1. ★★★(2025·福建中考)如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C. AB//PC，且交⊙O于点B. 若∠P=30°，则∠BCP的大小为 ()

A.30°
B.45°
C.60°
D.75°

1. C

【分析】
遇到圆的切线问题，首先考虑连接切点与圆心，利用切线垂直于过切点的半径构造直角三角形。本题中先连接OA，结合已知∠P=30°，可求出∠AOP的度数；再利用AB//PC的平行线性质得到内错角相等，结合OA=OB的半径相等关系，判断△OAB的形状，求出∠AOB的度数；最后根据平角定义求出∠BOC，结合OB=OC的等腰三角形性质即可求出∠BCP的大小。
【解析】
解：连接OA，
∵ PA与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥PA，即∠PAO=90°，
在Rt△PAO中，∠P=30°，
∴ ∠AOP=90°-∠P=60°，
∵ AB//PC，
∴ ∠OAB=∠AOP=60°，
又
∵ OA=OB（都是圆的半径），
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°，
∵ P、O、C三点共线，
∴ ∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=180°-60°-60°=60°，
又
∵ OB=OC（都是圆的半径），
∴ △OBC是等腰三角形，
∴ ∠BCP=(180°-∠BOC)÷2=(180°-60°)÷2=60°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是连接切点与圆心构造直角三角形，再结合平行线、特殊三角形的性质逐步推导角度，是圆类角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.7

2. 如图所示，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，$∠ APB=40°$，点C是$\odot O$上不同于A，B的任意一点，则$∠ ACB$的度数为。

2. 70°或110°

【分析】
首先根据切线的性质，连接圆心O与两个切点A、B，得到两条垂直于切线的半径，先求出圆心角∠AOB的度数。需要注意点C是圆上异于A、B的任意一点，位置存在两种情况：在优弧AB上，或在劣弧AB上，再结合圆周角定理分别计算两种情况下∠ACB的度数即可。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
四边形OAPB的内角和为$360°$，已知$∠ APB=40°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ APB=360°-90°-90°-40°=140°$。
分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$；
2. 当点C在劣弧AB上时，此时∠ACB所对的弧为优弧AB，优弧AB对应的圆心角为$360°-140°=220°$，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}×220°=110°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$70°$或$110°$。
【答案】
$70°$或$110°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题的易错点是容易忽略点C在圆上的位置有两种情况，只算出其中一个答案，解题时要注意结合图形全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

3. ★★★(2025·崇左月考)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$O$是$AB$上一点,$\odot O$与$BC$相切于点$E$,交$AB$于点$F$,连结$AE$,若$AF=2BF$,则$∠ CAE$的度数是.

3. 30°

【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接圆心O与切点E，得到OE⊥BC；结合∠C=90°可推出OE//AC，得到角的等量关系。再根据AF=2BF的条件，推导OB与OE的长度关系，在直角三角形OEB中求出∠B的度数，进而得到∠CAB的度数。最后结合等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠CAE的度数。
【解析】
解：连接OE，
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BC，
又
∵∠C=90°，即AC⊥BC，
∴OE//AC，
∴∠CAE=∠OEA。
设⊙O的半径为r，则OA=OE=OF=r，AF=2r，
∵AF=2BF，
∴BF=r，
∴OB=OF+BF=r+r=2r。
在Rt△OEB中，OE=r，OB=2r，
∴$\sin B=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
∴在Rt△ABC中，∠CAB=90°-∠B=60°。
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
又
∵∠CAE=∠OEA，
∴∠CAE=∠OAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°。
【答案】
30°
【知识点】
切线的性质；直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是切线性质应用的常规题型，解题的突破口是连接切点与圆心构造辅助线，通过线段关系推导角度，再结合平行线、等腰三角形的性质完成角的转化，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

4. 如图，$FA, GB, HC, ID, JE$是五边形$ABCDE$的外接圆的切线，则$∠ BAF + ∠ CBG + ∠ DCH + ∠ EDI + ∠ AEJ =$ $°$.

4. 180

【分析】
遇到圆的切线与弦的夹角问题，优先考虑弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧度数的一半。首先分别确定五个待求角各自所夹的弧，可发现这五个弧恰好构成外接圆的整个圆周，总度数为360°，将五个角用对应弧的度数表示后求和，即可得到最终结果。
【解析】
根据弦切角定理，弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半：
$∠ BAF$夹弧$\overset{\frown}{AB}$，故$∠ BAF=\frac{1}{2}×$弧$\overset{\frown}{AB}$的度数；
$∠ CBG$夹弧$\overset{\frown}{BC}$，故$∠ CBG=\frac{1}{2}×$弧$\overset{\frown}{BC}$的度数；
$∠ DCH$夹弧$\overset{\frown}{CD}$，故$∠ DCH=\frac{1}{2}×$弧$\overset{\frown}{CD}$的度数；
$∠ EDI$夹弧$\overset{\frown}{DE}$，故$∠ EDI=\frac{1}{2}×$弧$\overset{\frown}{DE}$的度数；
$∠ AEJ$夹弧$\overset{\frown}{AE}$，故$∠ AEJ=\frac{1}{2}×$弧$\overset{\frown}{AE}$的度数。
又因为弧$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{AE}=360°$（整个圆周的度数为360°），
因此：
$\begin{aligned}∠ BAF+∠ CBG+∠ DCH+∠ EDI+∠ AEJ&=\frac{1}{2}×(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{AE})\\&=\frac{1}{2}×360°\\&=180°\end{aligned}$
【答案】
$180$
【知识点】
弦切角定理，圆的基本性质
【点评】
本题是切线性质的典型应用题型，核心是利用弦切角定理将角的求和转化为弧的度数求和，解题时需准确识别每个弦切角所对应的弧，避免错找弧导致计算错误。
【难度系数】
0.7

5. 如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.
(1)求证:AB=BC.
(2)若⊙O的直径AB为9，$\sin A=\frac{1}{3}$.
①求线段BF的长；②求线段BE的长.

5. (1)如图,连结$OD$,$\because DE$是$\odot O$的切线,$\therefore DE ⊥ OD$.又$\because BC ⊥ DE$,$\therefore OD // BC$,$\therefore ∠ ODA = ∠ C$. 又$\because$ 在$△ OAD$中, $OA = OD$,$\therefore ∠ ODA = ∠ A$,$\therefore ∠ C = ∠ A$,$\therefore AB=BC$.
(2)①如图,连结$BD$,$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$\because \sin A=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$,$AB=9$,$\therefore BD=\frac{1}{3}AB=3$.又$\because ∠ OBD+∠ A=∠ FDB+∠ ODB=90°$,且$∠ OBD = ∠ ODB$,$\therefore ∠ A = ∠ BDF$.在$\mathrm{Rt}△ BDF$中,$\because \sin ∠ BDF=\frac{BF}{BD}=\frac{1}{3}$,$\therefore BF=\frac{1}{3}BD=1$.

②由(1)可知 $OD // BF$,$\therefore ∠ DOE = ∠ FBE$,$∠ ODE = ∠ BFE$,$\therefore △ EBF ∽ △ EOD$,$\therefore \frac{BE}{OE}=\frac{BF}{OD}$,即$\frac{BE}{BE+\frac{9}{2}}=\frac{1}{\frac{9}{2}}$,解得$BE=\frac{9}{7}$.经检验,符合题意.

【分析】
(1) 要证AB=BC，需证∠A=∠C。已知DE是⊙O的切线，根据切线性质连接OD可得OD⊥DE，结合BC⊥DE可推出OD//BC，得∠ODA=∠C；再由OA=OD得∠ODA=∠A，等量代换得∠A=∠C，即可得证。
(2) ①求BF的长：先连接BD，由AB是直径得∠ADB=90°，在Rt△ABD中利用sinA的值求出BD；再通过同角的余角相等推出∠BDF=∠A，在Rt△BDF中利用sin∠BDF即可求出BF。
②求BE的长：由OD//BF可证△EBF∽△EOD，根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接$OD$，
$\because DE$是$\odot O$的切线，$\therefore DE ⊥ OD$。
又$\because BC ⊥ DE$，$\therefore OD // BC$，$\therefore ∠ ODA = ∠ C$。
又$\because$ 在$△ OAD$中，$OA = OD$，$\therefore ∠ ODA = ∠ A$，
$\therefore ∠ C = ∠ A$，$\therefore AB=BC$。
(2) ①连接$BD$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\because \sin A=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，$AB=9$，
$\therefore BD=\frac{1}{3}AB=3$。
又$\because ∠ OBD+∠ A=∠ FDB+∠ ODB=90°$，且$∠ OBD = ∠ ODB$，
$\therefore ∠ A = ∠ BDF$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$\because \sin ∠ BDF=\frac{BF}{BD}=\frac{1}{3}$，
$\therefore BF=\frac{1}{3}BD=1$。

②由(1)可知 $OD // BF$，$\therefore ∠ DOE = ∠ FBE$，$∠ ODE = ∠ BFE$，
$\therefore △ EBF ∽ △ EOD$，
$\therefore \frac{BE}{OE}=\frac{BF}{OD}$，即$\frac{BE}{BE+\frac{9}{2}}=\frac{1}{\frac{9}{2}}$，
解得$BE=\frac{9}{7}$，经检验符合题意。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) ①$BF=1$；②$BE=\frac{9}{7}$

【知识点】
切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合典型题，解题核心是合理添加辅助线，结合圆的性质完成角的等量转化，再借助三角函数、相似三角形的性质求解线段长度，对几何推理能力和综合运算能力有一定的考查作用。
【难度系数】
0.6