典例3 已知关于$x$的一元二次方程
$x^2 - (n + 3)x + 3n = 0$.
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)若此方程有两个相等的实数根,写出这个方程,并求出此时方程的根.

典例3
(1)证明
∵$\Delta=[-(n+3)]^2 -4×1×3n=(n-3)^2≥0$，
∴此方程总有两个实数根。
(2)解 根据题意，得$\Delta=(n-3)^2=0$，
解得$n=3$，此时方程为$x^2 -6x +9=0$，即$(x -3)^2=0$，
∴$x_1=x_2=3$。

典例4 设m是不小于-1的实数，关于x的方程$x^2 + 2(m - 2)x + m^2 - 3m + 3 = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。
(1)若$x_1^2 + x_2^2 = 6$，求m的值；
(2)令$T = \frac{mx_1}{1 - x_1} + \frac{mx_2}{1 - x_2}(m ≠ 0)$，求T的取值范围。

典例4 解
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta=[2(m-2)]^2 -4(m^2 -3m +3)=-4m +4＞0$，
∴$m＜1$。
又$m$是不小于$-1$的实数，
∴$-1≤m＜1$。
∴$x_1 +x_2=-2(m-2)=4-2m$，$x_1x_2=m^2 -3m +3$。
(1)
∵$x_1^2 +x_2^2=6$，
∴$(x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2=6$，
即$(4-2m)^2 -2(m^2 -3m +3)=6$。
整理，得$m^2 -5m +2=0$。
解得$m=\frac{5±\sqrt{17}}{2}$。
∵$-1≤m＜1$，
∴$m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$。
(2)$T=\frac{mx_1}{1-x_1}+\frac{mx_2}{1-x_2}$
$=\frac{mx_1(1-x_2)+mx_2(1-x_1)}{(1-x_1)(1-x_2)}$
$=\frac{m[(x_1 +x_2)-2x_1x_2]}{1-(x_1 +x_2)+x_1x_2}$
$=\frac{m(4-2m -2m^2 +6m -6)}{1-4 +2m +m^2 -3m +3}$
$=\frac{-2m(m-1)^2}{m^2 -m}$
$=2-2m$。
∴$m=1-\frac{T}{2}$。
∵$-1≤m＜1$，且$m≠0$，
∴$-1≤1-\frac{T}{2}＜1$，且$1-\frac{T}{2}≠0$。
∴$0＜T≤4$，且$T≠2$。