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4. 如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8，点C是BD的延长线上的一点，CD=2.求证：AC是⊙O的切线. 
答案
4. $\because AD ⊥ BD, \therefore ∠ ADB=90°, \therefore AB$ 为 $\odot O$ 的直径. $\because BD=2AD=8$,$\therefore AD=4$,在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,$AB^2=AD^2+BD^2=4^2+8^2=80$,在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+2^2=20. \because BC^2=(2+8)^2=100, \therefore AC^2+AB^2=BC^2, \therefore △ ABC$ 为直角三角形, $∠ BAC=90°, \therefore AC ⊥ AB. \because AB$ 为直径,$\therefore AC$ 是$\odot O$的切线.
解析
【分析】要证明AC是⊙O的切线，根据切线的判定定理，若AB为⊙O的直径，只需证明AC⊥AB即可。首先由AD⊥BD，结合圆周角定理的推论可先确定AB是⊙O的直径；接下来分别计算△ABC三边的平方，利用勾股定理的逆定理判断∠BAC是否为直角，若为直角即可得AC垂直于直径AB，进而得到AC是切线。
【解析】
证明：
$\because AD ⊥ BD$，$\therefore ∠ ADB=90°$，
$\therefore$ AB为$\odot O$的直径。
$\because BD=2AD=8$，$\therefore AD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=4^2+8^2=80$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=2$，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+2^2=20$，
又$\because BC=CD+BD=2+8=10$，$\therefore BC^2=10^2=100$，
$\because AC^2+AB^2=20+80=100=BC^2$，
$\therefore △ ABC$为直角三角形，且$∠ BAC=90°$，
$\therefore AC ⊥ AB$，
又$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
【答案】AC是$\odot O$的切线，证明成立。
【知识点】切线的判定；圆周角定理推论；勾股定理及逆定理
【点评】本题是切线判定的典型题型，解题核心是明确切线判定的常见思路：已知直径时，只需证明直线与直径垂直即可判定为切线。本题将圆的性质与直角三角形的性质结合考查，逻辑链条清晰。
【难度系数】0.7
【解析】
证明：
$\because AD ⊥ BD$，$\therefore ∠ ADB=90°$，
$\therefore$ AB为$\odot O$的直径。
$\because BD=2AD=8$，$\therefore AD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=4^2+8^2=80$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=2$，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+2^2=20$，
又$\because BC=CD+BD=2+8=10$，$\therefore BC^2=10^2=100$，
$\because AC^2+AB^2=20+80=100=BC^2$，
$\therefore △ ABC$为直角三角形，且$∠ BAC=90°$，
$\therefore AC ⊥ AB$，
又$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
【答案】AC是$\odot O$的切线，证明成立。
【知识点】切线的判定；圆周角定理推论；勾股定理及逆定理
【点评】本题是切线判定的典型题型，解题核心是明确切线判定的常见思路：已知直径时，只需证明直线与直径垂直即可判定为切线。本题将圆的性质与直角三角形的性质结合考查，逻辑链条清晰。
【难度系数】0.7
5. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C和点D是$\odot O$上的两点，连结BC，DC，$BC=CD$，$CE ⊥ DA$，交DA的延长线于点E.求证：CE是$\odot O$的切线. 
答案
5. 连结 $OD,OC$,如图,在 $△ COD$ 和 $△ COB$ 中,$\begin{cases} OD=OB, \\ OC=OC, \\ CD=CB, \end{cases} \therefore △ COD ≌ △ COB(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ OCD = ∠ BCO. \because CO=BO, \therefore ∠ B = ∠ BCO. \because ∠ B = ∠ ADC, \therefore ∠ ADC = ∠ DCO. \therefore DA // CO, \therefore ∠ E+ ∠ ECO=180°. \because CE ⊥ EA, \therefore ∠ E=90°. \therefore ∠ ECO=90°, \therefore EC ⊥ CO. \because CO$ 是 $\odot O$ 的半径,$\therefore EC$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明CE是$\odot O$的切线，已知点C在$\odot O$上，根据切线的判定定理，只需证明CE垂直于半径OC即可。首先作辅助线连接OC、OD，已知$CE⊥ ED$，所以只要证明$OC// ED$，就能得到$∠ ECO=∠ E=90°$，从而证得垂直。要证平行，可通过证明内错角$∠ ADC=∠ OCD$实现：先利用SSS证明$△ COD≌△ COB$，得到$∠ OCD=∠ BCO$；再结合等腰三角形性质得$∠ B=∠ BCO$，根据圆周角定理同弧所对的圆周角相等得$∠ B=∠ ADC$，通过角的等量代换即可得到$∠ ADC=∠ OCD$，进而得到平行关系，完成证明。
【解析】
证明：连结$OD,OC$，
在$△ COD$和$△ COB$中，
$\begin{cases} OD=OB（同圆半径相等）, \\ OC=OC（公共边）, \\ CD=CB（已知）, \end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ COB(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ OCD = ∠ BCO$。
$\because CO=BO$（同圆半径相等），
$\therefore ∠ B = ∠ BCO$（等边对等角）。
$\because ∠ B = ∠ ADC$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore ∠ ADC = ∠ DCO$（等量代换），
$\therefore DA // CO$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ E+ ∠ ECO=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because CE ⊥ EA$（已知），
$\therefore ∠ E=90°$（垂直的定义），
$\therefore ∠ ECO=90°$，即$EC ⊥ CO$。
又$\because CO$是$\odot O$的半径，
$\therefore EC$是$\odot O$的切线。
【答案】
5. 连结 $OD,OC$,如图,在 $△ COD$ 和 $△ COB$ 中,$\begin{cases} OD=OB, \\ OC=OC, \\ CD=CB, \end{cases} \therefore △ COD ≌ △ COB(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ OCD = ∠ BCO. \because CO=BO, \therefore ∠ B = ∠ BCO. \because ∠ B = ∠ ADC, \therefore ∠ ADC = ∠ DCO. \therefore DA // CO, \therefore ∠ E+ ∠ ECO=180°. \because CE ⊥ EA, \therefore ∠ E=90°. \therefore ∠ ECO=90°, \therefore EC ⊥ CO. \because CO$ 是 $\odot O$ 的半径,$\therefore EC$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆中切线证明的常规题型，核心考查切线的判定思路（连半径、证垂直），解题时通过构造全等三角形得到角的等量关系，结合圆周角定理、平行线的性质推导垂直关系，熟练掌握圆的相关性质和全等三角形的判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要证明CE是$\odot O$的切线，已知点C在$\odot O$上，根据切线的判定定理，只需证明CE垂直于半径OC即可。首先作辅助线连接OC、OD，已知$CE⊥ ED$，所以只要证明$OC// ED$，就能得到$∠ ECO=∠ E=90°$，从而证得垂直。要证平行，可通过证明内错角$∠ ADC=∠ OCD$实现：先利用SSS证明$△ COD≌△ COB$，得到$∠ OCD=∠ BCO$；再结合等腰三角形性质得$∠ B=∠ BCO$，根据圆周角定理同弧所对的圆周角相等得$∠ B=∠ ADC$，通过角的等量代换即可得到$∠ ADC=∠ OCD$，进而得到平行关系，完成证明。
【解析】
证明：连结$OD,OC$，
在$△ COD$和$△ COB$中，
$\begin{cases} OD=OB（同圆半径相等）, \\ OC=OC（公共边）, \\ CD=CB（已知）, \end{cases}$
$\therefore △ COD ≌ △ COB(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ OCD = ∠ BCO$。
$\because CO=BO$（同圆半径相等），
$\therefore ∠ B = ∠ BCO$（等边对等角）。
$\because ∠ B = ∠ ADC$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore ∠ ADC = ∠ DCO$（等量代换），
$\therefore DA // CO$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ E+ ∠ ECO=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because CE ⊥ EA$（已知），
$\therefore ∠ E=90°$（垂直的定义），
$\therefore ∠ ECO=90°$，即$EC ⊥ CO$。
又$\because CO$是$\odot O$的半径，
$\therefore EC$是$\odot O$的切线。
【答案】
5. 连结 $OD,OC$,如图,在 $△ COD$ 和 $△ COB$ 中,$\begin{cases} OD=OB, \\ OC=OC, \\ CD=CB, \end{cases} \therefore △ COD ≌ △ COB(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ OCD = ∠ BCO. \because CO=BO, \therefore ∠ B = ∠ BCO. \because ∠ B = ∠ ADC, \therefore ∠ ADC = ∠ DCO. \therefore DA // CO, \therefore ∠ E+ ∠ ECO=180°. \because CE ⊥ EA, \therefore ∠ E=90°. \therefore ∠ ECO=90°, \therefore EC ⊥ CO. \because CO$ 是 $\odot O$ 的半径,$\therefore EC$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆中切线证明的常规题型，核心考查切线的判定思路（连半径、证垂直），解题时通过构造全等三角形得到角的等量关系，结合圆周角定理、平行线的性质推导垂直关系，熟练掌握圆的相关性质和全等三角形的判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$是$AB$边的中点,点$O$在$AC$边上,$\odot O$经过点$C$且与$AB$边相切于点$E$,$∠ FAC=\frac{1}{2}∠ BDC$.
(1)求证:$AF$是$\odot O$的切线;
(2)若$BC=6$,$AB=10$,求$\odot O$的半径长.
(1)求证:$AF$是$\odot O$的切线;
(2)若$BC=6$,$AB=10$,求$\odot O$的半径长.
答案
6. (1)如图,作 $OH ⊥ FA$,垂足为点 $H$,连结 $OE$,$\because ∠ ACB=90°, D$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore CD=AD=\frac{1}{2}AB, \therefore ∠ CAD = ∠ ACD. \because ∠ BDC = ∠ CAD + ∠ ACD=2 ∠ CAD$,又 $\because ∠ FAC=\frac{1}{2} ∠ BDC$,$\therefore ∠ FAC = ∠ CAD$,即 $AC$ 是 $∠ FAB$ 的平分线. $\because$ 点 $O$ 在 $AC$ 上, $\odot O$ 与 $AB$ 相切于点 $E, \therefore OE ⊥ AB$,且 $OE$ 是 $\odot O$ 的半径, $\therefore OH=OE$,$OH$ 是 $\odot O$ 的半径,$\therefore AF$ 是$\odot O$的切线.
(2)在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, BC=6, AB=10, \therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8. \because BE, BC$ 是 $\odot O$ 的切线, $\therefore BC=BE=6, \therefore AE=10-6=4$,设 $\odot O$ 的半径为 $r$,则 $OC=OE=r$,在 $\mathrm{Rt}△ OEA$ 中,由勾股定理得 $OE^2+AE^2=OA^2, \therefore r^2+16=(8-r)^2$,解得 $r=3. \therefore \odot O$ 的半径长为 3.
解析
【分析】
(1) 要证明AF是$\odot O$的切线，AF与$\odot O$的交点未明确给出，因此采用“作垂直，证半径”的思路：过O作$OH⊥AF$于H，只需证明OH等于$\odot O$的半径即可。首先利用直角三角形斜边中线的性质推得$∠BDC=2∠CAD$，结合已知角的关系可证AC平分$∠FAB$；再根据$\odot O$与AB相切的性质得$OE⊥AB$，利用角平分线的性质即可得$OH=OE$，进而证明AF是切线。
(2) 求$\odot O$半径时，先在$Rt△ABC$中用勾股定理算出AC的长；再根据切线长定理得$BC=BE$，进而求出AE的长度；设半径为r，将OA用含r的式子表示，在$Rt△OEA$中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) 证明：如图，作 $OH ⊥ FA$，垂足为点 $H$，连结 $OE$，
$\because ∠ ACB=90°, D$ 是 $AB$ 的中点，
$\therefore CD=AD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ ACD$。
$\because ∠ BDC = ∠ CAD + ∠ ACD=2 ∠ CAD$，
又 $\because ∠ FAC=\frac{1}{2} ∠ BDC$，
$\therefore ∠ FAC = ∠ CAD$，即 $AC$ 是 $∠ FAB$ 的平分线。
$\because$ 点 $O$ 在 $AC$ 上，$\odot O$ 与 $AB$ 相切于点 $E$，
$\therefore OE ⊥ AB$，且 $OE$ 是 $\odot O$ 的半径，
根据角平分线的性质可得 $OH=OE$，即$OH$是$\odot O$的半径，
$\therefore AF$ 是$\odot O$的切线。
(2) 解：在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°, BC=6, AB=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because BC⊥OC$，OC是$\odot O$的半径，$\therefore BC$是$\odot O$的切线，
又$\because BE$是$\odot O$的切线，由切线长定理得 $BC=BE=6$，
$\therefore AE=AB-BE=10-6=4$。
设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OC=OE=r$，$OA=AC-OC=8-r$，
在 $\mathrm{Rt}△ OEA$ 中，由勾股定理得 $OE^2+AE^2=OA^2$，
$\therefore r^2+4^2=(8-r)^2$，
化简得$16r=48$，解得 $r=3$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\odot O$ 的半径长为 3。
【知识点】
切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型习题，解题关键是熟练掌握切线的判定方法、直角三角形相关性质，灵活运用角平分线性质和切线长定理，结合勾股定理列方程求解，考查了数形结合思想与方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AF是$\odot O$的切线，AF与$\odot O$的交点未明确给出，因此采用“作垂直，证半径”的思路：过O作$OH⊥AF$于H，只需证明OH等于$\odot O$的半径即可。首先利用直角三角形斜边中线的性质推得$∠BDC=2∠CAD$，结合已知角的关系可证AC平分$∠FAB$；再根据$\odot O$与AB相切的性质得$OE⊥AB$，利用角平分线的性质即可得$OH=OE$，进而证明AF是切线。
(2) 求$\odot O$半径时，先在$Rt△ABC$中用勾股定理算出AC的长；再根据切线长定理得$BC=BE$，进而求出AE的长度；设半径为r，将OA用含r的式子表示，在$Rt△OEA$中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) 证明：如图，作 $OH ⊥ FA$，垂足为点 $H$，连结 $OE$，
$\because ∠ ACB=90°, D$ 是 $AB$ 的中点，
$\therefore CD=AD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore ∠ CAD = ∠ ACD$。
$\because ∠ BDC = ∠ CAD + ∠ ACD=2 ∠ CAD$，
又 $\because ∠ FAC=\frac{1}{2} ∠ BDC$，
$\therefore ∠ FAC = ∠ CAD$，即 $AC$ 是 $∠ FAB$ 的平分线。
$\because$ 点 $O$ 在 $AC$ 上，$\odot O$ 与 $AB$ 相切于点 $E$，
$\therefore OE ⊥ AB$，且 $OE$ 是 $\odot O$ 的半径，
根据角平分线的性质可得 $OH=OE$，即$OH$是$\odot O$的半径，
$\therefore AF$ 是$\odot O$的切线。
(2) 解：在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°, BC=6, AB=10$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$\because BC⊥OC$，OC是$\odot O$的半径，$\therefore BC$是$\odot O$的切线，
又$\because BE$是$\odot O$的切线，由切线长定理得 $BC=BE=6$，
$\therefore AE=AB-BE=10-6=4$。
设 $\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OC=OE=r$，$OA=AC-OC=8-r$，
在 $\mathrm{Rt}△ OEA$ 中，由勾股定理得 $OE^2+AE^2=OA^2$，
$\therefore r^2+4^2=(8-r)^2$，
化简得$16r=48$，解得 $r=3$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\odot O$ 的半径长为 3。
【知识点】
切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型习题，解题关键是熟练掌握切线的判定方法、直角三角形相关性质，灵活运用角平分线性质和切线长定理，结合勾股定理列方程求解，考查了数形结合思想与方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
