1. 某班为了从甲、乙两人中选出一人担任班长,进行了一次测评活动,邀请了五位老师作为评委,对学生进行个人测评,全班同学进行民主测评,结果如下:

规则:①个人测评得分$(x_1)$算法:去掉一个最高分和一个最低分后,再算出平均分；
②民主测评得分$(x_2)$算法:“优”票数×3+“良”票数×2+“中”票数×1；
③综合得分$(X)$算法:$X=0.4x_1+0.6x_2$.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)如果只采用个人测评规则,获胜者是(填“甲”或“乙”).
(2)甲的民主测评得分为,乙的民主测评得分为.
(3)综合得分高的学生当选为班长,通过计算,判断最终当选的是甲还是乙?

(1)甲
(2)139;148
(3)甲的综合得分为 $0.4 × \dfrac{90+92+94}{3} + 0.6 × 139 =120.2$,乙的综合得分为 $0.4 × \dfrac{87+89+91}{3} + 0.6 ×148=124.4$.
因为 124.4＞120.2,所以最终当选的是乙.

【分析】
(1)判断个人测评获胜者：先分别提取甲、乙的5位评委打分，按规则各去掉1个最高分和1个最低分，计算剩余3个分数的平均值，比较平均分大小即可。
(2)计算民主测评得分：从条形统计图中提取甲、乙的优、良、中票数，按照“优票数×3+良票数×2+中票数×1”的规则分别计算即可。
(3)判断最终当选者：将前两问得到的甲乙个人测评平均分、民主测评得分代入综合得分公式$X=0.4x_1+0.6x_2$，分别计算两人综合得分，得分高的当选。
【解析】
(1) 计算个人测评平均分：
甲的5个得分是90、92、94、95、88，去掉最高分95和最低分88，剩余分数为90、92、94，平均分$x_{1甲}=\frac{90+92+94}{3}=92$分；
乙的5个得分是89、86、87、94、91，去掉最高分94和最低分86，剩余分数为87、89、91，平均分$x_{1乙}=\frac{87+89+91}{3}=89$分；
因为92＞89，所以个人测评获胜者是甲。
(2) 计算民主测评得分：
甲的民主测评得分：$40×3 +7×2 +5×1=120+14+5=139$分；
乙的民主测评得分：$45×3 +6×2 +1×1=135+12+1=148$分。
(3) 计算综合得分：
甲的综合得分：$X_甲=0.4×92 + 0.6×139=36.8 + 83.4=120.2$分；
乙的综合得分：$X_乙=0.4×89 + 0.6×148=35.6 + 88.8=124.4$分；
因为$124.4＞120.2$，乙的综合得分更高。
【答案】
(1) 甲
(2) 139；148
(3) 最终当选的是乙
【知识点】
平均数计算，统计图表信息提取，加权平均数计算
【点评】本题结合实际评选场景考查统计相关知识，解题的核心是准确从图表中提取数据，严格按照给定规则计算，难度较低，只要细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75

2. [2025 重庆] 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)进行整理、描述和分析(成绩均不低于 60 分，用 $ x $ 表示，共分四组：A. $ 90≤ x≤ 100 $；B. $ 80≤ x＜ 90 $；C. $ 70≤ x＜ 80 $；D. $ 60≤ x＜ 70 $)，下面给出了部分信息：
七年级 20 名学生竞赛成绩在 B 组中的数据是 83,84,84,84,85,87,88.
八年级 20 名学生竞赛成绩是 62,63,65,71,72,72,75,78,81,82,84,86,86,86,89,96,97,98,98,99.
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表


根据以上信息，解答下列问题：
(1) 上述图表中 $ a=$ ，$ b=$ ，$ m=$ .
(2) 根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可).
(3) 该校七年级有学生 560 名，八年级有学生 500 名，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于 90 分的学生共有多少名？

(1)84;86;30
(2)该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好. 理由:因为该校七、八年级学生航天知识竞赛成绩的平均数相同都是 82 分,但七年级竞赛成绩的中位数 84 分大于八年级竞赛成绩的中位数 83 分,所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好.
或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好.理由:因为该校七、八年级学生航天知识竞赛成绩的平均数相同都是 82 分,但八年级竞赛成绩的众数 86 分大于七年级竞赛成绩的众数 84 分,所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好.(选其中一种即可)
(3)$560×30\% +500×\dfrac{5}{20} =293$(名),即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于 90 分的学生共 293 名.

【分析】
1. 求解第(1)问：①求a（七年级竞赛成绩的中位数）：20个数据的中位数是排序后第10、11个数据的平均数，先确定七年级低于80分的人数为7人，B组共7个数据，因此第10、11个数据都在B组，取两个数的平均数即可得a；②求b（八年级竞赛成绩的众数）：众数是一组数据中出现次数最多的数，统计八年级成绩中出现次数最多的数即可得b；③求m（七年级A组成绩的占比）：先算出七年级A组的人数，再除以总抽取人数20，换算为百分比即可得m。
2. 求解第(2)问：可从平均数、中位数、众数、优秀率等统计量的角度比较，结合两组数据的统计量大小说明理由即可，答案不唯一。
3. 求解第(3)问：用样本中七、八年级不低于90分的占比分别乘以对应年级的总人数，相加后即可估计总人数。
【解析】
(1) ①七年级抽取20名学生，中位数为成绩从小到大排序后第10、11个数据的平均数。已知七年级B组（$80≤x＜90$）有7个数据，低于80分的C、D组共有$20-7-6=7$人，因此第8到14名的成绩都在B组，B组数据排序为83,84,84,84,85,87,88，第10、11个数据均为84，故$a=(84+84)÷2=84$；
②观察八年级20名学生的成绩，86共出现3次，出现次数最多，因此众数$b=86$；
③七年级A组（$90≤x≤100$）共有6人，占比为$6÷20×100\%=30\%$，故$m=30$。
(2) 示例1：七年级成绩较好，理由：七、八年级竞赛成绩的平均数相同，均为82分，七年级成绩的中位数84分高于八年级的中位数83分，说明七年级有一半以上的学生成绩高于84分，整体成绩更好。
示例2：八年级成绩较好，理由：七、八年级竞赛成绩的平均数相同，均为82分，八年级成绩的众数86分高于七年级的众数84分，说明八年级多数学生的成绩更高。（任选其一即可）
(3) 七年级不低于90分的学生人数估计为：$560×30\%=168$（名）
八年级20名抽取学生中不低于90分的有5名，因此八年级不低于90分的学生人数估计为：$500×\dfrac{5}{20}=125$（名）
总人数为$168+125=293$（名）
【答案】
(1) $84$；$86$；$30$
(2) 示例：七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：七、八年级成绩平均数相同，七年级成绩的中位数84分大于八年级的中位数83分（或八年级较好，理由：平均数相同，八年级众数86分大于七年级众数84分，合理即可）
(3) 估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生共有$\boldsymbol{293}$名。
【知识点】
中位数，众数，样本估计总体
【点评】
本题结合生活实际考查数据分析的应用，需要熟练掌握中位数、众数的计算方法，能根据不同统计量的意义比较两组数据的优劣，同时掌握用样本特征估计总体特征的统计思想，开放性问题理由合理即可得分。
【难度系数】
0.7