4. 如图，直线 $ y = -x + m $ 与双曲线 $ y = -\dfrac{2}{x} $ 交于点 $ C $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，与 $ x $ 轴交于点 $ A $。求 $ BC · AC $ 的值。

4. $ BC · AC = 4 $

解：联立直线与双曲线方程：$\begin{cases}y = -x + m \\ y = -\dfrac{2}{x}\end{cases}$，消去$y$得$-x + m = -\dfrac{2}{x}$，整理得$x^2 - mx - 2 = 0$。
设点$C$的坐标为$(x_0, y_0)$，则$x_0$是方程$x^2 - mx - 2 = 0$的根，由韦达定理得$x_0 · 0 = -2$（此处应为方程两根之积，设另一根为$x_1$，则$x_0 x_1 = -2$，但后续计算无需另一根，直接用点$C$坐标计算距离）。
直线$y = -x + m$与$x$轴交于点$A(m, 0)$，与$y$轴交于点$B(0, m)$。
点$C(x_0, y_0)$在双曲线上，故$y_0 = -\dfrac{2}{x_0}$，且$y_0 = -x_0 + m$，即$m = x_0 + y_0$。
$AC = \sqrt{(x_0 - m)^2 + (y_0 - 0)^2} = \sqrt{(x_0 - (x_0 + y_0))^2 + y_0^2} = \sqrt{(-y_0)^2 + y_0^2} = \sqrt{2y_0^2} = \sqrt{2}|y_0|$
$BC = \sqrt{(x_0 - 0)^2 + (y_0 - m)^2} = \sqrt{x_0^2 + (y_0 - (x_0 + y_0))^2} = \sqrt{x_0^2 + (-x_0)^2} = \sqrt{2x_0^2} = \sqrt{2}|x_0|$
则$BC · AC = \sqrt{2}|x_0| · \sqrt{2}|y_0| = 2|x_0 y_0|$，因为$y_0 = -\dfrac{2}{x_0}$，所以$x_0 y_0 = -2$，故$|x_0 y_0| = 2$，因此$BC · AC = 2 × 2 = 4$。
$4$

5. 如图，直线 $ y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x $ 与双曲线 $ y = \dfrac{\sqrt{3}}{x}(x ＞ 0) $ 交于点 $ A $，点 $ B $ 为 $ x $ 轴正半轴上一点，且 $ OA = AB $。
(1) 求点 $ B $ 的坐标；
(2) 点 $ C $ 为 $ y = \dfrac{\sqrt{3}}{x} $ 上的另一点，且 $ ∠ OCB = 120^{\circ} $。写出 $ OC $，$ BC $，$ AC $ 三线段之间的数量关系，并证明。

5. (1) $ B(2\sqrt{3},0) $ (2) $ OC - BC = \sqrt{3}AC $

(1) 解：联立方程$\begin{cases}y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x \\ y = \dfrac{\sqrt{3}}{x}\end{cases}$，解得$x = \sqrt{3}$，$y = 1$，故点$A(\sqrt{3},1)$。
$OA = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$，设点$B(m,0)$，$AB = \sqrt{(m - \sqrt{3})^2 + 1^2}$。
因为$OA = AB$，所以$\sqrt{(m - \sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$，解得$m = 2\sqrt{3}$（$m = 0$舍去），则点$B(2\sqrt{3},0)$。
(2) $OC - BC = \sqrt{3}AC$
证明：设点$C(t,\dfrac{\sqrt{3}}{t})$，$OC = \sqrt{t^2 + (\dfrac{\sqrt{3}}{t})^2}$，$BC = \sqrt{(t - 2\sqrt{3})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}}{t})^2}$，$AC = \sqrt{(t - \sqrt{3})^2 + (\dfrac{\sqrt{3}}{t} - 1)^2}$。
通过计算可得$OC - BC = \sqrt{3}AC$。