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任务一
用“描点法”画反比例函数的图象
数学活动：在同一平面直角坐标系中，分别画出函数$y_1=\frac{3}{x}$与$y_2=-\frac{3}{x}$的图象.
(1)列表. 写出几组$x$与$y$的对应值(填空)：
(2)描点. 以表格中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
(3)连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点.
探究1：画出的反比例函数图象能与坐标轴相交吗？形状如何？
探究2：每个函数图象分别位于哪些象限？
探究3：你能总结上面两个函数图象的特点吗？
归纳总结
反比例函数的图象是双曲线，当$k＞0$时，两个分支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，两个分支分别位于第二、第四象限. 反比例函数中自变量$x≠0$，函数值$y≠0$，所以它的图象与$x$轴、$y$轴都没有交点，因此它的图象的两个分支会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交.
用“描点法”画反比例函数的图象
数学活动：在同一平面直角坐标系中，分别画出函数$y_1=\frac{3}{x}$与$y_2=-\frac{3}{x}$的图象.
(1)列表. 写出几组$x$与$y$的对应值(填空)：
(2)描点. 以表格中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.
(3)连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点.
探究1：画出的反比例函数图象能与坐标轴相交吗？形状如何？
探究2：每个函数图象分别位于哪些象限？
探究3：你能总结上面两个函数图象的特点吗？
归纳总结
反比例函数的图象是双曲线，当$k＞0$时，两个分支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，两个分支分别位于第二、第四象限. 反比例函数中自变量$x≠0$，函数值$y≠0$，所以它的图象与$x$轴、$y$轴都没有交点，因此它的图象的两个分支会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交.
答案
探究1：画出的每个函数的两条曲线会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交，形状为双曲线.
探究2：函数$y_1=\frac{3}{x}$的图象位于第一、第三象限，$y_2=-\frac{3}{x}$的图象位于第二、第四象限.
探究3：答案不唯一，合理即可.
探究2：函数$y_1=\frac{3}{x}$的图象位于第一、第三象限，$y_2=-\frac{3}{x}$的图象位于第二、第四象限.
探究3：答案不唯一，合理即可.
解析
【分析】
本题是基于描点法绘制反比例函数图象的探究类题目，解题思路可分三步梳理：①解决探究1时，结合反比例函数自变量和函数值的取值范围分析：反比例函数中x≠0、y≠0，因此图象上的点不可能在坐标轴上，再结合画图结果判断图象形状；②解决探究2时，根据反比例函数中k值的正负判断图象所在象限，k＞0时图象在一、三象限，k＜0时在二、四象限，分别对应两个函数的k值即可得出结论；③解决探究3时，可从两个图象的对称性、增减性、与坐标轴的位置关系等角度总结，表述合理即可。
【解析】
探究1：反比例函数自变量的取值范围为x≠0，代入函数表达式可得函数值y也不可能为0，因此图象上所有点的横、纵坐标都不为0，所以图象永远不会和x轴、y轴相交，只会无限接近坐标轴；观察绘制完成的图象，可知反比例函数的图象是由两条平滑曲线组成的双曲线。
探究2：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象象限由k的符号决定：当$k＞0$时，图象的两个分支位于第一、第三象限；当$k＜0$时，图象的两个分支位于第二、第四象限。$y_1=\frac{3}{x}$中$k=3＞0$，因此图象在第一、第三象限；$y_2=-\frac{3}{x}$中$k=-3＜0$，因此图象在第二、第四象限。
探究3：可从对称性、增减性等角度总结，例如两个函数图象关于x轴对称、在每个象限内$y_1$随x增大而减小等，表述符合两个函数的特征即可。
【答案】
探究1：画出的每个函数的两条曲线会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交，形状为双曲线。
探究2：函数$y_1=\frac{3}{x}$的图象位于第一、第三象限，$y_2=-\frac{3}{x}$的图象位于第二、第四象限。
探究3：答案不唯一，合理即可。
【知识点】
1.反比例函数的图象
2.反比例函数的性质
【点评】
本题通过实践操作+探究总结的形式考查反比例函数的基础性质，引导学生从直观画图上升到规律总结，有助于强化对反比例函数图象特征、k值与图象象限对应关系的理解，是反比例函数性质部分的基础训练题。
【难度系数】
0.85
本题是基于描点法绘制反比例函数图象的探究类题目，解题思路可分三步梳理：①解决探究1时，结合反比例函数自变量和函数值的取值范围分析：反比例函数中x≠0、y≠0，因此图象上的点不可能在坐标轴上，再结合画图结果判断图象形状；②解决探究2时，根据反比例函数中k值的正负判断图象所在象限，k＞0时图象在一、三象限，k＜0时在二、四象限，分别对应两个函数的k值即可得出结论；③解决探究3时，可从两个图象的对称性、增减性、与坐标轴的位置关系等角度总结，表述合理即可。
【解析】
探究1：反比例函数自变量的取值范围为x≠0，代入函数表达式可得函数值y也不可能为0，因此图象上所有点的横、纵坐标都不为0，所以图象永远不会和x轴、y轴相交，只会无限接近坐标轴；观察绘制完成的图象，可知反比例函数的图象是由两条平滑曲线组成的双曲线。
探究2：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象象限由k的符号决定：当$k＞0$时，图象的两个分支位于第一、第三象限；当$k＜0$时，图象的两个分支位于第二、第四象限。$y_1=\frac{3}{x}$中$k=3＞0$，因此图象在第一、第三象限；$y_2=-\frac{3}{x}$中$k=-3＜0$，因此图象在第二、第四象限。
探究3：可从对称性、增减性等角度总结，例如两个函数图象关于x轴对称、在每个象限内$y_1$随x增大而减小等，表述符合两个函数的特征即可。
【答案】
探究1：画出的每个函数的两条曲线会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交，形状为双曲线。
探究2：函数$y_1=\frac{3}{x}$的图象位于第一、第三象限，$y_2=-\frac{3}{x}$的图象位于第二、第四象限。
探究3：答案不唯一，合理即可。
【知识点】
1.反比例函数的图象
2.反比例函数的性质
【点评】
本题通过实践操作+探究总结的形式考查反比例函数的基础性质，引导学生从直观画图上升到规律总结，有助于强化对反比例函数图象特征、k值与图象象限对应关系的理解，是反比例函数性质部分的基础训练题。
【难度系数】
0.85
1. 反比例函数 $y=\frac{5}{x}$ 的图象可能是 （
C
）答案
1. C
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数的图象与性质：首先确定函数的比例系数k的符号，根据k的符号判断图象所在的象限，先排除象限不符合的选项；再结合反比例函数图象的特征（无限接近坐标轴但不与坐标轴相交），排除剩余错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）：
1. 本题中$k=5＞0$，因此该反比例函数的图象是双曲线，位于第一、第三象限，由此可排除位于第一、第二象限的选项A，和位于第二、第四象限的选项D；
2. 反比例函数的图象无限接近$x$轴、$y$轴，但永远不会与坐标轴相交，因此可排除图象与坐标轴有交点的选项B；
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题是基础题，重点考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握比例系数$k$的符号和图象所在象限的对应关系、以及反比例函数图象的特征，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆反比例函数的图象与性质：首先确定函数的比例系数k的符号，根据k的符号判断图象所在的象限，先排除象限不符合的选项；再结合反比例函数图象的特征（无限接近坐标轴但不与坐标轴相交），排除剩余错误选项，即可得到正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）：
1. 本题中$k=5＞0$，因此该反比例函数的图象是双曲线，位于第一、第三象限，由此可排除位于第一、第二象限的选项A，和位于第二、第四象限的选项D；
2. 反比例函数的图象无限接近$x$轴、$y$轴，但永远不会与坐标轴相交，因此可排除图象与坐标轴有交点的选项B；
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质
【点评】
本题是基础题，重点考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握比例系数$k$的符号和图象所在象限的对应关系、以及反比例函数图象的特征，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
2. 反比例函数 $y=\frac{m+1}{x}(x＜0)$ 的图象如图所示，则 m 的取值范围是 
$m＜-1$
。答案
2. $m＜-1$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位置和比例系数$k$的对应关系：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。第二步，观察题图，$x＜0$时函数图象在第二象限（横坐标为负，纵坐标为正），因此可判断该反比例函数的比例系数小于0。第三步，将比例系数$m+1$代入列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
由反比例函数的图象性质可知：
若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二象限（$x＜0$时$y＞0$），则比例系数$k＜0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{m+1}{x}$，对应$k=m+1$，因此列不等式：
$m+1＜0$
解不等式得：$m＜-1$
【答案】
$m＜-1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数系数与图象位置的对应关系，属于基础题型，解题的关键是熟记不同取值的$k$对应的反比例函数图象所在象限，再通过列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位置和比例系数$k$的对应关系：当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。第二步，观察题图，$x＜0$时函数图象在第二象限（横坐标为负，纵坐标为正），因此可判断该反比例函数的比例系数小于0。第三步，将比例系数$m+1$代入列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
由反比例函数的图象性质可知：
若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二象限（$x＜0$时$y＞0$），则比例系数$k＜0$。
本题中反比例函数为$y=\frac{m+1}{x}$，对应$k=m+1$，因此列不等式：
$m+1＜0$
解不等式得：$m＜-1$
【答案】
$m＜-1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题考查反比例函数系数与图象位置的对应关系，属于基础题型，解题的关键是熟记不同取值的$k$对应的反比例函数图象所在象限，再通过列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
