4.公园要建造一个如图①所示的圆形喷水池，其示意图如图②，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，OA高度为0.8 m，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与OA水平距离为1 m时，达到距水面最大高度1.44 m(不计其他因素)，水池的半径至少为 m，才能使喷出的水流不致落到池外。

2.5 【点拨】根据题意,右侧抛物线的顶点坐标是$(1,1.44)$,并且经过点$(0,0.8)$,设该抛物线的表达式为$y=a(x-1)^{2}+1.44$,则$a×(0-1)^{2}+1.44=0.8$,解得$a=-0.64$,$\therefore$ 右侧抛物线的表达式为$y=-0.64(x-1)^{2}+1.44$,当$y=0$时,$-0.64(x-1)^{2}+1.44=0$,解得$x_{1}=2.5$,$x_{2}=-0.5$(舍去),
∴水池的半径至少为 2.5 m。

5. 情境题 科技教育 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究.如图，建立平面直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度 y(m)与离发射点O的水平距离 x(m)的几组数据如下表：

(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距离地面的竖直高度.

【解】(1)根据题意可知抛物线过原点,设抛物线的表达式为$y=ax^{2}+bx(a≠ 0)$,由表格数据得抛物线的顶点坐标为$(15,9)$,则$\begin{cases} -\dfrac{b}{2a}=15,\\ -\dfrac{b^{2}}{4a}=9,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\dfrac{1}{25},\\ b=\dfrac{6}{5},\\ \end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{25}x^{2}+\frac{6}{5}x$。
(2)当$x=5$时,$y=-\frac{1}{25}× 5^{2}+\frac{6}{5}× 5=5$,
∴此时水火箭距离地面的竖直高度为 5 m。

6. :: 一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索$L_1$与缆索$L_2$均呈抛物线形,桥塔$AO$与桥塔$BC$均垂直于桥面,如图所示,以$O$为原点,以直线$FF'$为$x$轴,以桥塔$AO$所在直线为$y$轴,建立平面直角坐标系.
已知:缆索$L_1$所在抛物线与缆索$L_2$所在抛物线关于$y$轴对称,桥塔$AO$与桥塔$BC$之间的距离$OC=100\ \mathrm{m}$,$AO=BC=17\ \mathrm{m}$,缆索$L_1$的最低点$P$到$FF'$的距离$PD=2\ \mathrm{m}$(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式;
(2)点$E$在缆索$L_2$上,$EF⊥ FF'$,且$EF=2.6\ \mathrm{m}$,$FO＜OD$,求$FO$的长.

【解】(1)由题易得顶点 P 的坐标为$(50,2)$,点 A 的坐标为$(0,17)$,
设缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y=a(x-50)^{2}+2$,
把$A(0,17)$的坐标代入,得$17=a(0-50)^{2}+2$,解得$a=\frac{3}{500}$,$\therefore$缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{500}(x-50)^{2}+2$。
(2)$\because$缆索$L_1$所在抛物线与缆索$L_2$所在抛物线关于 y 轴对称,且缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{500}(x-50)^{2}+2$,
$\therefore$缆索$L_2$所在抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{500}(x+50)^{2}+2$。
$\because EF=2.6\ \mathrm{m}$,$\therefore$把$y=2.6$代入,得$2.6=\frac{3}{500}(x+50)^{2}+2$,解得$x_{1}=-40$,$x_{2}=-60$。$\therefore FO=40\ \mathrm{m}$或$FO=60\ \mathrm{m}$。
$\because FO＜OD=50\ \mathrm{m}$,
$\therefore FO$的长为 40 m。