1. 如图，点 $ B $ 为双曲线 $ y = \dfrac{10}{x}(x ＞ 0) $ 上一点，直线 $ AB $ 平行于 $ y $ 轴，交直线 $ y = x $ 于点 $ A $，求 $ OB^{2} - AB^{2} $ 的值。

1. 20

解：设点$ B $的坐标为$(a,\dfrac{10}{a})$，其中$a＞0$。
因为直线$ AB $平行于$ y $轴，所以点$ A $的横坐标与点$ B $相同，为$a$。
又因为点$ A $在直线$ y = x $上，所以点$ A $的坐标为$(a,a)$。
则$ OB^{2}=a^{2}+(\dfrac{10}{a})^{2}$，$ AB^{2}=(a - \dfrac{10}{a})^{2}$。
$\begin{aligned}OB^{2}-AB^{2}&=a^{2}+(\dfrac{10}{a})^{2}-(a - \dfrac{10}{a})^{2}\\&=a^{2}+\dfrac{100}{a^{2}}-(a^{2}-2× a×\dfrac{10}{a}+\dfrac{100}{a^{2}})\\&=a^{2}+\dfrac{100}{a^{2}}-a^{2}+20-\dfrac{100}{a^{2}}\\&=20\end{aligned}$
故$ OB^{2}-AB^{2}$的值为$20$。

2. 如图，反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $ 图象上的两点 $ A $，$ B $ 的横坐标分别为 $ 1 $，$ 3 $，点 $ P $ 为 $ x $ 轴正半轴上一点。若 $ PA - PB $ 的最大值为 $ 2\sqrt{2} $，求 $ k $ 的值。

2. $ k = 3 $ 提示：当 $ P $ 为直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴的交点时 $ PA - PB $ 的值最大

解：由题意得，点$A(1,k)$，$B(3,\dfrac{k}{3})$。
设直线$AB$的解析式为$y=mx+n$，将$A$、$B$两点坐标代入得：
$\begin{cases}m + n = k \\3m + n = \dfrac{k}{3}\end{cases}$
解得$m=-\dfrac{k}{3}$，$n=\dfrac{4k}{3}$，故直线$AB$的解析式为$y=-\dfrac{k}{3}x+\dfrac{4k}{3}$。
令$y=0$，得$-\dfrac{k}{3}x+\dfrac{4k}{3}=0$，解得$x=4$，即点$P$的坐标为$(4,0)$。
此时$PA - PB = AB$，根据两点间距离公式：
$AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (\dfrac{k}{3} - k)^2} = \sqrt{4 + (-\dfrac{2k}{3})^2} = \sqrt{4 + \dfrac{4k^2}{9}}$
已知$PA - PB$的最大值为$2\sqrt{2}$，则：
$\sqrt{4 + \dfrac{4k^2}{9}} = 2\sqrt{2}$
两边平方得$4 + \dfrac{4k^2}{9} = 8$，解得$k^2 = 9$，因为$k＞0$，所以$k = 3$。
答案：$k=3$

3. 如图，直线 $ y = 2x $ 与双曲线 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $ 交于点 $ A $。若 $ OA = \sqrt{5} $。
(1) 求点 $ A $ 的坐标；
(2) 求 $ k $ 的值。

3. (1) $ A(1,2) $ (2) $ k = 2 $

解：(1)设点$A$的坐标为$(a,2a)$，其中$a＞0$。
因为$OA = \sqrt{5}$，根据勾股定理可得：
$\sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5}$
$\sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5}$
$\sqrt{5a^2} = \sqrt{5}$
$\sqrt{5}a = \sqrt{5}$
解得$a = 1$，所以点$A$的坐标为$(1,2)$。
(2)因为点$A(1,2)$在双曲线$y = \dfrac{k}{x}$上，所以将$A(1,2)$代入可得：
$2 = \dfrac{k}{1}$
解得$k = 2$。
(1) $A(1,2)$；(2) $k = 2$