(小晨C,小明B)、(小晨C,小明C)
共有9种等可能的结果。
其中两人恰好抽到同一个项目的结果有：(A,A)、(B,B)、(C,C)，共3种。
根据等可能事件概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得：
$P(抽到同一个项目)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
概率公式，列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，难度不大，解题的核心是通过列举法不重不漏地列出所有等可能的结果，再准确匹配符合条件的结果代入公式计算。
【难度系数】
0.8
3. [2025·山西中考]如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“
”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“
”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“
”回到格子A的概率是
…E—D—A—B—C…
”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子。当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是$\frac{1}{2}$
。…E—D—A—B—C…
答案
3.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要解这道题，我们可以用列举法梳理所有等可能的移动结果，再找出两次点击后回到格子A的结果数，最后根据概率公式计算即可。首先明确初始位置在A，每次移动只能到相邻格子，第一次移动只有向左到D、向右到B2种等可能情况，再对应每种第一次移动的结果，列出第二次移动的所有可能，就能统计出总结果数和符合要求的结果数。
【解析】
我们用树状图列举所有等可能的移动结果：
初始位置：A
第一次移动：
① 向左到D
第二次移动：
向左到E，最终位置为E
向右到A，最终位置为A
② 向右到B
第二次移动：
向左到A，最终位置为A
向右到C，最终位置为C
综上，连续点击两次按钮共有4种等可能的结果，其中最终回到格子A的结果有2种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{回到格子A})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，核心是通过列举法梳理清楚两次移动的所有等可能情况，避免漏数或多数结果，就能快速求出概率。
【难度系数】
0.8
要解这道题，我们可以用列举法梳理所有等可能的移动结果，再找出两次点击后回到格子A的结果数，最后根据概率公式计算即可。首先明确初始位置在A，每次移动只能到相邻格子，第一次移动只有向左到D、向右到B2种等可能情况，再对应每种第一次移动的结果，列出第二次移动的所有可能，就能统计出总结果数和符合要求的结果数。
【解析】
我们用树状图列举所有等可能的移动结果：
初始位置：A
第一次移动：
① 向左到D
第二次移动：
向左到E，最终位置为E
向右到A，最终位置为A
② 向右到B
第二次移动：
向左到A，最终位置为A
向右到C，最终位置为C
综上，连续点击两次按钮共有4种等可能的结果，其中最终回到格子A的结果有2种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{回到格子A})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，核心是通过列举法梳理清楚两次移动的所有等可能情况，避免漏数或多数结果，就能快速求出概率。
【难度系数】
0.8
4. [2025·江西中考]校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是 （
A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是 （
B
）A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.
答案
4.(1)B
(2)两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{1}{6}$.
(2)两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。4个盲盒中仅1个装“数独”卡片，抽取时可能抽到也可能抽不到，据此即可判断事件类型。
(2) 本题为不放回的两步概率求解问题，先将4种卡片标记简化，再用列表法或树状图法列出所有等可能的结果，统计出两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果数，最后根据概率公式计算即可，注意盲盒打开即作废，是不放回抽取，不要误算为有放回抽取。
【解析】
(1) 随机抽取一个盲盒，共有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”4种等可能的结果，抽到“数独”卡片这一事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故选B。
(2) 记“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”卡片分别为A、B、C、D，由于盲盒打开即作废，为不放回抽取，列表如下：
| 小贤\小艺 | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果有2种，分别是(C,D)和(D,C)。
所以所求概率$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)B
(2)两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{1}{6}$。
【知识点】
事件的分类；列表法求概率；概率公式
【点评】
本题结合校园活动情境考查概率基础知识，第一问难度较低，掌握三类事件的定义即可快速作答；第二问需要注意抽取为不放回类型，规范列出所有等可能结果即可准确计算概率，属于概率模块的常规基础考题。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。4个盲盒中仅1个装“数独”卡片，抽取时可能抽到也可能抽不到，据此即可判断事件类型。
(2) 本题为不放回的两步概率求解问题，先将4种卡片标记简化，再用列表法或树状图法列出所有等可能的结果，统计出两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果数，最后根据概率公式计算即可，注意盲盒打开即作废，是不放回抽取，不要误算为有放回抽取。
【解析】
(1) 随机抽取一个盲盒，共有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”4种等可能的结果，抽到“数独”卡片这一事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故选B。
(2) 记“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”卡片分别为A、B、C、D，由于盲盒打开即作废，为不放回抽取，列表如下：
| 小贤\小艺 | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中“华容道”和“鲁班锁”的结果有2种，分别是(C,D)和(D,C)。
所以所求概率$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)B
(2)两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为$\frac{1}{6}$。
【知识点】
事件的分类；列表法求概率；概率公式
【点评】
本题结合校园活动情境考查概率基础知识，第一问难度较低，掌握三类事件的定义即可快速作答；第二问需要注意抽取为不放回类型，规范列出所有等可能结果即可准确计算概率，属于概率模块的常规基础考题。
【难度系数】
0.7
