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8.一艘轮船从河上游的甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港（轮船在静水中的速度和水流的速度不变），共用了12 h.已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是2 km/h，甲港与乙港相距18 km，则甲、丙两港间的距离为(
A.44 km
B.48 km
C.30 km
D.36 km
A
).A.44 km
B.48 km
C.30 km
D.36 km
答案
8.A
解析:设船在静水中的速度为 $x$ km/h,
由题意,得 $x+2=2(x-2)$,$x=6$.
可得顺流速度为 8 km/h,逆流速度为 4 km/h.
设乙、丙两港相距 $y$ km,则$\dfrac{18+y}{8}+\dfrac{y}{4}=12$,
解得 $y=26$,$y+18=44$,即甲、丙两港间的距离为 44 km.故选 A.
解析:设船在静水中的速度为 $x$ km/h,
由题意,得 $x+2=2(x-2)$,$x=6$.
可得顺流速度为 8 km/h,逆流速度为 4 km/h.
设乙、丙两港相距 $y$ km,则$\dfrac{18+y}{8}+\dfrac{y}{4}=12$,
解得 $y=26$,$y+18=44$,即甲、丙两港间的距离为 44 km.故选 A.
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题可分两步思考：第一步，先利用顺流速度是逆流速度2倍的已知条件，结合顺流速度=静水速度+水流速度、逆流速度=静水速度-水流速度的公式，先求出船在静水中的速度，进而得到顺流、逆流的实际行驶速度；第二步，设乙、丙两港的距离为未知数，分别表示出轮船从甲顺流到丙的时间、从丙逆流到乙的时间，根据总用时12h列方程求解，最后将甲、乙距离和乙、丙距离相加，即可得到甲、丙两港的距离。
【解析】
解：设船在静水中的速度为$x$ km/h，
由顺流速度是逆流速度的2倍，列方程：
$x + 2 = 2(x - 2)$
解得 $x = 6$
因此顺流速度为$6 + 2 = 8$ km/h，逆流速度为$6 - 2 = 4$ km/h。
设乙、丙两港相距$y$ km，则甲港到丙港的距离为$(18 + y)$ km，
轮船顺流从甲到丙的时间为$\dfrac{18 + y}{8}$ h，逆流从丙到乙的时间为$\dfrac{y}{4}$ h，根据总用时12h列方程：
$\dfrac{18+y}{8}+\dfrac{y}{4}=12$
解方程：两边同乘8得$18 + y + 2y = 96$，合并同类项得$3y = 78$，解得$y = 26$
因此甲、丙两港间的距离为$18 + 26 = 44$ km。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 流水行船速度公式 2. 一元一次方程应用 3. 行程问题等量关系
【点评】
本题属于行程问题中的流水行船题型，解题核心是先明确顺流、逆流速度与静水速度、水流速度的关系，再找准总时间对应的两段路程的行驶速度，通过设未知数列方程即可求解，解题时需注意区分各段路程对应的行驶方向，避免速度用错。
【难度系数】
0.7
这是流水行船类的行程问题，解题可分两步思考：第一步，先利用顺流速度是逆流速度2倍的已知条件，结合顺流速度=静水速度+水流速度、逆流速度=静水速度-水流速度的公式，先求出船在静水中的速度，进而得到顺流、逆流的实际行驶速度；第二步，设乙、丙两港的距离为未知数，分别表示出轮船从甲顺流到丙的时间、从丙逆流到乙的时间，根据总用时12h列方程求解，最后将甲、乙距离和乙、丙距离相加，即可得到甲、丙两港的距离。
【解析】
解：设船在静水中的速度为$x$ km/h，
由顺流速度是逆流速度的2倍，列方程：
$x + 2 = 2(x - 2)$
解得 $x = 6$
因此顺流速度为$6 + 2 = 8$ km/h，逆流速度为$6 - 2 = 4$ km/h。
设乙、丙两港相距$y$ km，则甲港到丙港的距离为$(18 + y)$ km，
轮船顺流从甲到丙的时间为$\dfrac{18 + y}{8}$ h，逆流从丙到乙的时间为$\dfrac{y}{4}$ h，根据总用时12h列方程：
$\dfrac{18+y}{8}+\dfrac{y}{4}=12$
解方程：两边同乘8得$18 + y + 2y = 96$，合并同类项得$3y = 78$，解得$y = 26$
因此甲、丙两港间的距离为$18 + 26 = 44$ km。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 流水行船速度公式 2. 一元一次方程应用 3. 行程问题等量关系
【点评】
本题属于行程问题中的流水行船题型，解题核心是先明确顺流、逆流速度与静水速度、水流速度的关系，再找准总时间对应的两段路程的行驶速度，通过设未知数列方程即可求解，解题时需注意区分各段路程对应的行驶方向，避免速度用错。
【难度系数】
0.7
9.我国民间有这样一个数学问题:一群老人去赶集,半路买了一堆梨,一人一个多一个,一人两个少两个,请问君子知道否,几个老人几个梨?若设有x个梨,可列方程为
$x-1=\dfrac{x+2}{2}$
;若设有x个老人,可列方程为$x+1=2x-2$
.答案
9.$x-1=\dfrac{x+2}{2}$ $x+1=2x-2$
解析:人数$=$总梨数$-1=\dfrac{总梨数+2}{2}$,
总梨数 $=$人数$×1+1=$人数$×2-2$.
解析:人数$=$总梨数$-1=\dfrac{总梨数+2}{2}$,
总梨数 $=$人数$×1+1=$人数$×2-2$.
解析
【分析】
本题需要分两种设未知数的情况列方程，核心是找到两种分配方案中不变的量建立等量关系：
1. 若设梨的数量为x个，不变量是老人的总人数：先根据“一人一个多一个”，用梨的数量表示出老人人数；再根据“一人两个少两个”，用梨的数量再次表示出老人人数，两个式子都表示人数，因此相等即可列方程。
2. 若设老人的数量为x个，不变量是梨的总数量：先根据“一人一个多一个”，用老人人数表示出梨的总数；再根据“一人两个少两个”，用老人人数再次表示出梨的总数，两个式子都表示梨的总数，因此相等即可列方程。
【解析】
分两种情况列方程：
① 设有x个梨：
根据“一人一个多一个”，每人分1个梨时，分出去的梨数量为(x-1)个，刚好每人1个，因此老人人数为$x-1$；
根据“一人两个少两个”，若每人分2个梨，总共需要梨的数量为(x+2)个（补上少的2个刚好够分），因此老人人数为$\dfrac{x+2}{2}$；
老人人数固定不变，因此列方程：$x-1=\dfrac{x+2}{2}$。
② 设有x个老人：
根据“一人一个多一个”，每人分1个梨时，分掉x个梨还多1个，因此梨的总数为$x+1$；
根据“一人两个少两个”，每人分2个梨时，需要2x个梨还差2个，因此梨的总数为$2x-2$；
梨的总数固定不变，因此列方程：$x+1=2x-2$。
【答案】
$x-1=\dfrac{x+2}{2}$；$x+1=2x-2$
【知识点】
列一元一次方程；找等量关系
【点评】
本题是经典的盈亏类实际应用问题，解题的核心是抓住两种分配方案中恒定不变的量（人数或梨数），结合题意分别用含未知数的式子表示出不变量，进而建立等式即可完成列方程，能够很好地锻炼学生从文字描述中提取数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
本题需要分两种设未知数的情况列方程，核心是找到两种分配方案中不变的量建立等量关系：
1. 若设梨的数量为x个，不变量是老人的总人数：先根据“一人一个多一个”，用梨的数量表示出老人人数；再根据“一人两个少两个”，用梨的数量再次表示出老人人数，两个式子都表示人数，因此相等即可列方程。
2. 若设老人的数量为x个，不变量是梨的总数量：先根据“一人一个多一个”，用老人人数表示出梨的总数；再根据“一人两个少两个”，用老人人数再次表示出梨的总数，两个式子都表示梨的总数，因此相等即可列方程。
【解析】
分两种情况列方程：
① 设有x个梨：
根据“一人一个多一个”，每人分1个梨时，分出去的梨数量为(x-1)个，刚好每人1个，因此老人人数为$x-1$；
根据“一人两个少两个”，若每人分2个梨，总共需要梨的数量为(x+2)个（补上少的2个刚好够分），因此老人人数为$\dfrac{x+2}{2}$；
老人人数固定不变，因此列方程：$x-1=\dfrac{x+2}{2}$。
② 设有x个老人：
根据“一人一个多一个”，每人分1个梨时，分掉x个梨还多1个，因此梨的总数为$x+1$；
根据“一人两个少两个”，每人分2个梨时，需要2x个梨还差2个，因此梨的总数为$2x-2$；
梨的总数固定不变，因此列方程：$x+1=2x-2$。
【答案】
$x-1=\dfrac{x+2}{2}$；$x+1=2x-2$
【知识点】
列一元一次方程；找等量关系
【点评】
本题是经典的盈亏类实际应用问题，解题的核心是抓住两种分配方案中恒定不变的量（人数或梨数），结合题意分别用含未知数的式子表示出不变量，进而建立等式即可完成列方程，能够很好地锻炼学生从文字描述中提取数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
10.解下列方程.
(1) $\frac{3x+1}{2} - \frac{5x-1}{6} = 1$.
(2) $\frac{x+2}{5} - (x-1) = \frac{x+3}{3} - \frac{x-2}{2}$.
(1) $\frac{3x+1}{2} - \frac{5x-1}{6} = 1$.
(2) $\frac{x+2}{5} - (x-1) = \frac{x+3}{3} - \frac{x-2}{2}$.
答案
10.(1)去分母,得 $9x+3-5x+1=6$,
移项及合并同类项,得 $4x=2$,
解得 $x=0.5$.
(2)去分母,得 $6(x+2)-30(x-1)=10(x+3)-15(x-2)$,
去括号,得 $6x+12-30x+30=10x+30-15x+30$,
移项及合并同类项,得 $-19x=18$,
解得 $x=-\dfrac{18}{19}$.
移项及合并同类项,得 $4x=2$,
解得 $x=0.5$.
(2)去分母,得 $6(x+2)-30(x-1)=10(x+3)-15(x-2)$,
去括号,得 $6x+12-30x+30=10x+30-15x+30$,
移项及合并同类项,得 $-19x=18$,
解得 $x=-\dfrac{18}{19}$.
解析
【分析】
这两道都是含有分母的一元一次方程，解题遵循解一元一次方程的常规步骤：①去分母：找到所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时去分母后要给整体加括号；②去括号：根据去括号法则计算，括号前是负号时括号内各项要变号；③移项：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项要变号；④合并同类项；⑤系数化为1得到方程的解。
第(1)题分母为2和6，最小公倍数是6，两边同乘6即可去分母；第(2)题分母为5、3、2，最小公倍数是30，两边同乘30去分母后按步骤计算即可。
【解析】
(1) 去分母，两边同乘6，得 $9x+3-5x+1=6$，
移项及合并同类项，得 $4x=2$，
系数化为1，得 $x=0.5$。
(2) 去分母，两边同乘30，得 $6(x+2)-30(x-1)=10(x+3)-15(x-2)$，
去括号，得 $6x+12-30x+30=10x+30-15x+30$，
移项及合并同类项，得 $-19x=18$，
系数化为1，得 $x=-\dfrac{18}{19}$。
【答案】
(1) $x=0.5$
(2) $x=-\dfrac{18}{19}$
【知识点】
解一元一次方程；去分母；去括号法则
【点评】
这两道是解一元一次方程的基础题型，核心考察解一元一次方程的基本操作步骤，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，去括号、移项时要留意符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道都是含有分母的一元一次方程，解题遵循解一元一次方程的常规步骤：①去分母：找到所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时去分母后要给整体加括号；②去括号：根据去括号法则计算，括号前是负号时括号内各项要变号；③移项：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项要变号；④合并同类项；⑤系数化为1得到方程的解。
第(1)题分母为2和6，最小公倍数是6，两边同乘6即可去分母；第(2)题分母为5、3、2，最小公倍数是30，两边同乘30去分母后按步骤计算即可。
【解析】
(1) 去分母，两边同乘6，得 $9x+3-5x+1=6$，
移项及合并同类项，得 $4x=2$，
系数化为1，得 $x=0.5$。
(2) 去分母，两边同乘30，得 $6(x+2)-30(x-1)=10(x+3)-15(x-2)$，
去括号，得 $6x+12-30x+30=10x+30-15x+30$，
移项及合并同类项，得 $-19x=18$，
系数化为1，得 $x=-\dfrac{18}{19}$。
【答案】
(1) $x=0.5$
(2) $x=-\dfrac{18}{19}$
【知识点】
解一元一次方程；去分母；去括号法则
【点评】
这两道是解一元一次方程的基础题型，核心考察解一元一次方程的基本操作步骤，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，去括号、移项时要留意符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
11.探究:化循环小数 $0.\dot{3}$ 为分数.
发现:将 $0.\dot{3}$ 扩大10倍,变为 $3.\dot{3}$,与 $0.\dot{3}$ 的小数部分是相同的.
解决:设 $0.\dot{3}=x$,则 $3.\dot{3}=10x$,$10x - x = 3.\dot{3} - 0.\dot{3}$,即 $9x=3$,$x=\frac{1}{3}$,即 $0.\dot{3}=\frac{1}{3}$.
应用:(1)化循环小数 $0.2\dot{3}$ 为分数.
(2)化循环小数 $0.\dot{2}\dot{3}$ 为分数.
发现:将 $0.\dot{3}$ 扩大10倍,变为 $3.\dot{3}$,与 $0.\dot{3}$ 的小数部分是相同的.
解决:设 $0.\dot{3}=x$,则 $3.\dot{3}=10x$,$10x - x = 3.\dot{3} - 0.\dot{3}$,即 $9x=3$,$x=\frac{1}{3}$,即 $0.\dot{3}=\frac{1}{3}$.
应用:(1)化循环小数 $0.2\dot{3}$ 为分数.
(2)化循环小数 $0.\dot{2}\dot{3}$ 为分数.
答案
11.(1)设 $0.2\dot{3}=x$,则 $2.\dot{3}=10x$,$23.\dot{3}=100x$,
所以 $100x-10x=23.\dot{3}-2.\dot{3}$,即 $90x=21$,$x=\dfrac{7}{30}$,所以$0.2\dot{3}=\dfrac{7}{30}$.
(2)设 $0.\dot{2}\dot{3}=x$,则 $23.\dot{2}\dot{3}=100x$,
所以 $100x-x=23.\dot{2}\dot{3}-0.\dot{2}\dot{3}$,即 $99x=23$,$x=\dfrac{23}{99}$,所以 $0.\dot{2}\dot{3}=\dfrac{23}{99}$.
所以 $100x-10x=23.\dot{3}-2.\dot{3}$,即 $90x=21$,$x=\dfrac{7}{30}$,所以$0.2\dot{3}=\dfrac{7}{30}$.
(2)设 $0.\dot{2}\dot{3}=x$,则 $23.\dot{2}\dot{3}=100x$,
所以 $100x-x=23.\dot{2}\dot{3}-0.\dot{2}\dot{3}$,即 $99x=23$,$x=\dfrac{23}{99}$,所以 $0.\dot{2}\dot{3}=\dfrac{23}{99}$.
解析
【分析】
本题可参照题干给出的循环小数化分数的思路，通过扩倍消去无限循环的小数部分，转化为一元一次方程求解：
(1) 对于混循环小数$0.2\dot{3}$，其不循环部分有1位，循环节有1位，先将原数扩大10倍把不循环部分移到整数位，再扩大10倍得到的数与前一个数的小数部分完全相同，做差即可消去循环部分，列方程求解。
(2) 对于纯循环小数$0.\dot{2}\dot{3}$，其循环节有2位，直接将原数扩大100倍，得到的数与原数小数部分完全相同，做差消去循环部分，列方程求解。
【解析】
(1) 设$0.2\dot{3}=x$，
将等式两边同时乘10，得$2.\dot{3}=10x$，
再将等式两边同时乘10，得$23.\dot{3}=100x$，
用第二个等式减第一个等式，可得：
$100x - 10x = 23.\dot{3} - 2.\dot{3}$
即$90x=21$，
解得$x=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}$。
(2) 设$0.\dot{2}\dot{3}=x$，
将等式两边同时乘100，得$23.\dot{2}\dot{3}=100x$，
用这个等式减原等式，可得：
$100x - x = 23.\dot{2}\dot{3} - 0.\dot{2}\dot{3}$
即$99x=23$，
解得$x=\frac{23}{99}$。
【答案】
(1) $\dfrac{7}{30}$；(2) $\dfrac{23}{99}$
【知识点】
解一元一次方程；循环小数化分数；等式的性质
【点评】
本题考查知识迁移应用能力，核心是运用转化思想，通过合理扩倍消去无限循环的小数部分，将陌生的循环小数化分数问题转化为熟悉的一元一次方程问题，掌握扩倍技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题可参照题干给出的循环小数化分数的思路，通过扩倍消去无限循环的小数部分，转化为一元一次方程求解：
(1) 对于混循环小数$0.2\dot{3}$，其不循环部分有1位，循环节有1位，先将原数扩大10倍把不循环部分移到整数位，再扩大10倍得到的数与前一个数的小数部分完全相同，做差即可消去循环部分，列方程求解。
(2) 对于纯循环小数$0.\dot{2}\dot{3}$，其循环节有2位，直接将原数扩大100倍，得到的数与原数小数部分完全相同，做差消去循环部分，列方程求解。
【解析】
(1) 设$0.2\dot{3}=x$，
将等式两边同时乘10，得$2.\dot{3}=10x$，
再将等式两边同时乘10，得$23.\dot{3}=100x$，
用第二个等式减第一个等式，可得：
$100x - 10x = 23.\dot{3} - 2.\dot{3}$
即$90x=21$，
解得$x=\frac{21}{90}=\frac{7}{30}$。
(2) 设$0.\dot{2}\dot{3}=x$，
将等式两边同时乘100，得$23.\dot{2}\dot{3}=100x$，
用这个等式减原等式，可得：
$100x - x = 23.\dot{2}\dot{3} - 0.\dot{2}\dot{3}$
即$99x=23$，
解得$x=\frac{23}{99}$。
【答案】
(1) $\dfrac{7}{30}$；(2) $\dfrac{23}{99}$
【知识点】
解一元一次方程；循环小数化分数；等式的性质
【点评】
本题考查知识迁移应用能力，核心是运用转化思想，通过合理扩倍消去无限循环的小数部分，将陌生的循环小数化分数问题转化为熟悉的一元一次方程问题，掌握扩倍技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
