【例2】一组按规律排列的数：2，－4，8，－16，32，…，则第2 024个数是多少？
解：
【规律方法】
解决与乘方有关的规律问题的一般思路
（1）一般从符号和绝对值两个方面入手分析.
（2）由特殊到一般，归纳得出规律.

$-2^{2024}$.

【分析】
解决这道题我们可以从符号和绝对值两个维度分别找规律：首先观察数列中每个数的绝对值，发现都是2的正整数次幂，第1个数绝对值是2的1次方，第2个是2的2次方，以此类推可得第n个数的绝对值规律；再看符号，奇数位的数为正，偶数位的数为负，可以用含(-1)的乘方表示符号规律；最后将两个规律组合得到第n个数的通式，代入n=2024计算即可。
【解析】
步骤1：分析绝对值规律
观察数列各数的绝对值：$2=2^1$，$4=2^2$，$8=2^3$，$16=2^4$，$32=2^5$，……，可得第n个数的绝对值为$2^n$（n为正整数）。
步骤2：分析符号规律
数列第1个数为正，第2个数为负，第3个数为正，第4个数为负，即奇数项为正、偶数项为负，符号可表示为$(-1)^{n+1}$（n为正整数，n为奇数时$(-1)^{n+1}=1$，n为偶数时$(-1)^{n+1}=-1$）。
步骤3：推导第n个数的表达式
结合绝对值和符号规律，第n个数为$(-1)^{n+1} · 2^n$。
步骤4：代入n=2024计算
当n=2024时，$(-1)^{2024+1} × 2^{2024} = (-1)^{2025} × 2^{2024} = -2^{2024}$。
【答案】
$-2^{2024}$
【知识点】
1. 乘方的意义
2. 数字规律探究
3. 有理数符号规律
【点评】
本题是乘方相关的典型规律探究题，拆分符号和绝对值分别分析的方法能大幅降低解题难度，解题过程体现了从特殊到一般的归纳思想，熟练掌握该方法可快速解决同类数列规律问题。
【难度系数】
0.7

3.先阅读下列算式，再回答问题.
(1)$1^2+2×1×2+2^2=(1+2)^2$；
(2)$2^2+2×2×3+3^2=(2+3)^2$；
(3)$3^2+2×3×4+4^2=(3+4)^2$.
利用你发现的规律求$8^2+2×8×9+9^2$的结果是.

289

【分析】
解题时先观察给出的3个已知等式，对比等式左右两边的结构：左边均为两个相邻正整数的平方和加上这两个数乘积的2倍，右边恰好是这两个数和的平方。确认待求算式符合该规律后，将对应的两个数代入规律中计算即可得到结果。
【解析】
首先观察已知等式，归纳得到规律：对于相邻的两个正整数$a$和$a+1$，满足$a^2 + 2× a×(a+1) + (a+1)^2=(a+a+1)^2$。
待求算式为$8^2 + 2×8×9 +9^2$，其中$a=8$，$a+1=9$，符合上述规律，因此：
$\begin{aligned}原式&=(8+9)^2\\&=17^2\\&=289\end{aligned}$
【答案】
289
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础类规律探究题，核心考查学生的观察与归纳能力，只要准确提炼出已知式子的通用规律，就能快速代入计算得出结果。
【难度系数】
0.8

1. $(-2)^2 + 2^2 =$ ()

A.0
B.2
C.4
D.8

D

【分析】
这是一道有理数混合运算题，解题需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算加法。首先要分别计算两个乘方项的结果，计算负数乘方时注意符号规则：负数的偶次幂是正数，算出两个乘方的结果后相加，再对应选项选择即可。
【解析】
按照有理数混合运算步骤计算：
1. 计算乘方项：$(-2)^2 = (-2) × (-2) = 4$；
2. 计算第二个乘方项：$2^2 = 2 × 2 = 4$；
3. 计算两个结果的和：$4 + 4 = 8$。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数加法运算
3. 有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查乘方的符号规则和混合运算顺序，熟练掌握负数乘方的符号判断方法和运算优先级即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

2.下列各式的运算结果为正数的是()

A.$-2^4 ×5$
B.$(1-2)÷5$
C.$(1-2^4)×(-5)$
D.$1-(3×5)^6$

C

【分析】
本题要求选出运算结果为正数的选项，解题思路是严格按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的），逐一计算每个选项的结果，再根据正负数的定义判断结果是否为正数即可。计算时要注意区分$-2^4$和$(-2)^4$的差异，避免符号判断错误。
【解析】
我们逐个计算各选项的结果：
A选项：先算乘方，$2^4=16$，因此$-2^4×5=-16×5=-80$，结果为负数，不符合要求；
B选项：先算括号内的运算，$1-2=-1$，因此$(1-2)÷5=-1÷5=-\frac{1}{5}$，结果为负数，不符合要求；
C选项：先算乘方$2^4=16$，再算括号内的运算$1-16=-15$，最后算乘法$(-15)×(-5)=75$，结果为正数，符合要求；
D选项：先算括号内的运算$3×5=15$，再算乘方$15^6$是远大于1的正数，因此$1-(3×5)^6$的结果为负数，不符合要求。
综上，只有C选项的运算结果为正数。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算；乘方的运算；正负数判断
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查有理数混合运算的运算顺序和符号判断规则，解题时只要牢记运算优先级，细心计算符号即可正确作答。
【难度系数】
0.8

3.计算：$-2^4 ÷ \frac{4}{9} × (-\frac{3}{2})^2$等于()

A.－16
B.－81
C.16
D.81

B

【分析】
解答本题需遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算按从左到右的顺序计算。首先要注意区分$-2^4$和$(-2)^4$的区别，避免乘方运算的符号出错；再将除法转化为乘法后依次计算即可。
【解析】
根据有理数混合运算顺序计算：
1. 先计算乘方：
$-2^4 = -(2×2×2×2) = -16$，
$(-\frac{3}{2})^2 = (-\frac{3}{2})×(-\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}$；
2. 将除法转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）：
原式$= -16 ÷ \frac{4}{9} × \frac{9}{4} = -16 × \frac{9}{4} × \frac{9}{4}$；
3. 依次计算乘法：
先算$-16×\frac{9}{4} = -36$，再算$-36×\frac{9}{4} = -81$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算，有理数乘除运算，有理数混合运算顺序
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，易错点是容易误将$-2^4$计算为$16$，或弄错乘除运算的顺序，计算时要先明确每一步的运算规则，重点关注符号的准确性。
【难度系数】
0.6

4.如图,按照操作步骤,若输入x的值为5,则输出的值为.
输入x→加上5→→减去3→输出

97

【分析】
解题时首先将操作步骤转化为对应的运算代数式，明确运算顺序为：先算x与5的和，再计算和的平方，最后减去3。接下来将x=5代入代数式，严格按照有理数混合运算“先乘方，后加减，有括号先算括号内”的顺序计算即可得到结果。
【解析】
根据操作步骤，可列出运算代数式：$(x+5)^2 - 3$
将$x=5$代入代数式：
第一步：计算括号内的加法：$5+5=10$
第二步：计算乘方：$10^2=100$
第三步：计算减法：$100-3=97$
【答案】
97
【知识点】
有理数的混合运算；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对运算流程的理解和有理数混合运算规则的应用，只要理清运算先后顺序，仔细计算即可得分。
【难度系数】
0.9

5.已知$2+\frac{2}{3}=2^2×\frac{2}{3},3+\frac{3}{8}=3^2×\frac{3}{8},4+\frac{4}{15}=4^2×\frac{4}{15},······$,若$8+\frac{a}{b}=8^2×\frac{a}{b}$(a,b为正整数),则$a+b=$.

71

【分析】
我们先观察给出的已知等式，对比等式左右两边的数字特征找规律：每个等式左边的整数与对应分数的分子完全相同，分数的分母等于该整数的平方减1，等式右边是整数的平方乘左边的分数。我们验证前面的例子：整数为2时，分子是2，分母$2^2-1=3$，符合$2+\frac{2}{3}$；整数为3时，分子是3，分母$3^2-1=8$，符合$3+\frac{3}{8}$；整数为4时，分子是4，分母$4^2-1=15$，符合$4+\frac{4}{15}$，规律成立。按照这个规律，对应整数为8的情况，就能直接求出a、b的值，再计算a+b即可。
【解析】
1. 总结已知等式的规律：当等式左边的整数为$n$（$n≥2$，为正整数）时，规律为：
$n+\frac{n}{n^2-1}=n^2×\frac{n}{n^2-1}$
2. 对照题目中的式子$8+\frac{a}{b}=8^2×\frac{a}{b}$，可得此处$n=8$，因此：
分子$a=n=8$，分母$b=n^2-1=8^2-1=64-1=63$
3. 计算$a+b$的值：$a+b=8+63=71$
【答案】
71
【知识点】
数字规律探究；有理数的混合运算
【点评】
本题属于典型的数字规律类题型，核心考查学生的观察归纳能力，只要能找到整数和分数分子、分母的对应关系，结合简单的有理数运算就能求出结果，是规律探究题中的基础题型。
【难度系数】
0.7

6.计算:
(1)$2×(-5)+2^2 -3÷\frac{1}{2}$;
(2)$(-2)^2 + [18-(-3)×2]÷4$;
(3)$2×[5+(-2)^3]-(-|-4|÷\frac{1}{2})$;
(4)$-2^3÷\frac{8}{9}×(-\frac{1}{3})^2 - (-1)^7$;
(5)$(-1)^4-(1-0.5)×\frac{1}{3}×[2-(-2)^2]$;
(6)$-1^{1018}-(1-0.5)×\frac{1}{3}×[2-(-3)^2]$.

(1)$-12$. (2)$10$. (3)$2$. (4)$0$.
(5)$1\dfrac{1}{3}$. (6)$\dfrac{1}{6}$.

【分析】
有理数混合运算遵循固定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按从左到右的顺序计算；有括号先算括号内的运算，包含绝对值的要先计算绝对值部分。解题时先明确每一步的运算类型，重点关注符号规则，按顺序逐步计算即可。
【解析】
(1) 先算乘方，再算乘除，最后算加减：
原式$=2×(-5) + 4 - 3×2$
$=-10 + 4 - 6$
$=-12$
(2) 先算乘方，再算中括号内的乘法、减法，再算除法，最后算加法：
原式$=4 + [18 - (-6)] ÷ 4$
$=4 + 24 ÷ 4$
$=4 + 6$
$=10$
(3) 先算乘方、绝对值，再算括号内的加法，再算乘除，最后算加减：
原式$=2×[5 + (-8)] - (-4 ÷ \frac{1}{2})$
$=2×(-3) - (-8)$
$=-6 + 8$
$=2$
(4) 先算乘方，再算乘除，最后算加减：
原式$=-8 ÷ \frac{8}{9} × \frac{1}{9} - (-1)$
$=-8×\frac{9}{8}×\frac{1}{9} + 1$
$=-1 + 1$
$=0$
(5) 先算乘方，再算括号内的运算，再算乘法，最后算减法：
原式$=1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (2 - 4)$
$=1 - \frac{1}{6} × (-2)$
$=1 + \frac{1}{3}$
$=1\frac{1}{3}$
(6) 先算乘方，再算括号内的运算，再算乘法，最后算减法：
原式$=-1 - \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × (2 - 9)$
$=-1 - \frac{1}{6} × (-7)$
$=-1 + \frac{7}{6}$
$=\frac{1}{6}$
【答案】
(1)$-12$；(2)$10$；(3)$2$；(4)$0$；(5)$1\dfrac{1}{3}$；(6)$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；绝对值运算
【点评】
本组题目侧重考查有理数混合运算的运算顺序和符号规则，计算时要注意区分负数的乘方和乘方的相反数的符号差异，去括号时也要注意符号变化，运算过程中按照规则逐步计算、细心核对即可减少失误。
【难度系数】
0.7