7.已知 y 是 x 的一次函数,下表列出了部分 y 与 x 的对应值,则 a 的值为 。

$\boldsymbol{3}$

解：设该一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$x=0$，$y=-1$代入解析式，得$b=-1$。
将$x=1$，$y=1$，$b=-1$代入解析式，得$1=k-1$，解得$k=2$。
因此该一次函数的解析式为$y=2x-1$。
将$x=2$代入$y=2x-1$，得$a=2×2 -1=3$。
最终

8.已知$y=y_1+y_2$，$y_1$是$x$的一次函数，$y_2$与$x-2$成正比例，
(1)试说明$y$是$x$的一次函数。
(2)当$x=1$时，$y=0$；当$x=-3$时，$y=4$。求这个一次函数的表达式。

解：
(1) 设$y_1 = k_1x + b_1$（$k_1 ≠ 0$，$k_1,b_1$为常数），
因为$y_2$与$x-2$成正比例，设$y_2 = k_2(x-2)$（$k_2 ≠ 0$，$k_2$为常数）。
则$y = y_1 + y_2 = k_1x + b_1 + k_2(x-2)$，
整理得：$y = (k_1 + k_2)x + (b_1 - 2k_2)$。
其中$k_1 + k_2$、$b_1 - 2k_2$均为常数，且$k_1 + k_2 ≠ 0$，符合一次函数的定义，
因此$y$是$x$的一次函数。
(2) 由(1)设该一次函数的表达式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$，$k,b$为常数），
将$x=1,y=0$和$x=-3,y=4$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}k + b = 0 \\-3k + b = 4\end{cases}$
两式相减得$4k = -4$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k + b = 0$，得$b=1$。
答：这个一次函数的表达式为$y = -x + 1$。

9.某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系,如下表:

已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.
(1)求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围.
(2)某个玩具调整前单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?
(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为$\bar{x}$,$\bar{y}$,猜想$\bar{y}$与$\bar{x}$的关系式,并写出推导过程.

解：
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$x=6,y=4$和$x=72,y=59$代入得：
$\begin{cases}6k + b = 4 \\72k + b = 59\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=\dfrac{5}{6} \\b=-1\end{cases}$
所以y与x的函数关系式为$y=\dfrac{5}{6}x -1$。
由题意知$y＞2$，即$\dfrac{5}{6}x -1 ＞ 2$，
解得$x＞\dfrac{18}{5}$，
即x的取值范围是$x＞\dfrac{18}{5}$。
(2) 将$x=108$代入$y=\dfrac{5}{6}x -1$，
得$y=\dfrac{5}{6}×108 -1 = 89$，
顾客省的钱为$108 - 89 = 19$元。
答：顾客购买这个玩具省了19元。
(3) 猜想：$\overline{y}=\dfrac{5}{6}\overline{x} -1$，
推导过程如下：
由题意得$y_1=\dfrac{5}{6}x_1 -1$，$y_2=\dfrac{5}{6}x_2 -1$，…，$y_n=\dfrac{5}{6}x_n -1$，
将上述n个式子相加，得：
$y_1+y_2+\dots+y_n=\dfrac{5}{6}(x_1+x_2+\dots+x_n) -n$，
两边同除以n，得：
$\dfrac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}=\dfrac{5}{6}·\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} - 1$，
即$\overline{y}=\dfrac{5}{6}\overline{x} -1$。