登录
9. 如图,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点(点P不与B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为 (
A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.$\sqrt{10}$
A
)A.2
B.$\frac{5}{2}$
C.3
D.$\sqrt{10}$
答案
9. A
解析
【分析】
解题思路：首先根据轴对称的性质可知，点M到点A的距离始终等于AB的长度，由此可确定点M的运动轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆；再根据圆外一点到圆上点的最短距离的计算方法，只需先求出点C到圆心A的距离，再减去半径即可得到MC的最小值。
【解析】
连接AC、AM。
∵ 点M是点B关于直线AP的对称点，
∴ AM = AB = 3，即点M在以A为圆心，3为半径的圆上。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据点与圆的位置关系，当A、M、C三点共线且M在线段AC上时，MC的长度最小，此时：
$MC_{min}=AC - AM=5 - 3=2$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是典型的动点最值问题，解题的核心是根据对称性质确定动点的运动轨迹，将未知的线段最值问题转化为熟悉的点到圆的距离问题，考查了知识的综合运用能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先根据轴对称的性质可知，点M到点A的距离始终等于AB的长度，由此可确定点M的运动轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆；再根据圆外一点到圆上点的最短距离的计算方法，只需先求出点C到圆心A的距离，再减去半径即可得到MC的最小值。
【解析】
连接AC、AM。
∵ 点M是点B关于直线AP的对称点，
∴ AM = AB = 3，即点M在以A为圆心，3为半径的圆上。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
根据点与圆的位置关系，当A、M、C三点共线且M在线段AC上时，MC的长度最小，此时：
$MC_{min}=AC - AM=5 - 3=2$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是典型的动点最值问题，解题的核心是根据对称性质确定动点的运动轨迹，将未知的线段最值问题转化为熟悉的点到圆的距离问题，考查了知识的综合运用能力和转化思想。
【难度系数】
0.6
10. ⊙O外一点P到圆周上一点的最长距离为8 cm，最短距离为2 cm，则⊙O的直径长为
6
cm.答案
10. 6
解析
【分析】
遇到圆外一点到圆周的最长、最短距离问题，首先要明确这两个距离的来源：过点P和圆心O作直线，与圆交于两点，其中靠近P的交点到P的距离就是最短距离，远离P的交点到P的距离就是最长距离。设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，可知最长距离为d+r，最短距离为d-r，两者的差就是直径2r，代入数值即可求解。
【解析】
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d。
∵ P是⊙O外一点，
∴ P到圆周的最长距离为d + r = 8 cm，最短距离为d - r = 2 cm。
用最长距离减去最短距离可得：
$(d + r) - (d - r) = 8\ \mathrm{cm} - 2\ \mathrm{cm}$
化简得$2r = 6\ \mathrm{cm}$，即⊙O的直径为6 cm。
【答案】
6
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆中最值计算
【点评】
本题考查圆外一点到圆周的距离最值规律，解题的核心是区分点在圆内和圆外时，最长、最短距离与直径的关系，避免混淆两者的计算方法，熟练掌握规律后可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
遇到圆外一点到圆周的最长、最短距离问题，首先要明确这两个距离的来源：过点P和圆心O作直线，与圆交于两点，其中靠近P的交点到P的距离就是最短距离，远离P的交点到P的距离就是最长距离。设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，可知最长距离为d+r，最短距离为d-r，两者的差就是直径2r，代入数值即可求解。
【解析】
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d。
∵ P是⊙O外一点，
∴ P到圆周的最长距离为d + r = 8 cm，最短距离为d - r = 2 cm。
用最长距离减去最短距离可得：
$(d + r) - (d - r) = 8\ \mathrm{cm} - 2\ \mathrm{cm}$
化简得$2r = 6\ \mathrm{cm}$，即⊙O的直径为6 cm。
【答案】
6
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆中最值计算
【点评】
本题考查圆外一点到圆周的距离最值规律，解题的核心是区分点在圆内和圆外时，最长、最短距离与直径的关系，避免混淆两者的计算方法，熟练掌握规律后可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
11. 学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成.如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹.裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩:① 将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；② 将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③ 将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩.确定铅球比赛成绩的数学公理是
圆上的点到圆心的距离相等
.答案
11. 圆上的点到圆心的距离相等
解析
【分析】
首先理解铅球成绩的测量步骤：零刻度对齐铅球落点，皮尺经过投掷区圆心后读取抵趾板内沿的数值作为成绩。解题时先明确已知特征：投掷区是圆形，圆心固定，抵趾板内沿在该圆的圆周上。我们需要思考测量要求皮尺过圆心的原因：投掷区的圆半径是固定值，所有圆周上的点到圆心的距离都等于半径，只有皮尺经过圆心时，读出的数值才是落点到圆心的距离减去固定半径，得到统一标准的有效成绩，这一测量的核心依据就是圆的相关性质。
【解析】
投掷区为圆形，圆心为固定点，抵趾板内沿位于该圆的圆周上。根据圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径，是固定相等的。测量时将皮尺拉过圆心，此时皮尺上抵趾板内沿的读数等于落点到圆心的距离减去投掷区圆的固定半径，该读数即为运动员的有效成绩，因此确定成绩的数学公理是圆上的点到圆心的距离相等。
【答案】
圆上的点到圆心的距离相等
【知识点】
1. 圆的基本性质 2. 半径的特征
【点评】
本题结合体育赛事的实际测量场景考查圆的相关知识，体现了数学在生活中的应用价值。解题的关键是抓住投掷区为圆形、抵趾板位于圆周上的特点，将实际操作和数学原理对应起来。
【难度系数】
0.7
首先理解铅球成绩的测量步骤：零刻度对齐铅球落点，皮尺经过投掷区圆心后读取抵趾板内沿的数值作为成绩。解题时先明确已知特征：投掷区是圆形，圆心固定，抵趾板内沿在该圆的圆周上。我们需要思考测量要求皮尺过圆心的原因：投掷区的圆半径是固定值，所有圆周上的点到圆心的距离都等于半径，只有皮尺经过圆心时，读出的数值才是落点到圆心的距离减去固定半径，得到统一标准的有效成绩，这一测量的核心依据就是圆的相关性质。
【解析】
投掷区为圆形，圆心为固定点，抵趾板内沿位于该圆的圆周上。根据圆的性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径，是固定相等的。测量时将皮尺拉过圆心，此时皮尺上抵趾板内沿的读数等于落点到圆心的距离减去投掷区圆的固定半径，该读数即为运动员的有效成绩，因此确定成绩的数学公理是圆上的点到圆心的距离相等。
【答案】
圆上的点到圆心的距离相等
【知识点】
1. 圆的基本性质 2. 半径的特征
【点评】
本题结合体育赛事的实际测量场景考查圆的相关知识，体现了数学在生活中的应用价值。解题的关键是抓住投掷区为圆形、抵趾板位于圆周上的特点，将实际操作和数学原理对应起来。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$△ ABC$和$△ ABD$都为直角三角形，且$∠ C=∠ D=90°$. 求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.
答案
12. 证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OD，
∵ △ABC 和△ABD 都为直角三角形,且∠C=∠D=90°,
∴ DO,CO 分别为 Rt△ABD 和 Rt△ABC 斜边上的中线.
∴ OA=OB=OC=OD.
∴ A,B,C,D 四点在同一个圆上.
第12题解析
【分析】要证明A、B、C、D四点共圆，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知△ABC和△ABD共斜边AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们可以取AB的中点O作为定点，通过证明OA=OB=OC=OD，即可得出四点共圆的结论。
【解析】证明：取AB的中点O，连接OC，OD。
∵ △ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D=90°，
∴ DO、CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得$OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$，$OD=\frac{1}{2}AB=OA=OB$，
∴ OA=OB=OC=OD，
根据圆的定义，到定点O的距离等于定长OA的所有点在同一个圆上，因此A、B、C、D四点在同一个圆上。
【答案】证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OD，
∵ △ABC 和△ABD 都为直角三角形,且∠C=∠D=90°,
∴ DO,CO 分别为 Rt△ABD 和 Rt△ABC 斜边上的中线.
∴ OA=OB=OC=OD.
∴ A,B,C,D 四点在同一个圆上.
第12题
【知识点】1. 直角三角形斜边中线性质 2. 四点共圆判定 3. 圆的定义
【点评】本题是基础的四点共圆证明题，解题的关键是结合图形特征，利用直角三角形斜边中线的性质得到四个点到公共斜边中点的距离相等，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】0.8
【解析】证明：取AB的中点O，连接OC，OD。
∵ △ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D=90°，
∴ DO、CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可得$OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$，$OD=\frac{1}{2}AB=OA=OB$，
∴ OA=OB=OC=OD，
根据圆的定义，到定点O的距离等于定长OA的所有点在同一个圆上，因此A、B、C、D四点在同一个圆上。
【答案】证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OD，
∵ △ABC 和△ABD 都为直角三角形,且∠C=∠D=90°,
∴ DO,CO 分别为 Rt△ABD 和 Rt△ABC 斜边上的中线.
∴ OA=OB=OC=OD.
∴ A,B,C,D 四点在同一个圆上.
第12题【知识点】1. 直角三角形斜边中线性质 2. 四点共圆判定 3. 圆的定义
【点评】本题是基础的四点共圆证明题，解题的关键是结合图形特征，利用直角三角形斜边中线的性质得到四个点到公共斜边中点的距离相等，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】0.8
13. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，AB，CD的延长线交于点E，已知$AB=2DE$，若$△ COD$为直角三角形，求$∠ E$的度数.
答案
13. 解:
∵ AB 是$\odot O$的直径,AB=2DE,
∴ AB = 2DO.
∴ DO=DE.
∴ ∠DOE=∠E.
∵ △COD 为直角三角形,
OC=OD,
∴ △COD 为等腰直角三角形.
∴ ∠CDO=45°.
∵ ∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E,
∴ ∠E=1/2∠CDO=1/2×45°=22.5°.
∵ AB 是$\odot O$的直径,AB=2DE,
∴ AB = 2DO.
∴ DO=DE.
∴ ∠DOE=∠E.
∵ △COD 为直角三角形,
OC=OD,
∴ △COD 为等腰直角三角形.
∴ ∠CDO=45°.
∵ ∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E,
∴ ∠E=1/2∠CDO=1/2×45°=22.5°.
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发推导边的关系：AB是圆的直径，因此AB长度等于2倍半径OD，结合AB=2DE可推出OD=DE，根据等边对等角可得∠DOE=∠E。再分析△COD的特征：OC和OD都是圆的半径，二者相等，且△COD是直角三角形，因此它是等腰直角三角形，可求出∠CDO=45°。最后利用三角形外角的性质，∠CDO是△ODE的外角，等于不相邻两个内角∠DOE与∠E的和，代入角的等量关系即可求出∠E的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，AB=2DE，
∴ AB = 2DO，
∴ DO=DE，
∴ ∠DOE=∠E。
∵ △COD为直角三角形，OC=OD，
∴ △COD为等腰直角三角形，
∴ ∠CDO=45°。
∵ ∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E，
∴ ∠E=$\frac{1}{2}$∠CDO=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°。
【答案】
$\boxed{22.5°}$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是利用圆的半径相等得到边的等量关系，再通过等腰三角形、三角形外角的性质完成角的转化，梳理清楚角与角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发推导边的关系：AB是圆的直径，因此AB长度等于2倍半径OD，结合AB=2DE可推出OD=DE，根据等边对等角可得∠DOE=∠E。再分析△COD的特征：OC和OD都是圆的半径，二者相等，且△COD是直角三角形，因此它是等腰直角三角形，可求出∠CDO=45°。最后利用三角形外角的性质，∠CDO是△ODE的外角，等于不相邻两个内角∠DOE与∠E的和，代入角的等量关系即可求出∠E的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，AB=2DE，
∴ AB = 2DO，
∴ DO=DE，
∴ ∠DOE=∠E。
∵ △COD为直角三角形，OC=OD，
∴ △COD为等腰直角三角形，
∴ ∠CDO=45°。
∵ ∠CDO=∠DOE+∠E=2∠E，
∴ ∠E=$\frac{1}{2}$∠CDO=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°。
【答案】
$\boxed{22.5°}$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是利用圆的半径相等得到边的等量关系，再通过等腰三角形、三角形外角的性质完成角的转化，梳理清楚角与角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
14. 如图，E是菱形ABCD内一点，$∠ BEC=90°$，$DF ⊥ CE$，垂足为F，且$DF=CE$，连接AE.
（1）求证：菱形ABCD是正方形；
（2）当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的$\odot A$上.
（1）求证：菱形ABCD是正方形；
（2）当F是线段CE的中点时，求证：点F在以AB为半径的$\odot A$上.
答案
14. （1）证明:
∵ DF⊥CE,
∴ ∠CFD=90°.
∴ ∠CDF + ∠FCD = 90°.
∵ ∠BEC = 90°,
∴ ∠BEC = ∠CFD.
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ BC = CD. 在 Rt△BCE 和 Rt△CDF 中,
$\begin{cases} BC=CD, \\ CE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△BCE≌Rt△CDF(HL).
∴ ∠BCE=∠CDF.
∴ ∠BCE+∠FCD=90°.
∴ ∠BCD=90°.
∴ 菱形 ABCD 为正方形；
（2）连接 AF,ED,
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ ∠ADC=90°,AD=CD.
∵ F 为 CE 的中点,DF⊥CE,
∴ DF 是 CE 的垂直平分线.
∴ DE=DC=AD.
∴ ∠DAE=∠DEA,∠DEC=∠DCE.
∵ ∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,∠DEC+∠DCE+∠CDE=180°,
∴ ∠AED=
$\frac{180°-∠ADE}{2}$, ∠DEC = $\frac{180°-∠CDE}{2}$.
∴ ∠AEF =
∠AED+∠DEC=180°−$\frac{1}{2}$(∠ADE+∠CDE)=180°−45°=135°.
∴ ∠AEB = 360°− 135°− 90° = 135°.
∴ ∠AEF = ∠AEB.
∵ △BCE≌△CDF,
∴ BE=CF=FE. 在△ABE 和△AFE 中,
$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠AEB=∠AEF, \\ EB=EF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△AFE(SAS).
∴ AB=AF.
∴ 点 F 在以 AB 为半径的$\odot A$上.
∵ DF⊥CE,
∴ ∠CFD=90°.
∴ ∠CDF + ∠FCD = 90°.
∵ ∠BEC = 90°,
∴ ∠BEC = ∠CFD.
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ BC = CD. 在 Rt△BCE 和 Rt△CDF 中,
$\begin{cases} BC=CD, \\ CE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△BCE≌Rt△CDF(HL).
∴ ∠BCE=∠CDF.
∴ ∠BCE+∠FCD=90°.
∴ ∠BCD=90°.
∴ 菱形 ABCD 为正方形；
（2）连接 AF,ED,
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ ∠ADC=90°,AD=CD.
∵ F 为 CE 的中点,DF⊥CE,
∴ DF 是 CE 的垂直平分线.
∴ DE=DC=AD.
∴ ∠DAE=∠DEA,∠DEC=∠DCE.
∵ ∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,∠DEC+∠DCE+∠CDE=180°,
∴ ∠AED=
$\frac{180°-∠ADE}{2}$, ∠DEC = $\frac{180°-∠CDE}{2}$.
∴ ∠AEF =
∠AED+∠DEC=180°−$\frac{1}{2}$(∠ADE+∠CDE)=180°−45°=135°.
∴ ∠AEB = 360°− 135°− 90° = 135°.
∴ ∠AEF = ∠AEB.
∵ △BCE≌△CDF,
∴ BE=CF=FE. 在△ABE 和△AFE 中,
$\begin{cases} AE=AE, \\ ∠AEB=∠AEF, \\ EB=EF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△AFE(SAS).
∴ AB=AF.
∴ 点 F 在以 AB 为半径的$\odot A$上.
解析
【分析】
（1）要证明菱形ABCD是正方形，根据正方形判定定理，只需证明菱形有一个内角为90°，即证∠BCD=90°。观察已知条件：存在Rt△BEC和Rt△CFD，菱形边长BC=CD，且给出CE=DF，可先通过HL证明两个直角三角形全等，得到角的等量关系，再通过角的和差推导∠BCD=90°即可。
（2）要证明点F在以AB为半径的$\odot A$上，根据圆的定义，只需证明AF=AB。先连接AF、ED，利用垂直平分线的性质得到DE=DC，结合正方形边长相等推出DE=AD，再推导角的关系得到∠AEB=∠AEF，结合全等得到的BE=EF，用SAS证明△ABE≌△AFE，即可得到AB=AF，完成证明。
【解析】
（1）证明：
∵ $DF⊥CE$，
∴ $∠CFD=90°$，
∴ $∠CDF + ∠FCD = 90°$，
∵ $∠BEC = 90°$，
∴ $∠BEC = ∠CFD$，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $BC = CD$，
在$Rt△BCE$和$Rt△CDF$中，
$\begin{cases} BC=CD \\ CE=DF \end{cases}$，
∴ $Rt△BCE≌Rt△CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $∠BCE=∠CDF$，
∴ $∠BCE+∠FCD=∠CDF+∠FCD=90°$，即$∠BCD=90°$，
∴ 菱形ABCD为正方形。
（2）证明：连接AF，ED，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $∠ADC=90°$，$AD=CD$，
∵ F为CE的中点，$DF⊥CE$，
∴ DF是CE的垂直平分线，
∴ $DE=DC=AD$，
∴ $∠DAE=∠DEA$，$∠DEC=∠DCE$，
∵ $∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°$，$∠DEC+∠DCE+∠CDE=180°$，
∴ $∠AED=\frac{180°-∠ADE}{2}$，$∠DEC = \frac{180°-∠CDE}{2}$，
∴ $∠AEF =∠AED+∠DEC=180°−\frac{1}{2}(∠ADE+∠CDE)=180°−\frac{1}{2}×90°=135°$，
∴ $∠AEB = 360°−∠AEF−∠BEC = 360°− 135°− 90° = 135°$，
∴ $∠AEF = ∠AEB$，
∵ $△BCE≌△CDF$，
∴ $BE=CF$，
又
∵ F是CE中点，
∴ $CF=FE$，故$BE=FE$，
在$△ABE$和$△AFE$中，
$\begin{cases} AE=AE \\ ∠AEB=∠AEF \\ EB=EF \end{cases}$，
∴ $△ABE≌△AFE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AB=AF$，
∴ 点F在以AB为半径的$\odot A$上。
【答案】
（1）菱形ABCD是正方形；
（2）点F在以AB为半径的$\odot A$上。
【知识点】
正方形的判定；全等三角形的判定与性质；圆的定义
【点评】
本题属于几何综合题，将特殊四边形的性质与判定、三角形全等、圆的定义相结合，解题时需要明确结论对应的判定条件，合理添加辅助线推导边、角的等量关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明菱形ABCD是正方形，根据正方形判定定理，只需证明菱形有一个内角为90°，即证∠BCD=90°。观察已知条件：存在Rt△BEC和Rt△CFD，菱形边长BC=CD，且给出CE=DF，可先通过HL证明两个直角三角形全等，得到角的等量关系，再通过角的和差推导∠BCD=90°即可。
（2）要证明点F在以AB为半径的$\odot A$上，根据圆的定义，只需证明AF=AB。先连接AF、ED，利用垂直平分线的性质得到DE=DC，结合正方形边长相等推出DE=AD，再推导角的关系得到∠AEB=∠AEF，结合全等得到的BE=EF，用SAS证明△ABE≌△AFE，即可得到AB=AF，完成证明。
【解析】
（1）证明：
∵ $DF⊥CE$，
∴ $∠CFD=90°$，
∴ $∠CDF + ∠FCD = 90°$，
∵ $∠BEC = 90°$，
∴ $∠BEC = ∠CFD$，
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ $BC = CD$，
在$Rt△BCE$和$Rt△CDF$中，
$\begin{cases} BC=CD \\ CE=DF \end{cases}$，
∴ $Rt△BCE≌Rt△CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $∠BCE=∠CDF$，
∴ $∠BCE+∠FCD=∠CDF+∠FCD=90°$，即$∠BCD=90°$，
∴ 菱形ABCD为正方形。
（2）证明：连接AF，ED，
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $∠ADC=90°$，$AD=CD$，
∵ F为CE的中点，$DF⊥CE$，
∴ DF是CE的垂直平分线，
∴ $DE=DC=AD$，
∴ $∠DAE=∠DEA$，$∠DEC=∠DCE$，
∵ $∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°$，$∠DEC+∠DCE+∠CDE=180°$，
∴ $∠AED=\frac{180°-∠ADE}{2}$，$∠DEC = \frac{180°-∠CDE}{2}$，
∴ $∠AEF =∠AED+∠DEC=180°−\frac{1}{2}(∠ADE+∠CDE)=180°−\frac{1}{2}×90°=135°$，
∴ $∠AEB = 360°−∠AEF−∠BEC = 360°− 135°− 90° = 135°$，
∴ $∠AEF = ∠AEB$，
∵ $△BCE≌△CDF$，
∴ $BE=CF$，
又
∵ F是CE中点，
∴ $CF=FE$，故$BE=FE$，
在$△ABE$和$△AFE$中，
$\begin{cases} AE=AE \\ ∠AEB=∠AEF \\ EB=EF \end{cases}$，
∴ $△ABE≌△AFE(\mathrm{SAS})$，
∴ $AB=AF$，
∴ 点F在以AB为半径的$\odot A$上。
【答案】
（1）菱形ABCD是正方形；
（2）点F在以AB为半径的$\odot A$上。
【知识点】
正方形的判定；全等三角形的判定与性质；圆的定义
【点评】
本题属于几何综合题，将特殊四边形的性质与判定、三角形全等、圆的定义相结合，解题时需要明确结论对应的判定条件，合理添加辅助线推导边、角的等量关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
