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(1)同学们来到操场站队。如果两个班分别站成每队人数相同的长方形队阵，每队最多可以站几人？一共能站多少队？
答案
24 和 32 的最大公因数是 8。
$(24+32)÷8=7$(队)
$(24+32)÷8=7$(队)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理解题意：“两个班分别站成每队人数相同的队阵，每队最多站几人”说明每队人数既是24的因数，也是32的因数，也就是24和32的公因数，要求每队人数最多，本质就是求24和32的最大公因数。得到每队最多的人数后，用两个班的总人数除以每队人数，就能算出一共要站多少队。
【解析】
1. 求24和32的最大公因数：
列举24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
列举32的因数：1、2、4、8、16、32
对比可得24和32的公因数有1、2、4、8，其中最大的公因数是8，因此每队最多可以站8人。
2. 计算总队数：
方法一：先算总人数再除以每队人数
总人数：$24+32=56$（人）
总队数：$56÷8=7$（队）
方法二：分别计算两个班的队数再相加
第一个班队数：$24÷8=3$（队）
第二个班队数：$32÷8=4$（队）
总队数：$3+4=7$（队）
【答案】
每队最多可以站8人，一共能站7队。
【知识点】
1. 最大公因数的求解
2. 公因数的实际应用
【点评】
这道题结合生活中的站队场景考查公因数相关知识，解题的核心是把“每队人数相同且最多”的实际要求转化为求两个数的最大公因数，能有效提升学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要理解题意：“两个班分别站成每队人数相同的队阵，每队最多站几人”说明每队人数既是24的因数，也是32的因数，也就是24和32的公因数，要求每队人数最多，本质就是求24和32的最大公因数。得到每队最多的人数后，用两个班的总人数除以每队人数，就能算出一共要站多少队。
【解析】
1. 求24和32的最大公因数：
列举24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
列举32的因数：1、2、4、8、16、32
对比可得24和32的公因数有1、2、4、8，其中最大的公因数是8，因此每队最多可以站8人。
2. 计算总队数：
方法一：先算总人数再除以每队人数
总人数：$24+32=56$（人）
总队数：$56÷8=7$（队）
方法二：分别计算两个班的队数再相加
第一个班队数：$24÷8=3$（队）
第二个班队数：$32÷8=4$（队）
总队数：$3+4=7$（队）
【答案】
每队最多可以站8人，一共能站7队。
【知识点】
1. 最大公因数的求解
2. 公因数的实际应用
【点评】
这道题结合生活中的站队场景考查公因数相关知识，解题的核心是把“每队人数相同且最多”的实际要求转化为求两个数的最大公因数，能有效提升学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(2)一间长方体仓库长8 m，宽6 m，高4 m，仓库装有一扇门，门宽2 m，高2 m。
①这间仓库的容积是多少？
②给仓库内部离地面1 m高以下的四壁都贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少？
①这间仓库的容积是多少？
②给仓库内部离地面1 m高以下的四壁都贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少？
答案
①$8×6×4=192(\mathrm{m}^3)$
②$8×1×2+6×1×2-2×1=26(\mathrm{m}^2)$
②$8×1×2+6×1×2-2×1=26(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
①求仓库的容积本质是求长方体的内部体积，直接套用长方体容积（体积）公式：容积=长×宽×高，代入对应数值计算即可。
②贴瓷砖的区域是离地面1米高以下的四壁，首先计算高度为1米的前后、左右四个墙面的总面积，再减去门在1米高度以下占的不需要贴瓷砖的面积，就能得到实际贴瓷砖的面积。
【解析】
① 根据长方体容积公式计算：
$8×6×4=192(\mathrm{m}^3)$
② 先计算四壁1米高的总面积，再减去门占的面积：
$8×1×2+6×1×2-2×1$
$=16+12-2$
$=26(\mathrm{m}^2)$
【答案】
①$192\mathrm{m}^3$
②$26\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方体容积计算、表面积实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查长方体相关计算，第一问为基础公式应用，第二问需要结合实际需求排除不需要计算的区域，可锻炼学生的审题能力和知识灵活运用能力，避免盲目套用公式。
【难度系数】
0.75
①求仓库的容积本质是求长方体的内部体积，直接套用长方体容积（体积）公式：容积=长×宽×高，代入对应数值计算即可。
②贴瓷砖的区域是离地面1米高以下的四壁，首先计算高度为1米的前后、左右四个墙面的总面积，再减去门在1米高度以下占的不需要贴瓷砖的面积，就能得到实际贴瓷砖的面积。
【解析】
① 根据长方体容积公式计算：
$8×6×4=192(\mathrm{m}^3)$
② 先计算四壁1米高的总面积，再减去门占的面积：
$8×1×2+6×1×2-2×1$
$=16+12-2$
$=26(\mathrm{m}^2)$
【答案】
①$192\mathrm{m}^3$
②$26\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方体容积计算、表面积实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查长方体相关计算，第一问为基础公式应用，第二问需要结合实际需求排除不需要计算的区域，可锻炼学生的审题能力和知识灵活运用能力，避免盲目套用公式。
【难度系数】
0.75
6.有几瓶糖果，其中1瓶被吃了几颗，其余的质量相等，如果用天平称3次就能保证找到被吃了几颗的那瓶糖果，那么这些糖果最多有多少瓶？
答案
这些糖果最多有 27 瓶。
解析
【分析】
首先我们知道被吃了几颗的那瓶糖果质量更轻，属于较轻的次品。用天平找次品时，每次称量会出现3种结果：左边轻、右边轻、两边平衡，对应次品分别在左盘、右盘、未称量的那一份里，所以每次称量最多能判断3组物品中哪组含有次品，最优方法是把待称物品平均分成3份，每次把次品范围缩小到原来的1/3。我们可以从最后一次称量往前推导：第3次称量最多能找出3瓶里的次品，那么第2次称量后剩下的最多是3瓶，第2次称量前最多有3×3=9瓶，第1次称量前总数量最多就是3×9=27瓶。
【解析】
解：被吃了几颗的糖果质量更轻，是较轻的次品，我们用天平找次品的最优策略是每次将待称物品平均分成3份，每次称量可将次品范围缩小到原来的1/3：
1. 第3次称量时，最多可从3瓶中找到次品：将3瓶分成各1瓶的3份，称其中2瓶，若天平不平衡，轻的就是次品；若平衡，剩下的1瓶就是次品。
2. 由此可知第2次称量后，待查的物品最多有3瓶，那么第2次称量前，待查物品最多有 $3×3=9$ 瓶：把9瓶分成各3瓶的3份，称一次就能把次品范围缩小到3瓶。
3. 同理，第1次称量后待查的物品最多有9瓶，那么糖果的总数量最多为 $3×9=27$ 瓶：把27瓶分成各9瓶的3份，称一次就能把次品范围缩小到9瓶，之后再称2次就能找到次品，刚好总共称量3次。
【答案】
这些糖果最多有 27 瓶。
【知识点】
1. 找次品问题
2. 优化称量策略
【点评】
本题是找次品的典型应用，核心是利用天平称量的三种可能结果，每次尽可能缩小次品的排查范围，掌握三分法的称量规律就能快速求解不同称量次数对应的最多物品数量。
【难度系数】
0.6
首先我们知道被吃了几颗的那瓶糖果质量更轻，属于较轻的次品。用天平找次品时，每次称量会出现3种结果：左边轻、右边轻、两边平衡，对应次品分别在左盘、右盘、未称量的那一份里，所以每次称量最多能判断3组物品中哪组含有次品，最优方法是把待称物品平均分成3份，每次把次品范围缩小到原来的1/3。我们可以从最后一次称量往前推导：第3次称量最多能找出3瓶里的次品，那么第2次称量后剩下的最多是3瓶，第2次称量前最多有3×3=9瓶，第1次称量前总数量最多就是3×9=27瓶。
【解析】
解：被吃了几颗的糖果质量更轻，是较轻的次品，我们用天平找次品的最优策略是每次将待称物品平均分成3份，每次称量可将次品范围缩小到原来的1/3：
1. 第3次称量时，最多可从3瓶中找到次品：将3瓶分成各1瓶的3份，称其中2瓶，若天平不平衡，轻的就是次品；若平衡，剩下的1瓶就是次品。
2. 由此可知第2次称量后，待查的物品最多有3瓶，那么第2次称量前，待查物品最多有 $3×3=9$ 瓶：把9瓶分成各3瓶的3份，称一次就能把次品范围缩小到3瓶。
3. 同理，第1次称量后待查的物品最多有9瓶，那么糖果的总数量最多为 $3×9=27$ 瓶：把27瓶分成各9瓶的3份，称一次就能把次品范围缩小到9瓶，之后再称2次就能找到次品，刚好总共称量3次。
【答案】
这些糖果最多有 27 瓶。
【知识点】
1. 找次品问题
2. 优化称量策略
【点评】
本题是找次品的典型应用，核心是利用天平称量的三种可能结果，每次尽可能缩小次品的排查范围，掌握三分法的称量规律就能快速求解不同称量次数对应的最多物品数量。
【难度系数】
0.6
