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1.「2026江苏连云港海州期中改编」将进价为90元/个的某种商品按100元/个出售时，能卖出500个，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就减少10个，若想使利润达到9000元，则单价应定为（
A.90元
B.120元
C.135元
D.140元
B
）A.90元
B.120元
C.135元
D.140元
答案
1.B 设单价定为x元,由总利润=单位利润×销售量可得(x-90)[500-10(x-100)] = 9 000,整理得x²-240x+14 400=0,解得x₁=x₂=120,故选B.
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住销售问题的基本等量关系：总利润=单个商品的利润×销售量。我们可以先设单价为x元，第一步先推导单个商品的利润：单个利润=售价-进价，即(x-90)元；第二步推导对应单价下的销售量：原价100元时销量为500个，单价每涨1元销量减少10个，现单价相比100元涨了(x-100)元，因此减少的销量为10(x-100)个，实际销售量为[500-10(x-100)]个；最后结合总利润为9000元的条件列一元二次方程求解即可。
【解析】
解：设该商品的单价应定为x元。
根据总利润的等量关系列方程：
$(x-90)[500-10(x-100)] = 9000$
整理方程：
$(x-90)(1500-10x)=9000$
两边除以10简化得：
$(x-90)(150-x)=900$
展开并移项合并同类项：
$x^2 - 240x + 14400 = 0$
因式分解得：
$(x-120)^2=0$
解得$x_1=x_2=120$
因此单价应定为120元，故选B。
【答案】B
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是一元二次方程应用的常考基础题型，解题关键是理清售价、销量、利润之间的对应关系，正确列出方程，求解后可结合实际场景验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住销售问题的基本等量关系：总利润=单个商品的利润×销售量。我们可以先设单价为x元，第一步先推导单个商品的利润：单个利润=售价-进价，即(x-90)元；第二步推导对应单价下的销售量：原价100元时销量为500个，单价每涨1元销量减少10个，现单价相比100元涨了(x-100)元，因此减少的销量为10(x-100)个，实际销售量为[500-10(x-100)]个；最后结合总利润为9000元的条件列一元二次方程求解即可。
【解析】
解：设该商品的单价应定为x元。
根据总利润的等量关系列方程：
$(x-90)[500-10(x-100)] = 9000$
整理方程：
$(x-90)(1500-10x)=9000$
两边除以10简化得：
$(x-90)(150-x)=900$
展开并移项合并同类项：
$x^2 - 240x + 14400 = 0$
因式分解得：
$(x-120)^2=0$
解得$x_1=x_2=120$
因此单价应定为120元，故选B。
【答案】B
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是一元二次方程应用的常考基础题型，解题关键是理清售价、销量、利润之间的对应关系，正确列出方程，求解后可结合实际场景验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
2. 学科特色易错题「2026辽宁沈阳铁西期中」某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克.后经市场调查发现，每千克售价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克，商家降价销售这种商品，若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，每千克这种商品应定价为
54
元.答案
2.答案 54
解析 设每千克这种商品应定价为x元,则降价(60-x)元,平均每天的销售量增加10(60-x)千克,
由题意得(x-40)[100+10(60-x)]=2 240,
整理得x²-110x+3 024=0,
解得x₁=54,x₂=56,
∵ 要使销售量尽可能大,
∴ x=54.
解析 设每千克这种商品应定价为x元,则降价(60-x)元,平均每天的销售量增加10(60-x)千克,
由题意得(x-40)[100+10(60-x)]=2 240,
整理得x²-110x+3 024=0,
解得x₁=54,x₂=56,
∵ 要使销售量尽可能大,
∴ x=54.
解析
【分析】
本题为销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×总销售量”的等量关系。思考步骤如下：1. 设定价为x元，先推导单件利润：定价减进价即为每千克的利润，即(x-40)元；2. 推导总销售量：原销量为100千克，每降价1元多售10千克，现在降价(60-x)元，因此总销售量为[100+10(60-x)]千克；3. 根据总利润为2240元列一元二次方程，求解后结合“销售量尽可能大”的要求，选择更小的定价（定价越低销量越高）即可得到正确结果。
【解析】
设每千克这种商品应定价为x元，则每千克降价(60-x)元，平均每天的销售量增加10(60-x)千克。
由总利润的等量关系列方程：
$(x-40)[100+10(60-x)]=2240$
整理得：$x^2-110x+3024=0$
解得：$x_1=54$，$x_2=56$
∵ 要使销售量尽可能大，售价越低销售量越大，
∴ 选择更小的定价，即$x=54$。
【答案】
54
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；方程解的取舍
【点评】
本题是销售类典型应用题，易错点为两处：一是列方程时易写错销售量的表达式，二是求解后忽略题干“销售量尽可能大”的限制条件，误选56作为答案。解题时要先找准等量关系列方程，最后务必结合题干的附加要求对解进行筛选。
【难度系数】
0.7
本题为销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×总销售量”的等量关系。思考步骤如下：1. 设定价为x元，先推导单件利润：定价减进价即为每千克的利润，即(x-40)元；2. 推导总销售量：原销量为100千克，每降价1元多售10千克，现在降价(60-x)元，因此总销售量为[100+10(60-x)]千克；3. 根据总利润为2240元列一元二次方程，求解后结合“销售量尽可能大”的要求，选择更小的定价（定价越低销量越高）即可得到正确结果。
【解析】
设每千克这种商品应定价为x元，则每千克降价(60-x)元，平均每天的销售量增加10(60-x)千克。
由总利润的等量关系列方程：
$(x-40)[100+10(60-x)]=2240$
整理得：$x^2-110x+3024=0$
解得：$x_1=54$，$x_2=56$
∵ 要使销售量尽可能大，售价越低销售量越大，
∴ 选择更小的定价，即$x=54$。
【答案】
54
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；方程解的取舍
【点评】
本题是销售类典型应用题，易错点为两处：一是列方程时易写错销售量的表达式，二是求解后忽略题干“销售量尽可能大”的限制条件，误选56作为答案。解题时要先找准等量关系列方程，最后务必结合题干的附加要求对解进行筛选。
【难度系数】
0.7
3.「2025江苏淮安中考」某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量$y$(件)与每件的售价$x$(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表：
| 每件的售价$x$/元 | … | 25 | 28 | 31 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 日销售量$y$/件 |
| 15 | 12 | 9 | … |
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式(不要求写出自变量$x$的取值范围).
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价.
| 每件的售价$x$/元 | … | 25 | 28 | 31 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 日销售量$y$/件 |
| 15 | 12 | 9 | … |(1)求$y$与$x$之间的函数表达式(不要求写出自变量$x$的取值范围).
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价.
答案
3.解析 (1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0),将(25,15),(28,12)代入y=kx+b,得
$\begin{cases}25k+b=15,\\28k+b=12,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=40,\end{cases}$
∴ y与x之间的函数表达式为y=-x+40.
(2)根据题意得xy=300,即x(-x+40)=300,
整理得x²-40x+300=0,
解得x₁=10,x₂=30.
答:每件玩具的售价为10元或30元.
$\begin{cases}25k+b=15,\\28k+b=12,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=40,\end{cases}$
∴ y与x之间的函数表达式为y=-x+40.
(2)根据题意得xy=300,即x(-x+40)=300,
整理得x²-40x+300=0,
解得x₁=10,x₂=30.
答:每件玩具的售价为10元或30元.
解析
【分析】
（1）已知y与x满足一次函数关系，首先使用待定系数法，设一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组对应的x、y值代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，求解方程组得到k、b的值，即可确定函数表达式。
（2）日销售额的等量关系为：日销售额=每件售价×日销售量，据此列方程，将第一问求出的y关于x的表达式代入方程，得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到每件玩具的售价。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将表格中$(25,15)$、$(28,12)$两组数据代入表达式，得：
$\begin{cases}25k+b=15\\28k+b=12\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$25k+b=15$，得$-25+b=15$，解得$b=40$，
∴ $y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+40$。
(2) 根据日销售额的计算规则，结合题意得$xy=300$，
将$y=-x+40$代入上式，得$x(-x+40)=300$，
整理得$x^2-40x+300=0$，
因式分解得$(x-10)(x-30)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=30$，两个解均符合实际意义。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+40}$
(2) 每件玩具的售价为$\boldsymbol{10}$元或$\boldsymbol{30}$元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，销售问题等量关系
【点评】
本题属于基础的函数与方程结合的实际应用题，核心考查待定系数法的应用和方程思想解决实际问题的能力，解题关键是找准等量关系，正确列出对应方程求解。
【难度系数】
0.75
（1）已知y与x满足一次函数关系，首先使用待定系数法，设一次函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组对应的x、y值代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，求解方程组得到k、b的值，即可确定函数表达式。
（2）日销售额的等量关系为：日销售额=每件售价×日销售量，据此列方程，将第一问求出的y关于x的表达式代入方程，得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到每件玩具的售价。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
将表格中$(25,15)$、$(28,12)$两组数据代入表达式，得：
$\begin{cases}25k+b=15\\28k+b=12\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$25k+b=15$，得$-25+b=15$，解得$b=40$，
∴ $y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+40$。
(2) 根据日销售额的计算规则，结合题意得$xy=300$，
将$y=-x+40$代入上式，得$x(-x+40)=300$，
整理得$x^2-40x+300=0$，
因式分解得$(x-10)(x-30)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=30$，两个解均符合实际意义。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+40}$
(2) 每件玩具的售价为$\boldsymbol{10}$元或$\boldsymbol{30}$元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，销售问题等量关系
【点评】
本题属于基础的函数与方程结合的实际应用题，核心考查待定系数法的应用和方程思想解决实际问题的能力，解题关键是找准等量关系，正确列出对应方程求解。
【难度系数】
0.75
4.「2026湖北荆门期中」一个班级群里共有若干名同学，如果每名同学都分别给群里的其他同学发送一条消息，这样共有930条消息，则这个班级群里共有
31
名学生。答案
4.答案 31
解析 设这个班级群里共有x名学生,
由题意,得x(x-1)=930,
解得x₁=31,x₂=-30(不合题意,舍去).
故答案为31.
解析 设这个班级群里共有x名学生,
由题意,得x(x-1)=930,
解得x₁=31,x₂=-30(不合题意,舍去).
故答案为31.
解析
【分析】
解题时先梳理数量关系：若班级群有x名学生，每名同学需要给除自己外的其余(x-1)名同学各发1条消息，总消息数等于人数乘每人发送的消息数。我们可以先设学生人数为未知数，根据总消息数为930的等量关系列一元二次方程，求解后结合人数为正的实际意义舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设这个班级群里共有x名学生。
根据题意，每名学生发送(x-1)条消息，总消息数为930，可列方程：
$x(x-1)=930$
整理得$x^2 - x - 930 = 0$，
解得$x_1=31$，$x_2=-30$。
由于学生人数不能为负数，因此$x_2=-30$不符合题意，舍去。
【答案】
31
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解、实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，解题核心是准确找到总消息数对应的等量关系，注意区分互发消息和握手类计数问题的差异，最后要结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理数量关系：若班级群有x名学生，每名同学需要给除自己外的其余(x-1)名同学各发1条消息，总消息数等于人数乘每人发送的消息数。我们可以先设学生人数为未知数，根据总消息数为930的等量关系列一元二次方程，求解后结合人数为正的实际意义舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
设这个班级群里共有x名学生。
根据题意，每名学生发送(x-1)条消息，总消息数为930，可列方程：
$x(x-1)=930$
整理得$x^2 - x - 930 = 0$，
解得$x_1=31$，$x_2=-30$。
由于学生人数不能为负数，因此$x_2=-30$不符合题意，舍去。
【答案】
31
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解、实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，解题核心是准确找到总消息数对应的等量关系，注意区分互发消息和握手类计数问题的差异，最后要结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
5.「2026江苏徐州月考」化学课代表在老师的指导下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班级后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会
6
名同学。答案
5.答案 6
解析 设1人每次能手把手教会x名同学.
根据题意列一元二次方程得1+x+(x+1)x=49,整理得x²+2x-48=0,解得x₁=6,x₂=-8(不合题意,舍去),
∴ 1人每次能手把手教会6名同学.
解析 设1人每次能手把手教会x名同学.
根据题意列一元二次方程得1+x+(x+1)x=49,整理得x²+2x-48=0,解得x₁=6,x₂=-8(不合题意,舍去),
∴ 1人每次能手把手教会6名同学.
解析
【分析】
这是典型的一元二次方程传播类应用题，解题时先明确每轮传播后会做实验的人数变化：初始只有1名课代表会做实验，设1人每次教会x名同学，第一轮结束后会做实验的总人数为初始的1人加上新学会的x人，即(1+x)人；第二轮时，这(1+x)人每人再教会x人，第二轮新学会的人数为(1+x)x，两轮结束后全班49人都会做，因此将两轮总人数相加等于49即可列出方程，求解后舍去不符合实际意义的负数解就能得到答案。
【解析】
设1人每次能手把手教会x名同学。
根据题意列方程得：
$1+x+(x+1)x=49$
整理得：$x^2+2x-48=0$
因式分解得$(x+8)(x-6)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-8$。
由于教会的人数不能为负数，因此$x_2=-8$不合题意，舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程，实际问题验根
【点评】
本题属于基础的一元二次方程实际应用题，核心是梳理清楚每轮传播的人数变化规律，建立正确的等量关系列方程，求解后要结合实际问题的意义对根进行取舍，主要考查学生的逻辑梳理能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元二次方程传播类应用题，解题时先明确每轮传播后会做实验的人数变化：初始只有1名课代表会做实验，设1人每次教会x名同学，第一轮结束后会做实验的总人数为初始的1人加上新学会的x人，即(1+x)人；第二轮时，这(1+x)人每人再教会x人，第二轮新学会的人数为(1+x)x，两轮结束后全班49人都会做，因此将两轮总人数相加等于49即可列出方程，求解后舍去不符合实际意义的负数解就能得到答案。
【解析】
设1人每次能手把手教会x名同学。
根据题意列方程得：
$1+x+(x+1)x=49$
整理得：$x^2+2x-48=0$
因式分解得$(x+8)(x-6)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-8$。
由于教会的人数不能为负数，因此$x_2=-8$不合题意，舍去。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程，实际问题验根
【点评】
本题属于基础的一元二次方程实际应用题，核心是梳理清楚每轮传播的人数变化规律，建立正确的等量关系列方程，求解后要结合实际问题的意义对根进行取舍，主要考查学生的逻辑梳理能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
6.「2026江苏盐城盐都期中」在某校运动会开幕式上，校行进管乐团的表演方阵先排成3行4列，后又加入了30人，使得方阵增加的行数、列数相同，则增加了
3
行.答案
6.答案 3
解析 设增加了x行,则增加了x列,
根据题意得(3+x)(4+x)=3×4+30,
解得x₁=-10(不符合题意,舍去),x₂=3,
即增加了3行.
解析 设增加了x行,则增加了x列,
根据题意得(3+x)(4+x)=3×4+30,
解得x₁=-10(不符合题意,舍去),x₂=3,
即增加了3行.
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的等量关系：原方阵总人数 + 新加入的30人 = 行列数增加后的方阵总人数。先算出原方阵人数为3×4=12人，由于增加的行数和列数相同，我们可以设增加的行数为x，则增加的列数也为x，增加后方阵的行数为(3+x)、列数为(4+x)，总人数为二者乘积，据此列一元二次方程求解即可，最后要注意行数为正整数，需舍去不符合实际意义的解。
【解析】
设增加了x行，则增加的列数也为x，
根据题意列方程得：
$(3+x)(4+x) = 3×4 + 30$
展开整理得：
$x^2 + 7x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x+10)(x-3)=0$
解得$x_1=-10$（行数不能为负，不符合题意，舍去），$x_2=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程应用，方阵人数计算，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活中的方阵表演场景出题，属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是抓住行列增加数量相同的条件设未知数，根据总人数的变化列方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理题目中的等量关系：原方阵总人数 + 新加入的30人 = 行列数增加后的方阵总人数。先算出原方阵人数为3×4=12人，由于增加的行数和列数相同，我们可以设增加的行数为x，则增加的列数也为x，增加后方阵的行数为(3+x)、列数为(4+x)，总人数为二者乘积，据此列一元二次方程求解即可，最后要注意行数为正整数，需舍去不符合实际意义的解。
【解析】
设增加了x行，则增加的列数也为x，
根据题意列方程得：
$(3+x)(4+x) = 3×4 + 30$
展开整理得：
$x^2 + 7x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x+10)(x-3)=0$
解得$x_1=-10$（行数不能为负，不符合题意，舍去），$x_2=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程应用，方阵人数计算，一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活中的方阵表演场景出题，属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是抓住行列增加数量相同的条件设未知数，根据总人数的变化列方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
7. 学科特色
教材变式 有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大38，求原两位数。
教材变式 有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大38，求原两位数。
答案
7.解析 设原两位数的十位数字为x,则其个位数字为(14-x),
由题意,得10(14-x)+x-x(14-x)=38,
整理得x²-23x+102=0,
解得x₁=6,x₂=17(舍去),
∴ 14-x=14-6=8.故原两位数是68.
由题意,得10(14-x)+x-x(14-x)=38,
整理得x²-23x+102=0,
解得x₁=6,x₂=17(舍去),
∴ 14-x=14-6=8.故原两位数是68.
解析
【分析】
本题是数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；已知两个数位数字之和为14，因此可设十位数字为x，用含x的式子表示个位数字；再写出交换位置后的新两位数的表达式，根据“新两位数比两个数字的积大38”这一等量关系列方程；最后求解方程，结合数位数字的取值范围（0~9的整数，十位数字不为0）舍去不合题意的根，即可求出原两位数。
【解析】
设原两位数的十位数字为x，则其个位数字为(14 - x)，
交换位置后得到的新两位数为10(14 - x) + x，两个数字的积为x(14 - x)，
由题意得：$10(14 - x) + x - x(14 - x) = 38$，
整理得：$x^2 - 23x + 102 = 0$，
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = 17$，
∵ 十位数字只能是1~9的整数，17不符合实际意义，故舍去，
∴ 个位数字为$14 - 6 = 8$，原两位数为68。
【答案】
68
【知识点】
一元二次方程应用，两位数的表示，方程根的检验
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是掌握两位数的正确表示方法，找准题目中的等量关系列方程，同时要注意数位数字有明确的取值范围，求解后必须对根进行实际意义的检验，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
本题是数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；已知两个数位数字之和为14，因此可设十位数字为x，用含x的式子表示个位数字；再写出交换位置后的新两位数的表达式，根据“新两位数比两个数字的积大38”这一等量关系列方程；最后求解方程，结合数位数字的取值范围（0~9的整数，十位数字不为0）舍去不合题意的根，即可求出原两位数。
【解析】
设原两位数的十位数字为x，则其个位数字为(14 - x)，
交换位置后得到的新两位数为10(14 - x) + x，两个数字的积为x(14 - x)，
由题意得：$10(14 - x) + x - x(14 - x) = 38$，
整理得：$x^2 - 23x + 102 = 0$，
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = 17$，
∵ 十位数字只能是1~9的整数，17不符合实际意义，故舍去，
∴ 个位数字为$14 - 6 = 8$，原两位数为68。
【答案】
68
【知识点】
一元二次方程应用，两位数的表示，方程根的检验
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是掌握两位数的正确表示方法，找准题目中的等量关系列方程，同时要注意数位数字有明确的取值范围，求解后必须对根进行实际意义的检验，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
