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13.如果方程$\frac{x-4}{3} -8 = -\frac{x+2}{2}$的解与关于$x$的方程$4x-(3a+1)=6x+2a-1$的解相同，求$a-\frac{1}{a}$的值。
答案
13.$-\frac{15}{4}$
解析
【分析】
本题属于同解方程类问题，解题思路分为三步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$\frac{x-4}{3} -8 = -\frac{x+2}{2}$，得到$x$的具体值；第二步因为两个方程的解相同，将求得的$x$值代入含参数$a$的方程$4x-(3a+1)=6x+2a-1$，得到关于$a$的一元一次方程，求解得到$a$的值；第三步将$a$的值代入代数式$a-\frac{1}{a}$计算即可得到最终结果。解一元一次方程时按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作即可。
【解析】
1. 解方程$\frac{x-4}{3} -8 = -\frac{x+2}{2}$：
去分母（两边同乘6消去分母）：$2(x-4) - 48 = -3(x+2)$
去括号：$2x - 8 - 48 = -3x -6$
移项：$2x + 3x = -6 + 8 + 48$
合并同类项：$5x = 50$
系数化为1：$x = 10$
2. 因为两个方程的解相同，将$x=10$代入$4x-(3a+1)=6x+2a-1$：
代入得：$4×10 - (3a + 1) = 6×10 + 2a - 1$
化简：$40 - 3a - 1 = 60 + 2a - 1$
移项：$-3a - 2a = 60 - 1 - 40 + 1$
合并同类项：$-5a = 20$
系数化为1：$a = -4$
3. 计算$a-\frac{1}{a}$的值：
将$a=-4$代入得：$a-\frac{1}{a} = -4 - \frac{1}{-4} = -4 + \frac{1}{4} = -\frac{15}{4}$
【答案】
$-\frac{15}{4}$
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程；代数式求值
【点评】
本题是典型的同解方程应用题型，核心是利用“解相同”的条件建立参数和已知解的联系，只要熟练掌握一元一次方程的解题步骤，按照逻辑逐步推导即可顺利求解，计算时要注意符号问题，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.7
本题属于同解方程类问题，解题思路分为三步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$\frac{x-4}{3} -8 = -\frac{x+2}{2}$，得到$x$的具体值；第二步因为两个方程的解相同，将求得的$x$值代入含参数$a$的方程$4x-(3a+1)=6x+2a-1$，得到关于$a$的一元一次方程，求解得到$a$的值；第三步将$a$的值代入代数式$a-\frac{1}{a}$计算即可得到最终结果。解一元一次方程时按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作即可。
【解析】
1. 解方程$\frac{x-4}{3} -8 = -\frac{x+2}{2}$：
去分母（两边同乘6消去分母）：$2(x-4) - 48 = -3(x+2)$
去括号：$2x - 8 - 48 = -3x -6$
移项：$2x + 3x = -6 + 8 + 48$
合并同类项：$5x = 50$
系数化为1：$x = 10$
2. 因为两个方程的解相同，将$x=10$代入$4x-(3a+1)=6x+2a-1$：
代入得：$4×10 - (3a + 1) = 6×10 + 2a - 1$
化简：$40 - 3a - 1 = 60 + 2a - 1$
移项：$-3a - 2a = 60 - 1 - 40 + 1$
合并同类项：$-5a = 20$
系数化为1：$a = -4$
3. 计算$a-\frac{1}{a}$的值：
将$a=-4$代入得：$a-\frac{1}{a} = -4 - \frac{1}{-4} = -4 + \frac{1}{4} = -\frac{15}{4}$
【答案】
$-\frac{15}{4}$
【知识点】
一元一次方程的解法；同解方程；代数式求值
【点评】
本题是典型的同解方程应用题型，核心是利用“解相同”的条件建立参数和已知解的联系，只要熟练掌握一元一次方程的解题步骤，按照逻辑逐步推导即可顺利求解，计算时要注意符号问题，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.7
14.小明在对方程$\frac{x+2}{3}=\frac{x-a}{2}-1$去分母时，方程右边的－1没有乘6而得到错误的解$x=8$，你能由此判断出$a$的值吗？如果能，请求出方程正确的解。
答案
14.解:把 $x=8$ 代入方程 $2(x+2)=3(x-a)-1$,得 $2×(8+2)=3(8-a)-1$,
$20=24-3a-1$,
$3a=24-1-20$,
$3a=3$,
$a=1$,
所以方程为$\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}-1$,
解该方程得 $2(x+2)=3(x-1)-6$,
$2x+4=3x-3-6$,
$2x-3x=-3-6-4$,
$-x=-13$,
$x=13$,
即 $a=1$,
方程的解是 $x=13$。
$20=24-3a-1$,
$3a=24-1-20$,
$3a=3$,
$a=1$,
所以方程为$\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}-1$,
解该方程得 $2(x+2)=3(x-1)-6$,
$2x+4=3x-3-6$,
$2x-3x=-3-6-4$,
$-x=-13$,
$x=13$,
即 $a=1$,
方程的解是 $x=13$。
解析
【分析】
本题属于一元一次方程的错解求参问题，解题思路分为两步：第一步，先明确小明的错误操作：原方程去分母时两边应同乘6，小明仅给含分母的项乘了6，右边的-1未乘6，因此得到错误方程$2(x+2)=3(x-a)-1$，而错误解$x=8$满足这个错误方程，将$x=8$代入错误方程即可求出$a$的值；第二步，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：根据小明的错误操作，他去分母后得到的错误方程为$2(x+2)=3(x-a)-1$
将错误解$x=8$代入上述错误方程：
$2×(8+2)=3×(8-a)-1$
计算得：$20=24-3a-1$
移项整理得：$3a=24-1-20$
即$3a=3$，解得$a=1$
将$a=1$代入原方程，得$\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}-1$
正确去分母，两边同乘6：$2(x+2)=3(x-1)-6$
去括号：$2x+4=3x-3-6$
移项：$2x-3x=-3-6-4$
合并同类项：$-x=-13$
系数化为1：$x=13$
【答案】
$a=1$，方程正确的解为$x=13$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题是典型的一元一次方程错解求参问题，解题核心是抓住“错误的解对应满足错误变形后的方程”这一关键点，先求出参数再解原方程，需要注意去分母时常数项也要同乘公分母，避免出现同类错误。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程的错解求参问题，解题思路分为两步：第一步，先明确小明的错误操作：原方程去分母时两边应同乘6，小明仅给含分母的项乘了6，右边的-1未乘6，因此得到错误方程$2(x+2)=3(x-a)-1$，而错误解$x=8$满足这个错误方程，将$x=8$代入错误方程即可求出$a$的值；第二步，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：根据小明的错误操作，他去分母后得到的错误方程为$2(x+2)=3(x-a)-1$
将错误解$x=8$代入上述错误方程：
$2×(8+2)=3×(8-a)-1$
计算得：$20=24-3a-1$
移项整理得：$3a=24-1-20$
即$3a=3$，解得$a=1$
将$a=1$代入原方程，得$\frac{x+2}{3}=\frac{x-1}{2}-1$
正确去分母，两边同乘6：$2(x+2)=3(x-1)-6$
去括号：$2x+4=3x-3-6$
移项：$2x-3x=-3-6-4$
合并同类项：$-x=-13$
系数化为1：$x=13$
【答案】
$a=1$，方程正确的解为$x=13$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题是典型的一元一次方程错解求参问题，解题核心是抓住“错误的解对应满足错误变形后的方程”这一关键点，先求出参数再解原方程，需要注意去分母时常数项也要同乘公分母，避免出现同类错误。
【难度系数】
0.7
15.已知关于 $ x $ 的方程 $ mx - 1 = 2x + 1 $，其中 $ m ≠ 2 $。
(1)当 $ m = -1 $ 时，求该方程的解；
(2)写出 $ m $ 的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求出此时方程的解。
(1)当 $ m = -1 $ 时，求该方程的解；
(2)写出 $ m $ 的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求出此时方程的解。
答案
15.解:(1)当 $m=-1$ 时，
原方程可化为$-x-1=2x+1$,
解得 $x=-\frac{2}{3}$,
所以该方程的解为 $x=-\frac{2}{3}$。
(2)取 $m=3$,
此时方程为 $3x-1=2x+1$,
解得 $x=2$,
所以此时方程的解为 $x=2$。(答案不唯一)
原方程可化为$-x-1=2x+1$,
解得 $x=-\frac{2}{3}$,
所以该方程的解为 $x=-\frac{2}{3}$。
(2)取 $m=3$,
此时方程为 $3x-1=2x+1$,
解得 $x=2$,
所以此时方程的解为 $x=2$。(答案不唯一)
解析
【分析】
（1）第一问已知m的具体取值，解题时先将m=-1代入原方程，得到只含x的一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解即可。（2）第二问先把原方程整理为用含m的代数式表示x的形式，根据方程的解为正整数的要求，可知分母（m-2）是分子2的正因数，由此确定符合条件的正整数m，再代入求解方程即可。
【解析】
(1) 当 $m=-1$ 时，将其代入原方程，得：
$-x - 1 = 2x + 1$
移项，得：$-x - 2x = 1 + 1$
合并同类项，得：$-3x = 2$
系数化为1，得：$x = -\frac{2}{3}$
(2) 先整理原方程：
$mx -1 = 2x +1$
移项得：$mx - 2x = 1 +1$
合并同类项得：$(m-2)x = 2$
因为$m≠2$，所以$x = \frac{2}{m-2}$。
要使x为正整数，且m为正整数，则$m-2$是2的正因数，可取$m-2=1$，即$m=3$。
将$m=3$代入原方程，得：
$3x -1 = 2x +1$
解得$x=2$。
（答案不唯一，也可取$m=4$，此时$x=1$）
【答案】
(1) $x=-\frac{2}{3}$；(2) 示例：$m=3$时，方程的解为$x=2$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元一次方程解法 2. 含参方程求解 3. 整数解分析
【点评】
本题第一问属于基础求解题型，第二问为开放性题型，既考察一元一次方程的基本运算能力，也考察对正整数条件的转化分析能力，是对一元一次方程知识的灵活应用。
【难度系数】
0.8
（1）第一问已知m的具体取值，解题时先将m=-1代入原方程，得到只含x的一元一次方程，再按照移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解即可。（2）第二问先把原方程整理为用含m的代数式表示x的形式，根据方程的解为正整数的要求，可知分母（m-2）是分子2的正因数，由此确定符合条件的正整数m，再代入求解方程即可。
【解析】
(1) 当 $m=-1$ 时，将其代入原方程，得：
$-x - 1 = 2x + 1$
移项，得：$-x - 2x = 1 + 1$
合并同类项，得：$-3x = 2$
系数化为1，得：$x = -\frac{2}{3}$
(2) 先整理原方程：
$mx -1 = 2x +1$
移项得：$mx - 2x = 1 +1$
合并同类项得：$(m-2)x = 2$
因为$m≠2$，所以$x = \frac{2}{m-2}$。
要使x为正整数，且m为正整数，则$m-2$是2的正因数，可取$m-2=1$，即$m=3$。
将$m=3$代入原方程，得：
$3x -1 = 2x +1$
解得$x=2$。
（答案不唯一，也可取$m=4$，此时$x=1$）
【答案】
(1) $x=-\frac{2}{3}$；(2) 示例：$m=3$时，方程的解为$x=2$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元一次方程解法 2. 含参方程求解 3. 整数解分析
【点评】
本题第一问属于基础求解题型，第二问为开放性题型，既考察一元一次方程的基本运算能力，也考察对正整数条件的转化分析能力，是对一元一次方程知识的灵活应用。
【难度系数】
0.8
