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10. 新考向·开放性问题（教材P16习题T7变式）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么这个几何体可能是
圆柱、圆锥、球（答案不唯一）
（写出三种可能的情况）。答案
10.圆柱、圆锥、球(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先明确：全由平面围成的几何体（如棱柱、棱锥等）的截面只能是多边形，不可能出现圆，因此要优先考虑含有曲面的几何体。再结合常见带曲面的几何体的结构特征，思考用平面怎么截能得到圆形截面：球无论怎么截截面都是圆；平行于底面截圆柱、圆锥都能得到圆形截面，据此即可写出符合要求的几何体。
【解析】
解：截面的形状为圆，说明该几何体至少有一个曲面（全平面几何体的截面为多边形）。
① 球：任意平面截取球，截面均为圆；
② 圆柱：用平行于圆柱上下底面的平面截取，截面为圆；
③ 圆锥：用平行于圆锥底面的平面截取，截面为圆。
除此之外圆台等几何体也可截出圆，答案不唯一。
【答案】
圆柱、圆锥、球(答案不唯一)
【知识点】
截一个几何体；常见几何体的截面判断
【点评】
本题为开放性试题，考查对几何体截面的判断，需要结合几何体的结构特征进行空间想象，熟记常见几何体的截面类型即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先明确：全由平面围成的几何体（如棱柱、棱锥等）的截面只能是多边形，不可能出现圆，因此要优先考虑含有曲面的几何体。再结合常见带曲面的几何体的结构特征，思考用平面怎么截能得到圆形截面：球无论怎么截截面都是圆；平行于底面截圆柱、圆锥都能得到圆形截面，据此即可写出符合要求的几何体。
【解析】
解：截面的形状为圆，说明该几何体至少有一个曲面（全平面几何体的截面为多边形）。
① 球：任意平面截取球，截面均为圆；
② 圆柱：用平行于圆柱上下底面的平面截取，截面为圆；
③ 圆锥：用平行于圆锥底面的平面截取，截面为圆。
除此之外圆台等几何体也可截出圆，答案不唯一。
【答案】
圆柱、圆锥、球(答案不唯一)
【知识点】
截一个几何体；常见几何体的截面判断
【点评】
本题为开放性试题，考查对几何体截面的判断，需要结合几何体的结构特征进行空间想象，熟记常见几何体的截面类型即可快速作答。
【难度系数】
0.8
11.用一个平面去截以下几何体:圆柱、圆锥、球、三棱柱、长方体、七棱柱.其中能截得三角形截面的几何体有 （
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
11.B
解析
【分析】
解题时需逐个分析题干给出的6种几何体，结合平面截取的不同方向、角度，判断每种几何体是否能得到三角形截面，最后统计符合要求的几何体数量即可。
【解析】
我们对每个几何体逐一判断：
1. 圆柱：无论平面以什么角度截取，截面只能是圆、椭圆、长方形、拱形等，无法得到三角形，不符合要求；
2. 圆锥：当平面经过圆锥顶点且垂直于底面截取时，截面为等腰三角形，符合要求；
3. 球：任意平面截取球，截面都是圆形，无法得到三角形，不符合要求；
4. 三棱柱：当平面平行于三棱柱的底面截取时，截面就是三角形，符合要求；
5. 长方体：当平面同时经过长方体的3个相邻顶点（相当于切掉长方体的一个角）时，截面为三角形，符合要求；
6. 七棱柱：当平面经过七棱柱的3个合适的不共线顶点截取时，可以得到三角形截面，符合要求。
综上，能截得三角形截面的几何体有圆锥、三棱柱、长方体、七棱柱，共4个。
【答案】
B
【知识点】
截一个几何体、截面形状判断、常见几何体特征
【点评】
本题核心考查截面形状的判定，需明确截面的形状既与被截的几何体有关，也与截取平面的方向和角度有关，解题时切忌凭感觉判断，要结合不同截取情况逐一分析。
【难度系数】
0.7
解题时需逐个分析题干给出的6种几何体，结合平面截取的不同方向、角度，判断每种几何体是否能得到三角形截面，最后统计符合要求的几何体数量即可。
【解析】
我们对每个几何体逐一判断：
1. 圆柱：无论平面以什么角度截取，截面只能是圆、椭圆、长方形、拱形等，无法得到三角形，不符合要求；
2. 圆锥：当平面经过圆锥顶点且垂直于底面截取时，截面为等腰三角形，符合要求；
3. 球：任意平面截取球，截面都是圆形，无法得到三角形，不符合要求；
4. 三棱柱：当平面平行于三棱柱的底面截取时，截面就是三角形，符合要求；
5. 长方体：当平面同时经过长方体的3个相邻顶点（相当于切掉长方体的一个角）时，截面为三角形，符合要求；
6. 七棱柱：当平面经过七棱柱的3个合适的不共线顶点截取时，可以得到三角形截面，符合要求。
综上，能截得三角形截面的几何体有圆锥、三棱柱、长方体、七棱柱，共4个。
【答案】
B
【知识点】
截一个几何体、截面形状判断、常见几何体特征
【点评】
本题核心考查截面形状的判定，需明确截面的形状既与被截的几何体有关，也与截取平面的方向和角度有关，解题时切忌凭感觉判断，要结合不同截取情况逐一分析。
【难度系数】
0.7
12. 用四个平面分别截一个几何体，所得的截面如图所示，则这个几何体可能是 （
）
A.圆柱
B.圆锥
C.长方体
D.球
）A.圆柱
B.圆锥
C.长方体
D.球
答案
12.A
解析
【分析】
解题时可通过排除法结合常见几何体的截面特征逐一判断：首先回忆各选项几何体被平面截取时可能出现的截面形状，再与题目给出的4种截面匹配，所有截面都能得到的即为正确答案。首先球的所有截面都是圆，可直接排除；长方体是多面体，截面不可能有曲线，排除；圆锥无法截出长方形，排除；最后验证圆柱的截面是否完全符合即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项D（球）：无论用什么角度的平面截球，得到的截面都是圆，无法得到图①②③的截面，排除D；
2. 选项C（长方体）：长方体的所有截面都是由线段组成的多边形，不可能出现带曲线的圆、椭圆等图形，排除C；
3. 选项B（圆锥）：圆锥的截面可能是圆、椭圆、三角形、拱形等，但无法截出长方形（对应图③），排除B；
4. 选项A（圆柱）：平面平行于底面截取，得圆（对应图④）；平面垂直于底面截取，得长方形（对应图③）；平面倾斜且不与两个底面相交，得椭圆（对应图②）；平面倾斜且仅和一个底面相交，得一边为直线、一边为弧线的图形（对应图①），所有截面均符合。
【答案】
A
【知识点】
截一个几何体；圆柱的截面；截面判断
【点评】
本题考查常见几何体的截面相关知识，解题时用排除法可以快速锁定正确选项，平时要多积累不同角度下常见几何体的截面形状，提升判断的准确度。
【难度系数】
0.8
解题时可通过排除法结合常见几何体的截面特征逐一判断：首先回忆各选项几何体被平面截取时可能出现的截面形状，再与题目给出的4种截面匹配，所有截面都能得到的即为正确答案。首先球的所有截面都是圆，可直接排除；长方体是多面体，截面不可能有曲线，排除；圆锥无法截出长方形，排除；最后验证圆柱的截面是否完全符合即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项D（球）：无论用什么角度的平面截球，得到的截面都是圆，无法得到图①②③的截面，排除D；
2. 选项C（长方体）：长方体的所有截面都是由线段组成的多边形，不可能出现带曲线的圆、椭圆等图形，排除C；
3. 选项B（圆锥）：圆锥的截面可能是圆、椭圆、三角形、拱形等，但无法截出长方形（对应图③），排除B；
4. 选项A（圆柱）：平面平行于底面截取，得圆（对应图④）；平面垂直于底面截取，得长方形（对应图③）；平面倾斜且不与两个底面相交，得椭圆（对应图②）；平面倾斜且仅和一个底面相交，得一边为直线、一边为弧线的图形（对应图①），所有截面均符合。
【答案】
A
【知识点】
截一个几何体；圆柱的截面；截面判断
【点评】
本题考查常见几何体的截面相关知识，解题时用排除法可以快速锁定正确选项，平时要多积累不同角度下常见几何体的截面形状，提升判断的准确度。
【难度系数】
0.8
13.用一个平面去截一个正方体，所得截面的边数最少是
3
，最多是6
。答案
13.3 6
解析
【分析】
解题时首先要明确截面边数的来源：平面截几何体时，平面与几何体的几个面相交，就会得到几条交线，截面就是由这些交线围成的，因此截面的边数等于平面与正方体相交的面的数量。接下来分两种情况分析：
1. 求最少边数：平面不可能只和1个或2个面相交得到封闭截面，最少要和3个面相交，此时截面是三角形；
2. 求最多边数：正方体总共有6个面，平面最多可以和全部6个面都相交，此时截面是六边形，边数最多。
【解析】
截面的边数由平面与正方体相交的面的数量决定，相交的面数越多，截面边数越多。
① 最少边数：当平面截去正方体的一个小角时，平面仅与正方体的3个面相交，得到的截面是三角形，此时边数最少，为3；
② 最多边数：正方体共有6个面，当平面与正方体的6个面都相交时，得到的截面是六边形，此时边数最多，为6。
【答案】3；6
【知识点】1. 截一个几何体 2. 正方体截面特征 3. 面与面相交得线
【点评】这道题考查平面截正方体的截面边数规律，解题核心是建立“截面边数=平面相交面数”的对应关系，需要结合简单的空间想象判断平面可相交的面数范围，是几何截面部分的基础题型。
【难度系数】0.8
解题时首先要明确截面边数的来源：平面截几何体时，平面与几何体的几个面相交，就会得到几条交线，截面就是由这些交线围成的，因此截面的边数等于平面与正方体相交的面的数量。接下来分两种情况分析：
1. 求最少边数：平面不可能只和1个或2个面相交得到封闭截面，最少要和3个面相交，此时截面是三角形；
2. 求最多边数：正方体总共有6个面，平面最多可以和全部6个面都相交，此时截面是六边形，边数最多。
【解析】
截面的边数由平面与正方体相交的面的数量决定，相交的面数越多，截面边数越多。
① 最少边数：当平面截去正方体的一个小角时，平面仅与正方体的3个面相交，得到的截面是三角形，此时边数最少，为3；
② 最多边数：正方体共有6个面，当平面与正方体的6个面都相交时，得到的截面是六边形，此时边数最多，为6。
【答案】3；6
【知识点】1. 截一个几何体 2. 正方体截面特征 3. 面与面相交得线
【点评】这道题考查平面截正方体的截面边数规律，解题核心是建立“截面边数=平面相交面数”的对应关系，需要结合简单的空间想象判断平面可相交的面数范围，是几何截面部分的基础题型。
【难度系数】0.8
14. 用平面截几何体可得到平面图形,在下列表示几何体的字母后填上它可以截出的平面图形的号码. 如:A(1,5,6),则B(
1,2,3,4
),C(5
),D(3,5,6
). 答案
14.1,2,3,4 5 3,5,6
解析
【分析】
解决本题需要结合每个几何体的特征，想象平面从不同角度截取几何体的情况：平面与几何体的几个面相交，就会得到几边形的截面，再逐一对应给出的平面图形判断即可。先分析长方体的可能截面，再依次分析球、圆柱的可能截面，匹配对应序号。
【解析】
1. 分析几何体B（长方体）：
① 平面斜着截去长方体的一个角时，平面与3个面相交，得到三角形，对应序号1；
② 平面垂直于底面截取，与4个面相交，得到长方形，对应序号3；
③ 平面斜向截取，与4个面相交且交线两组对边长度不等时，得到梯形，对应序号4；
④ 平面与长方体的6个面都相交时，可得到六边形，对应序号2；
因此B可截出的图形序号为1,2,3,4。
2. 分析几何体C（球）：
无论平面从任何方向截取球，得到的截面都是圆，仅对应序号5。
3. 分析几何体D（圆柱）：
① 平面平行于底面截取，得到圆，对应序号5；
② 平面垂直于底面截取，得到长方形，对应序号3；
③ 平面斜向截取（不平行也不垂直于底面），得到椭圆，对应序号6；
因此D可截出的图形序号为3,5,6。
【答案】
B(1,2,3,4)，C(5)，D(3,5,6)
【知识点】
截几何体，常见几何体截面特征
【点评】
本题主要考查空间想象能力，需要从多个角度考虑平面的截取方向，结合几何体的面的特征判断截面形状，避免遗漏特殊截取方向得到的截面。
【难度系数】
0.7
解决本题需要结合每个几何体的特征，想象平面从不同角度截取几何体的情况：平面与几何体的几个面相交，就会得到几边形的截面，再逐一对应给出的平面图形判断即可。先分析长方体的可能截面，再依次分析球、圆柱的可能截面，匹配对应序号。
【解析】
1. 分析几何体B（长方体）：
① 平面斜着截去长方体的一个角时，平面与3个面相交，得到三角形，对应序号1；
② 平面垂直于底面截取，与4个面相交，得到长方形，对应序号3；
③ 平面斜向截取，与4个面相交且交线两组对边长度不等时，得到梯形，对应序号4；
④ 平面与长方体的6个面都相交时，可得到六边形，对应序号2；
因此B可截出的图形序号为1,2,3,4。
2. 分析几何体C（球）：
无论平面从任何方向截取球，得到的截面都是圆，仅对应序号5。
3. 分析几何体D（圆柱）：
① 平面平行于底面截取，得到圆，对应序号5；
② 平面垂直于底面截取，得到长方形，对应序号3；
③ 平面斜向截取（不平行也不垂直于底面），得到椭圆，对应序号6；
因此D可截出的图形序号为3,5,6。
【答案】
B(1,2,3,4)，C(5)，D(3,5,6)
【知识点】
截几何体，常见几何体截面特征
【点评】
本题主要考查空间想象能力，需要从多个角度考虑平面的截取方向，结合几何体的面的特征判断截面形状，避免遗漏特殊截取方向得到的截面。
【难度系数】
0.7
15. 如图所示的正方体被截去了一部分，求剩余部分的体积.(棱柱的体积=底面积×高)
答案
15.解:根据题意可知,被截去的一部分为一个直三棱柱.$\because$直三棱柱的体积为$\frac{1}{2}×(6-4)×(6-3)×6=18(cm³)$,正方体的体积为$6×6×6=216(cm³)$,$\therefore$剩余部分的体积为$216-18=198(cm³)$.
解析
【分析】
要求剩余部分的体积，可采用“整体减部分”的思路求解：①首先确定原几何体是棱长为6cm的正方体，先根据正方体体积公式算出整体体积；②再判断截去的部分是直三棱柱，结合已知的棱柱体积公式（底面积×高），先找到直三棱柱的底面直角三角形的两条直角边长，再计算截去部分的体积；③最后用正方体体积减去截去的直三棱柱体积，即可得到剩余部分的体积。
【解析】
解：由题意可知，原几何体是棱长为6cm的正方体，截去的部分为直三棱柱。
1. 计算原正方体的体积：
正方体体积 = 棱长×棱长×棱长，即 $V_{正方体}=6×6×6=216(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算截去的直三棱柱的体积：
直三棱柱的底面是直角三角形，两条直角边长度分别为$6-4=2(\mathrm{cm})$、$6-3=3(\mathrm{cm})$，直三棱柱的高等于正方体的棱长6cm。
根据棱柱体积=底面积×高，可得：
$V_{截去部分}=\frac{1}{2}×2×3×6=18(\mathrm{cm}^3)$
3. 计算剩余部分体积：
$V_{剩余}=V_{正方体}-V_{截去部分}=216-18=198(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boxed{198\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
正方体体积计算，棱柱体积计算，割补法求体积
【点评】
本题采用“割补法”求解不规则几何体的体积，解题的核心是准确判断截去部分的几何体形状，找准对应几何体的尺寸代入公式计算，解题时要注意不要混淆各部分的长度数据。
【难度系数】
0.7
要求剩余部分的体积，可采用“整体减部分”的思路求解：①首先确定原几何体是棱长为6cm的正方体，先根据正方体体积公式算出整体体积；②再判断截去的部分是直三棱柱，结合已知的棱柱体积公式（底面积×高），先找到直三棱柱的底面直角三角形的两条直角边长，再计算截去部分的体积；③最后用正方体体积减去截去的直三棱柱体积，即可得到剩余部分的体积。
【解析】
解：由题意可知，原几何体是棱长为6cm的正方体，截去的部分为直三棱柱。
1. 计算原正方体的体积：
正方体体积 = 棱长×棱长×棱长，即 $V_{正方体}=6×6×6=216(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算截去的直三棱柱的体积：
直三棱柱的底面是直角三角形，两条直角边长度分别为$6-4=2(\mathrm{cm})$、$6-3=3(\mathrm{cm})$，直三棱柱的高等于正方体的棱长6cm。
根据棱柱体积=底面积×高，可得：
$V_{截去部分}=\frac{1}{2}×2×3×6=18(\mathrm{cm}^3)$
3. 计算剩余部分体积：
$V_{剩余}=V_{正方体}-V_{截去部分}=216-18=198(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boxed{198\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
正方体体积计算，棱柱体积计算，割补法求体积
【点评】
本题采用“割补法”求解不规则几何体的体积，解题的核心是准确判断截去部分的几何体形状，找准对应几何体的尺寸代入公式计算，解题时要注意不要混淆各部分的长度数据。
【难度系数】
0.7
16. NEW 新考向·推理能力 下列图形中，图A是正方体木块，用一个平面将它截去一块，可能得到如图B,C,D,E所示的木块。
(1)请将图B,C,D,E中的木块的顶点数、棱数和面数分别填入下表：
| 图 | 顶点数$x$ | 棱数$y$ | 面数$z$ |
| --- | --- | --- | --- |
| A | 8 | 12 | 6 |
| B | | | |
| C | |
| |
| D | | | |
| E | | | |
(2)观察上表，木块的顶点数、棱数与面数之间存在一定的数量关系，试写出顶点数$x$、棱数$y$与面数$z$之间的数量关系式。
(1)请将图B,C,D,E中的木块的顶点数、棱数和面数分别填入下表：
| 图 | 顶点数$x$ | 棱数$y$ | 面数$z$ |
| --- | --- | --- | --- |
| A | 8 | 12 | 6 |
| B | | | |
| C | |
| || D | | | |
| E | | | |
(2)观察上表，木块的顶点数、棱数与面数之间存在一定的数量关系，试写出顶点数$x$、棱数$y$与面数$z$之间的数量关系式。
答案
16.解:(1)6 9 5 8 12 6 8 13 7 10 15 7
(2)观察题表,可得$12=8+6-2$,$9=6+5-2$,$12=8+6-2$,$13=8+7-2$,$15=10+7-2$,$\therefore$顶点数$x$、棱数$y$与面数$z$之间的数量关系式为$y=x+z-2$.
(2)观察题表,可得$12=8+6-2$,$9=6+5-2$,$12=8+6-2$,$13=8+7-2$,$15=10+7-2$,$\therefore$顶点数$x$、棱数$y$与面数$z$之间的数量关系式为$y=x+z-2$.
解析
【分析】
（1）第一问需先明确几何体各构成要素的定义：顶点是棱与棱的交点，棱是面与面的交线，面是几何体的平整表面，对应图B、C、D、E逐一计数即可，计数时注意做到不重复不遗漏。
（2）第二问将第一问统计得到的每组顶点数x、棱数y、面数z代入，观察三者的运算关系，寻找共同规律就能推导得到三者的数量关系式。
【解析】
（1）逐个统计各几何体的顶点数、棱数、面数：
图B：顶点共6个，棱共9条，面共5个；
图C：顶点共8个，棱共12条，面共6个；
图D：顶点共8个，棱共13条，面共7个；
图E：顶点共10个，棱共15条，面共7个。
（2）将各组数据代入验证三者关系：
图A：$8+6-2=12$，和棱数12相等；
图B：$6+5-2=9$，和棱数9相等；
图C：$8+6-2=12$，和棱数12相等；
图D：$8+7-2=13$，和棱数13相等；
图E：$10+7-2=15$，和棱数15相等。
由此可归纳得到三者的数量关系。
【答案】
(1) 按表格行依次填入：6 9 5；8 12 6；8 13 7；10 15 7
(2) $y=x+z-2$
【知识点】
截一个几何体；几何体要素计数；规律探究
【点评】
本题结合截正方体的操作，考查对立体几何构成要素的识别计数能力，同时通过归纳规律锻炼推理能力，总结得到的顶点、棱、面的数量关系是立体几何中的经典规律，应用范围较广。
【难度系数】
0.7
（1）第一问需先明确几何体各构成要素的定义：顶点是棱与棱的交点，棱是面与面的交线，面是几何体的平整表面，对应图B、C、D、E逐一计数即可，计数时注意做到不重复不遗漏。
（2）第二问将第一问统计得到的每组顶点数x、棱数y、面数z代入，观察三者的运算关系，寻找共同规律就能推导得到三者的数量关系式。
【解析】
（1）逐个统计各几何体的顶点数、棱数、面数：
图B：顶点共6个，棱共9条，面共5个；
图C：顶点共8个，棱共12条，面共6个；
图D：顶点共8个，棱共13条，面共7个；
图E：顶点共10个，棱共15条，面共7个。
（2）将各组数据代入验证三者关系：
图A：$8+6-2=12$，和棱数12相等；
图B：$6+5-2=9$，和棱数9相等；
图C：$8+6-2=12$，和棱数12相等；
图D：$8+7-2=13$，和棱数13相等；
图E：$10+7-2=15$，和棱数15相等。
由此可归纳得到三者的数量关系。
【答案】
(1) 按表格行依次填入：6 9 5；8 12 6；8 13 7；10 15 7
(2) $y=x+z-2$
【知识点】
截一个几何体；几何体要素计数；规律探究
【点评】
本题结合截正方体的操作，考查对立体几何构成要素的识别计数能力，同时通过归纳规律锻炼推理能力，总结得到的顶点、棱、面的数量关系是立体几何中的经典规律，应用范围较广。
【难度系数】
0.7
