任务一 探究因式分解法及其依据
阅读材料，完成探究过程.
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以9.8 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后，物体离地面的高度(单位：m)约为$9.8x - 4.9x^2$. 根据上述规律，你能求出物体经过多少秒落回地面吗？
分析：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即. ①
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
解答：方程①的右边为0，左边分解因式，得$x(9.8 - 4.9x)=0$，
于是得，或，②
∴$x_1=$，$x_2=$.
上述解中，$x_2=$表示物体约在s时落回地面，而$x_1=$表示物体被上抛离开地面的时刻，即在s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.
新知生成：对于一元二次方程，先将方程右边化为，然后对方程左边进行，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于，从而实现. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
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1. 如果$ab=0$，那么$a=$，或$b=$，这是因式分解法的依据.
2. 根据因式分解法的定义，完成下列表格：

一元二次方程 | 左边因式分解 | 转化为一元一次方程
--- | --- | ---
$x(x-2)+x-2=0$ | $=0$ | $x-2=0$ 或
$3y^2 - 18=0$ | $=0$ | $y+\sqrt{6}=0$ 或

1. $a=0$，或$b=0$
2. 第一行：左边因式分解$(x-2)(x+1)=0$，转化为一元一次方程$x-2=0$或$x+1=0$；第二行：左边因式分解$3(y+\sqrt{6})(y-\sqrt{6})=0$，转化为一元一次方程$y+\sqrt{6}=0$或$y-\sqrt{6}=0$

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的相关知识，解题思路如下：①首先明确因式分解法的核心依据：若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，即ab=0时，a=0或b=0；②处理第一个方程$x(x-2)+x-2=0$时，观察到两项均含有公因式$(x-2)$，提取公因式即可完成因式分解，再令每个因式等于0，得到对应的一元一次方程；③处理第二个方程$3y^2-18=0$时，先提取公因式3，再利用平方差公式对$y^2-6$进行分解，之后令每个含未知数的因式等于0，得到对应的一元一次方程。
【解析】
1. 根据乘积为0的性质：如果两个因式的乘积等于0，那么至少有一个因式为0，因此若$ab=0$，那么$a=0$，或$b=0$。
2. 第一个方程$x(x-2)+x-2=0$：
将原式变形为$x·(x-2) + 1·(x-2) = 0$，提取公因式$(x-2)$，可得左边因式分解结果为$(x-2)(x+1)=0$；
根据因式分解法的规则，令两个一次因式分别为0，因此除$x-2=0$外，另一个一元一次方程为$x+1=0$。
第二个方程$3y^2-18=0$：
先提取公因式3，得$3(y^2-6)=0$，再将$y^2-6$变形为$y^2 - (\sqrt{6})^2$，利用平方差公式分解得$(y+\sqrt{6})(y-\sqrt{6})$，因此左边因式分解结果为$3(y+\sqrt{6})(y-\sqrt{6})=0$；
令两个含未知数的一次因式分别为0，因此除$y+\sqrt{6}=0$外，另一个一元一次方程为$y-\sqrt{6}=0$。
【答案】
1. $0$；$0$
2. 第一行：$(x-2)(x+1)$；$x+1=0$
第二行：$3(y+\sqrt{6})(y-\sqrt{6})$；$y-\sqrt{6}=0$
【知识点】
因式分解法解方程、因式分解、平方差公式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题，重点考查因式分解法的原理和操作步骤，需要熟练掌握提取公因式、公式法等常用因式分解方法，理解因式分解法将二次方程降为一次方程的逻辑，为后续解复杂一元二次方程打下基础。
【难度系数】
0.85

例1 用因式分解法解下列方程：
(1) $5x^2 - 4x = 0$；
(2) $3x(2x + 1) = 4x + 2$；
(3) $(2x - 1)^2 - 3(2x - 1) = 4$。

(1) 左边分解因式，得$x(5x−4)=0$。
∴$x=0$，或$5x−4=0$。
∴$x_1=0$，$x_2=\frac{4}{5}$。
(2) 移项，得$3x(2x+1)−2(2x+1)=0$。
左边分解因式，得$(2x+1)(3x−2)=0$。
∴$2x+1=0$，或$3x−2=0$。
∴$x_1=−\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{2}{3}$。
(3) 移项，得$(2x−1)^2−3(2x−1)−4=0$。
左边分解因式，得$(2x−1−4)(2x−1+1)=0$。
∴$2x−1−4=0$，或$2x−1+1=0$。
∴$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=0$。

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若若干个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此可将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解。解题通用步骤为：先将方程移项使右边为0，再将左边分解为两个一次因式的乘积，最后分别令两个因式为0求解即可。
针对三个小题的思考路径：
(1)方程右边已经是0，左边两项存在公因式x，直接提取公因式即可分解；
(2)先将右边的4x+2提取公因数2变形为2(2x+1)，移项后左右两边有公共因式(2x+1)，提取公因式即可分解；
(3)将(2x-1)看作一个整体，移项后得到关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解即可。
【解析】
(1) 左边分解因式，得$x(5x−4)=0$。
∴$x=0$，或$5x−4=0$。
∴$x_1=0$，$x_2=\frac{4}{5}$。
(2) 移项，得$3x(2x+1)−2(2x+1)=0$。
左边分解因式，得$(2x+1)(3x−2)=0$。
∴$2x+1=0$，或$3x−2=0$。
∴$x_1=−\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{2}{3}$。
(3) 移项，得$(2x−1)^2−3(2x−1)−4=0$。
左边分解因式，得$(2x−1−4)(2x−1+1)=0$。
∴$2x−1−4=0$，或$2x−1+1=0$。
∴$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=0$。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=\frac{4}{5}$；
(2) $x_1=-\frac{1}{2}$，$x_2=\frac{2}{3}$；
(3) $x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=0$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础训练题，重点考查对因式分解方法的灵活运用，解题时注意不要随意约去含未知数的公因式，避免漏根，运用整体思想处理第(3)问可大幅简化运算。
【难度系数】
0.8