14. 计算四个式子的值：$\sqrt{1^3}$、$\sqrt{1^3 + 2^3}$、$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3}$、$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3}$，观察计算结果，发现规律并得出：$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3}$的值为______．

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15. 若两个连续整数$a$、$b$满足$a＜\sqrt[3]{68}＜b$，则$\dfrac{1}{ab}$的值为______。

$\frac{1}{20}$

16. 求下列各式中 $ x $ 的值.
(1)$ x^3 - 216 = 0 $;
(2)$ (x - 1)^3 + 1 = -7 $;
(3)$ (x + 2)^3 = -8 $;
(4)$ ( \frac{1}{2}x + 1 )^3 = 8 $.

解：                x³=216                         x=6 ; 解：                (x-1)³=-8                            x-1=-2                               x=-1 ; 解：            x+2=-2                        x=-4 ; 解：         $\frac12x+1=2$                       $\frac12x=1$                          $x=2$

17. 已知$2a - 1$的平方根是$\pm 3$，$3b + 1$的立方根是$-2$，求$3a + 2b$的值。

解：∵​$2a - 1$​的平方根是​$\pm 3$​，∴​$2a - 1 = 9$​，∴​$a = 5$​；∵​$3b + 1$​的立方根是​$-2$​，∴​$3b + 1 = -8$​，∴​$b = -3$​。∴​$3a + 2b = 3×5 + 2×(-3) = 15 - 6 = 9$​。

18. 如图所示的零件是由两个正方体焊接而成的.已知大正方体和小正方体的体积分别为$125\ \mathrm{cm}^3$和$27\ \mathrm{cm}^3$,现要给这个零件的表面刷上油漆,求所刷油漆的总面积.

解：∵大正方体的体积为​$125\ \mathrm {cm}^3，$​小正方体的体积为​$27\ \mathrm {cm}^3，$​∴大正方体的棱长为​$5\ \mathrm {cm}，$​小正方体的棱长为​$3\ \mathrm {cm}，$​∴大正方体的每个表面的面积为​$25\ \mathrm {cm}^2，$​小正方体的每个表面的面积为​$9\ \mathrm {cm}^2，$​∴这个零件的表面积为​$25×6 + 9×4 =186(\mathrm {cm}^2)$​答：所刷油漆的总面积为​$186\ \mathrm {cm}^2。$​

19. 观察求算术平方根的规律,并利用这个规律解决下列问题:$\sqrt{0.0001}=0.01,\sqrt{0.01}=0.1$,
$\sqrt{1}=1,\sqrt{100}=10,\sqrt{10000}=100,······$
(1)已知$\sqrt{20}\approx4.47$,求$\sqrt{2000}$的值.
(2)已知$\sqrt{3.68}\approx1.918,\sqrt{a}\approx191.8$,求$a$的值.
(3)根据上述探究方法,尝试解决问题:已知$\sqrt[3]{n}\approx1.26,\sqrt[3]{m}\approx12.6$,用含$n$的代数式表示$m$.

解：(1) 因为$\sqrt{20}\approx4.47，$所以$\sqrt{2000}=\sqrt{20\times100}=\sqrt{20}\times\sqrt{100}\approx4.47\times10 = 44.7。$ (2) 因为$191.8 = 1.918\times100，$
所以$\sqrt{a}=\sqrt{3.68}\times100=\sqrt{3.68}\times\sqrt{10000}=\sqrt{3.68\times10000}=\sqrt{36800}，$
则$a = 36800。$ (3) 因为$1.26\times10 = 12.6，$所以$\sqrt[3]{n}\times10=\sqrt[3]{m}，$
即$\sqrt[3]{n}\times\sqrt[3]{1000}=\sqrt[3]{1000n}=\sqrt[3]{m}，$所以$m = 1000n。$