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8. 聚焦中考
跨学科主题学习「2026 江苏无锡惠山洛社中学月考，★☆」
根据物理学定律，若把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为$10x - 4.9x^2$，那么物体经过
跨学科主题学习「2026 江苏无锡惠山洛社中学月考，★☆」
根据物理学定律，若把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为$10x - 4.9x^2$，那么物体经过
$\frac{100}{49}$
s落回地面。答案
8.答案 $\frac{100}{49}$
解析 物体落回地面时,$10x-4.9x^2=0$,解得$x_1=\frac{100}{49}$,$x_2=0$(舍去),即物体经过$\frac{100}{49}$ s落回地面.
解析 物体落回地面时,$10x-4.9x^2=0$,解得$x_1=\frac{100}{49}$,$x_2=0$(舍去),即物体经过$\frac{100}{49}$ s落回地面.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确“物体落回地面”的实际意义：此时物体离地面的高度为0。我们可以据此列出关于x的一元二次方程，求解方程后，再结合实际情境舍去不符合题意的解，即可得到物体落回地面的时间。
【解析】
当物体落回地面时，它离地面的高度为0，因此可列方程：
$10x - 4.9x^2 = 0$
对左边因式分解得：
$x(10 - 4.9x) = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{10}{4.9} = \frac{100}{49}$
其中$x=0$表示物体刚被抛出的时刻，不符合落回地面的题意，故舍去。
【答案】
$\frac{100}{49}$
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解方程；解的实际取舍
【点评】
本题结合竖直上抛运动的物理背景考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是抓住“落回地面时高度为0”这一等量关系列方程，同时要注意结合实际场景排除不符合要求的解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确“物体落回地面”的实际意义：此时物体离地面的高度为0。我们可以据此列出关于x的一元二次方程，求解方程后，再结合实际情境舍去不符合题意的解，即可得到物体落回地面的时间。
【解析】
当物体落回地面时，它离地面的高度为0，因此可列方程：
$10x - 4.9x^2 = 0$
对左边因式分解得：
$x(10 - 4.9x) = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{10}{4.9} = \frac{100}{49}$
其中$x=0$表示物体刚被抛出的时刻，不符合落回地面的题意，故舍去。
【答案】
$\frac{100}{49}$
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解方程；解的实际取舍
【点评】
本题结合竖直上抛运动的物理背景考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是抓住“落回地面时高度为0”这一等量关系列方程，同时要注意结合实际场景排除不符合要求的解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
9.「2026江苏苏州立达中学月考，★☆」2025年，某音乐节推出了普通票与VIP票.据了解，1张普通票比1张VIP票便宜60元，用720元买的普通票的数量与用1080元买的VIP票的数量相同.
(1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元.
(2)据统计，音乐节首日普通票销量是400张，VIP票销量是360张.第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了$\frac{1}{2}m$张，VIP票单价保持不变，销量减少了$\frac{1}{3}m$张，最终第二天总销售额比首日少了490m元，求m的值.
(1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元.
(2)据统计，音乐节首日普通票销量是400张，VIP票销量是360张.第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了$\frac{1}{2}m$张，VIP票单价保持不变，销量减少了$\frac{1}{3}m$张，最终第二天总销售额比首日少了490m元，求m的值.
答案
9.解析 (1)设普通票的单价为x元,则VIP票的单价为(x+60)元,由题意得$\frac{720}{x}=\frac{1\ 080}{x+60}$,解得x=120,
经检验,x=120是原方程的解,且符合题意,则x+60=120+60=180.
答:普通票的单价为120元,VIP票的单价为180元.
(2)根据题意,得$(120-m)(400-\frac{1}{2}m)+180(360-\frac{1}{3}m)+490m=400×120+360×180$,整理得$\frac{1}{2}m^2-30m=0$,解得$m_1=60,m_2=0$(舍去),即m的值为60.
经检验,x=120是原方程的解,且符合题意,则x+60=120+60=180.
答:普通票的单价为120元,VIP票的单价为180元.
(2)根据题意,得$(120-m)(400-\frac{1}{2}m)+180(360-\frac{1}{3}m)+490m=400×120+360×180$,整理得$\frac{1}{2}m^2-30m=0$,解得$m_1=60,m_2=0$(舍去),即m的值为60.
解析
【分析】
(1) 本题为分式方程应用题，解题核心是找到等量关系：720元购买普通票的数量=1080元购买VIP票的数量。已知普通票单价比VIP票低60元，可设普通票单价为x元，VIP票单价为(x+60)元，结合“数量=总价÷单价”分别表示两种票的购买数量，列方程求解即可，注意分式方程要检验解是否符合题意。
(2) 本题第二问为一元二次方程应用题，等量关系为：第二天总销售额+490m元=首日总销售额。先计算首日总销售额，再分别表示出第二天两种票的单价、销量，进而写出第二天总销售额的表达式，代入等量关系列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
(1) 设普通票的单价为x元，则VIP票的单价为(x+60)元。
根据题意列方程：
$\frac{720}{x}=\frac{1080}{x+60}$
交叉相乘得：$720(x+60)=1080x$
整理得：$360x=43200$
解得：$x=120$
经检验，$x=120$是原方程的解，且符合实际意义。
则VIP票单价为：$x+60=120+60=180$（元）
(2) 首日总销售额为：$400×120+360×180=112800$元。
根据题意，第二天普通票单价为$(120-m)$元，销量为$(400-\frac{1}{2}m)$张；VIP票单价为180元，销量为$(360-\frac{1}{3}m)$张，列方程得：
$(120-m)(400-\frac{1}{2}m)+180(360-\frac{1}{3}m)+490m=112800$
展开整理得：$\frac{1}{2}m^2-30m=0$
因式分解得：$m(\frac{1}{2}m-30)=0$
解得：$m_1=60$，$m_2=0$（不符合降价促销的实际情况，舍去）
即m的值为60。
【答案】
(1) 普通票单价为120元，VIP票单价为180元；
(2) $m=60$
【知识点】
分式方程应用；一元二次方程应用；销售等量关系
【点评】
本题是常规销售类应用题，第一问重点考查分式方程的实际应用，需注意分式方程必须验根；第二问考查一元二次方程的实际应用，解题关键是准确提取两天销售额的数量关系，求解后要结合实际舍去不符合要求的解，整体侧重考查学生提取信息、列方程解方程的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为分式方程应用题，解题核心是找到等量关系：720元购买普通票的数量=1080元购买VIP票的数量。已知普通票单价比VIP票低60元，可设普通票单价为x元，VIP票单价为(x+60)元，结合“数量=总价÷单价”分别表示两种票的购买数量，列方程求解即可，注意分式方程要检验解是否符合题意。
(2) 本题第二问为一元二次方程应用题，等量关系为：第二天总销售额+490m元=首日总销售额。先计算首日总销售额，再分别表示出第二天两种票的单价、销量，进而写出第二天总销售额的表达式，代入等量关系列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
(1) 设普通票的单价为x元，则VIP票的单价为(x+60)元。
根据题意列方程：
$\frac{720}{x}=\frac{1080}{x+60}$
交叉相乘得：$720(x+60)=1080x$
整理得：$360x=43200$
解得：$x=120$
经检验，$x=120$是原方程的解，且符合实际意义。
则VIP票单价为：$x+60=120+60=180$（元）
(2) 首日总销售额为：$400×120+360×180=112800$元。
根据题意，第二天普通票单价为$(120-m)$元，销量为$(400-\frac{1}{2}m)$张；VIP票单价为180元，销量为$(360-\frac{1}{3}m)$张，列方程得：
$(120-m)(400-\frac{1}{2}m)+180(360-\frac{1}{3}m)+490m=112800$
展开整理得：$\frac{1}{2}m^2-30m=0$
因式分解得：$m(\frac{1}{2}m-30)=0$
解得：$m_1=60$，$m_2=0$（不符合降价促销的实际情况，舍去）
即m的值为60。
【答案】
(1) 普通票单价为120元，VIP票单价为180元；
(2) $m=60$
【知识点】
分式方程应用；一元二次方程应用；销售等量关系
【点评】
本题是常规销售类应用题，第一问重点考查分式方程的实际应用，需注意分式方程必须验根；第二问考查一元二次方程的实际应用，解题关键是准确提取两天销售额的数量关系，求解后要结合实际舍去不符合要求的解，整体侧重考查学生提取信息、列方程解方程的能力。
【难度系数】
0.7
10. 核心素养应用意识 聚焦中考项目式学习 「2026 江苏盐城阜宁期中」根据以下素材，探索并完成任务. 
答案
10.解析 任务1:设每天票房收入增长的百分率是x,
由题意得8(1+x)²=11.52,
解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不符合题意,舍去).
答:每天票房收入增长的百分率是20%.
任务2:设每个玩具降价m元,则降价后每个玩具的利润为(70-m-40)元,销售量为$(60+\frac{m}{2}×10)$个,
由题意得$(70-m-40)(60+\frac{m}{2}×10)=2\ 160$,
整理得m²-18m+72=0,解得m₁=12,m₂=6.
∵ 要尽量减少库存,
∴ 每个玩具应降价12元.
任务3:该商家平均每天不能获利2 300元,理由:
设每个玩具降价y元,则降价后每个玩具的利润为(70-y-40)元,销售量为$(60+\frac{y}{2}×10)$个,
由题意得$(70-y-40)(60+\frac{y}{2}×10)=2\ 300$,
整理得y²-18y+100=0,
∵ Δ=(-18)²-4×1×100=-76＜0,
∴ 原方程无实数根,
∴ 该商家平均每天不能获利2 300元.
由题意得8(1+x)²=11.52,
解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不符合题意,舍去).
答:每天票房收入增长的百分率是20%.
任务2:设每个玩具降价m元,则降价后每个玩具的利润为(70-m-40)元,销售量为$(60+\frac{m}{2}×10)$个,
由题意得$(70-m-40)(60+\frac{m}{2}×10)=2\ 160$,
整理得m²-18m+72=0,解得m₁=12,m₂=6.
∵ 要尽量减少库存,
∴ 每个玩具应降价12元.
任务3:该商家平均每天不能获利2 300元,理由:
设每个玩具降价y元,则降价后每个玩具的利润为(70-y-40)元,销售量为$(60+\frac{y}{2}×10)$个,
由题意得$(70-y-40)(60+\frac{y}{2}×10)=2\ 300$,
整理得y²-18y+100=0,
∵ Δ=(-18)²-4×1×100=-76＜0,
∴ 原方程无实数根,
∴ 该商家平均每天不能获利2 300元.
解析
【分析】
任务1为增长率类问题，解题思路：设增长百分率为x，第一天票房为初始值，第三天票房是初始值经过2次增长后的结果，依据“初始值×(1+增长率)²=两次增长后的值”列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
任务2为销售利润类问题，解题思路：总利润=单个商品利润×销售量，设每个玩具降价m元，先分别表示出降价后的单个利润、销售量，再根据总利润2160元列方程求解，结合“尽量减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解即可。
任务3同样是销售利润问题，解题思路：先按照总利润2300元列一元二次方程，再计算根的判别式判断方程是否有实根，若判别式小于0则无实根，说明无法达到目标利润，反之则可以达到。
【解析】
任务1
设每天票房收入增长的百分率是x，
由题意得：$\boldsymbol{8(1+x)^2=11.52}$，
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
任务2
设每个玩具应降价m元，
则降价后单个玩具的利润为$(70-m-40)$元，每天的销售量为$(60+\frac{m}{2}×10)$个，
由总利润为2160元列方程：
$\boldsymbol{(70-m-40)(60+\frac{m}{2}×10)=2160}$，
整理得$m^2-18m+72=0$，解得$m_1=12$，$m_2=6$。
∵ 要尽量减少库存，需选择销售量更大的方案，即降价幅度更大的解，
∴ $m=12$。
任务3
该商家平均每天不能获利2300元，理由如下：
设每个玩具降价y元，
则降价后单个玩具的利润为$(70-y-40)$元，每天的销售量为$(60+\frac{y}{2}×10)$个，
由总利润为2300元列方程：
$\boldsymbol{(70-y-40)(60+\frac{y}{2}×10)=2300}$，
整理得$y^2-18y+100=0$，
∵ 根的判别式$\Delta=(-18)^2-4×1×100=-76＜0$，
∴ 原方程无实数根，即该商家平均每天不能获利2300元。
【答案】
任务1：每天票房收入增长的百分率是20%；
任务2：每个玩具应降价12元；
任务3：不能获利2300元。
【知识点】
1. 一元二次方程增长率应用
2. 销售利润问题
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合真实生活场景出题，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题时需要注意结合实际意义对解进行取舍，同时会用根的判别式判断方程解的情况，能有效提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
任务1为增长率类问题，解题思路：设增长百分率为x，第一天票房为初始值，第三天票房是初始值经过2次增长后的结果，依据“初始值×(1+增长率)²=两次增长后的值”列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
任务2为销售利润类问题，解题思路：总利润=单个商品利润×销售量，设每个玩具降价m元，先分别表示出降价后的单个利润、销售量，再根据总利润2160元列方程求解，结合“尽量减少库存”的要求，选择降价幅度更大的解即可。
任务3同样是销售利润问题，解题思路：先按照总利润2300元列一元二次方程，再计算根的判别式判断方程是否有实根，若判别式小于0则无实根，说明无法达到目标利润，反之则可以达到。
【解析】
任务1
设每天票房收入增长的百分率是x，
由题意得：$\boldsymbol{8(1+x)^2=11.52}$，
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
任务2
设每个玩具应降价m元，
则降价后单个玩具的利润为$(70-m-40)$元，每天的销售量为$(60+\frac{m}{2}×10)$个，
由总利润为2160元列方程：
$\boldsymbol{(70-m-40)(60+\frac{m}{2}×10)=2160}$，
整理得$m^2-18m+72=0$，解得$m_1=12$，$m_2=6$。
∵ 要尽量减少库存，需选择销售量更大的方案，即降价幅度更大的解，
∴ $m=12$。
任务3
该商家平均每天不能获利2300元，理由如下：
设每个玩具降价y元，
则降价后单个玩具的利润为$(70-y-40)$元，每天的销售量为$(60+\frac{y}{2}×10)$个，
由总利润为2300元列方程：
$\boldsymbol{(70-y-40)(60+\frac{y}{2}×10)=2300}$，
整理得$y^2-18y+100=0$，
∵ 根的判别式$\Delta=(-18)^2-4×1×100=-76＜0$，
∴ 原方程无实数根，即该商家平均每天不能获利2300元。
【答案】
任务1：每天票房收入增长的百分率是20%；
任务2：每个玩具应降价12元；
任务3：不能获利2300元。
【知识点】
1. 一元二次方程增长率应用
2. 销售利润问题
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合真实生活场景出题，考查一元二次方程在实际问题中的应用，解题时需要注意结合实际意义对解进行取舍，同时会用根的判别式判断方程解的情况，能有效提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
