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8. 如图，在矩形ABCD内有一动点P，且∠BPC=135°，AB=3，BC=4，则AP长的最小值为
√29−2√2
。答案
8. $\sqrt{29}-2\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先观察到∠BPC=135°是定角，对应定边BC=4，符合“定角对定边”的隐圆特征，可先确定动点P的轨迹是矩形内部的一段优弧BC；接下来构造出该隐圆的圆心与半径，再根据“圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，计算点A到圆心的距离后减去半径，即可得到AP的最小值。
【解析】
1. 确定点P的轨迹
∵∠BPC=135°为定角，BC=4为定边，根据定角对定边的隐圆性质，点P在以BC为弦、所对圆周角为135°的圆上，且位于矩形ABCD内部。
2. 求隐圆的圆心与半径
弦BC所对的圆周角为135°，根据圆周角定理，对应的圆心角为90°，因此圆心O与B、C构成等腰直角三角形，BC为斜边。
已知BC=4，可得等腰Rt△OBC的直角边即圆的半径$r=OB=OC=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
建立平面直角坐标系计算：设$B(0,0)$，$C(4,0)$，$A(0,3)$，BC中点为$(2,0)$，结合P在矩形内部，得圆心O坐标为$(2,-2)$。
3. 计算AP最小值
圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，先计算A、O两点距离：
$AO=\sqrt{(2-0)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$
因此AP的最小值为$AO-r=\sqrt{29}-2\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{29}-2\sqrt{2}$
【知识点】
隐圆模型，圆周角定理，两点间距离公式
【点评】
本题是几何最值的典型考法，解题核心是识别出定角对定边的隐圆特征，将动点最值问题转化为圆外点到圆上点的最短距离问题，对模型识别能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先观察到∠BPC=135°是定角，对应定边BC=4，符合“定角对定边”的隐圆特征，可先确定动点P的轨迹是矩形内部的一段优弧BC；接下来构造出该隐圆的圆心与半径，再根据“圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，计算点A到圆心的距离后减去半径，即可得到AP的最小值。
【解析】
1. 确定点P的轨迹
∵∠BPC=135°为定角，BC=4为定边，根据定角对定边的隐圆性质，点P在以BC为弦、所对圆周角为135°的圆上，且位于矩形ABCD内部。
2. 求隐圆的圆心与半径
弦BC所对的圆周角为135°，根据圆周角定理，对应的圆心角为90°，因此圆心O与B、C构成等腰直角三角形，BC为斜边。
已知BC=4，可得等腰Rt△OBC的直角边即圆的半径$r=OB=OC=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
建立平面直角坐标系计算：设$B(0,0)$，$C(4,0)$，$A(0,3)$，BC中点为$(2,0)$，结合P在矩形内部，得圆心O坐标为$(2,-2)$。
3. 计算AP最小值
圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，先计算A、O两点距离：
$AO=\sqrt{(2-0)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$
因此AP的最小值为$AO-r=\sqrt{29}-2\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{29}-2\sqrt{2}$
【知识点】
隐圆模型，圆周角定理，两点间距离公式
【点评】
本题是几何最值的典型考法，解题核心是识别出定角对定边的隐圆特征，将动点最值问题转化为圆外点到圆上点的最短距离问题，对模型识别能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
图①
图③
（1）如图①，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为
（2）如图②，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动.若AD＝2，则线段CP的最小值是
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为多少？
下面让我们一起尝试去解决：
图①
图③（1）如图①，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为
2
；（2）如图②，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动.若AD＝2，则线段CP的最小值是
√5−1
；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为多少？
答案
9. (1) 2 (2) $\sqrt{5}-1$ (3) 如图,连接 $DG$.
$\because EF=2$,点 $G$ 为 $EF$ 的中点, $\therefore DG=1$. $\therefore$ 点 $G$ 是以 $D$ 为圆心,1 为半径的圆弧上的点,作点 $A$ 关于 $BC$ 的对称点 $A'$,连接$A'D$,交 $BC$ 于点 $P$,交以点 $D$ 为圆心,1 为半径的圆于点 $G$,此时 $PA+PG$ 的值最小,最小值为 $A'G$ 的长. $\because AB=2,AD=3$,$\therefore AA'=4$. $\therefore A'D=5$. $\therefore A'G=A'D-DG=5-1=4$.
$\therefore PA+PG$ 的最小值为 4.
解析
【分析】
本题是典型的“隐圆”类几何最值问题，解题核心思路是：①先根据题目给出的角相等、动点运动特征等条件，判断出动点的运动轨迹为圆弧（隐圆）；②再结合“两点之间线段最短”“点到圆上点的最短距离=点到圆心的距离-半径”“对称转化线段”等知识计算最值。
(1) 首先由∠PAB=∠PBC推导得∠APB=90°，确定点P在以AB为直径的圆上，再计算点C到该圆圆心的距离，减去半径即可得CP最小值；
(2) 先证明△ADE≌△DCF，推导得∠APD=90°，确定点P在以AD为直径的圆上，再计算点C到该圆圆心的距离，减去半径得CP最小值；
(3) 由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DG恒为1，确定点G在以D为圆心、1为半径的圆上，再作A关于BC的对称点A'，将PA转化为PA'，则PA+PG的最小值为A'D的长减去圆的半径。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，即∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，设AB中点为O，则O为圆心，半径$r=OA=OB=3$，
连接OC，$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
根据点到圆上点的最短距离规律，$CP_{最小值}=OC - r=5-3=2$。
(2)
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=DC=2$，$∠ ADE=∠ DCF=90°$，
∵E、F运动速度相同，同时出发，
∴$DE=CF$，
∴$△ ADE≌△ DCF$（SAS），
∴$∠ DAE=∠ CDF$，
∵$∠ DAE+∠ AED=90°$，
∴$∠ CDF+∠ AED=90°$，
∴$∠ APD=90°$，
∴点P在以AD为直径的圆上，设AD中点为O，则O为圆心，半径$r=1$，
连接OC，$OC=\sqrt{CD^2+OD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∴$CP_{最小值}=OC - r=\sqrt{5}-1$。
(3) 连接DG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ EDF=90°$，
∵G是EF中点，$EF=2$，
∴$DG=\frac{1}{2}EF=1$，即点G在以D为圆心、1为半径的圆弧上运动。
作点A关于BC的对称点$A'$，则$PA=PA'$，此时$PA+PG=PA'+PG$，
当$A'$、P、G、D四点共线时，$PA'+PG$的值最小，最小值为$A'D - DG$。
∵$AB=2$，
∴$AA'=2AB=4$，$AD=3$，
∴$A'D=\sqrt{AA'^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴$PA+PG_{最小值}=5-1=4$。
【答案】
(1) 2
(2) $\sqrt{5}-1$
(3) 4
【知识点】
隐圆构造，最短路径，直角三角形性质
【点评】
本题是隐圆类最值的典型考法，解题的突破口是准确识别动点的圆形运动轨迹，结合对称转化、线段最值规律求解，能很好地锻炼几何综合推理和转化思维。
【难度系数】
0.4
本题是典型的“隐圆”类几何最值问题，解题核心思路是：①先根据题目给出的角相等、动点运动特征等条件，判断出动点的运动轨迹为圆弧（隐圆）；②再结合“两点之间线段最短”“点到圆上点的最短距离=点到圆心的距离-半径”“对称转化线段”等知识计算最值。
(1) 首先由∠PAB=∠PBC推导得∠APB=90°，确定点P在以AB为直径的圆上，再计算点C到该圆圆心的距离，减去半径即可得CP最小值；
(2) 先证明△ADE≌△DCF，推导得∠APD=90°，确定点P在以AD为直径的圆上，再计算点C到该圆圆心的距离，减去半径得CP最小值；
(3) 由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DG恒为1，确定点G在以D为圆心、1为半径的圆上，再作A关于BC的对称点A'，将PA转化为PA'，则PA+PG的最小值为A'D的长减去圆的半径。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，即∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，设AB中点为O，则O为圆心，半径$r=OA=OB=3$，
连接OC，$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
根据点到圆上点的最短距离规律，$CP_{最小值}=OC - r=5-3=2$。
(2)
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD=DC=2$，$∠ ADE=∠ DCF=90°$，
∵E、F运动速度相同，同时出发，
∴$DE=CF$，
∴$△ ADE≌△ DCF$（SAS），
∴$∠ DAE=∠ CDF$，
∵$∠ DAE+∠ AED=90°$，
∴$∠ CDF+∠ AED=90°$，
∴$∠ APD=90°$，
∴点P在以AD为直径的圆上，设AD中点为O，则O为圆心，半径$r=1$，
连接OC，$OC=\sqrt{CD^2+OD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
∴$CP_{最小值}=OC - r=\sqrt{5}-1$。
(3) 连接DG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ EDF=90°$，
∵G是EF中点，$EF=2$，
∴$DG=\frac{1}{2}EF=1$，即点G在以D为圆心、1为半径的圆弧上运动。
作点A关于BC的对称点$A'$，则$PA=PA'$，此时$PA+PG=PA'+PG$，
当$A'$、P、G、D四点共线时，$PA'+PG$的值最小，最小值为$A'D - DG$。
∵$AB=2$，
∴$AA'=2AB=4$，$AD=3$，
∴$A'D=\sqrt{AA'^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∴$PA+PG_{最小值}=5-1=4$。
【答案】
(1) 2
(2) $\sqrt{5}-1$
(3) 4
【知识点】
隐圆构造，最短路径，直角三角形性质
【点评】
本题是隐圆类最值的典型考法，解题的突破口是准确识别动点的圆形运动轨迹，结合对称转化、线段最值规律求解，能很好地锻炼几何综合推理和转化思维。
【难度系数】
0.4
