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二次函数与一元二次方程的关系
(1)如果抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与x轴有公共点,公共点的横坐标是 $ x_0 $,那么当 $ x = x_0 $ 时,函数值是0,因此
(2)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与x轴的公共点的情况有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点,分别对应着一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的三种情况:
(1)如果抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与x轴有公共点,公共点的横坐标是 $ x_0 $,那么当 $ x = x_0 $ 时,函数值是0,因此
$x_0$
是一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一个根.(2)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象与x轴的公共点的情况有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点,分别对应着一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的三种情况:
没有
实数根,有两个相等
的实数根,有两个不相等
的实数根.答案
1. $x_0$
2. 没有 相等 不相等
2. 没有 相等 不相等
典例1 若二次函数$y=x^2 -3x +k$（k为常数）的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是（
A.$k≥ \frac{9}{4}$
B.$k≤ \frac{9}{4}$
C.$k＞\frac{9}{4}$
D.$k＜\frac{9}{4}$
D
）.A.$k≥ \frac{9}{4}$
B.$k≤ \frac{9}{4}$
C.$k＞\frac{9}{4}$
D.$k＜\frac{9}{4}$
答案
答案D
解析
∵二次函数$y=x^2 -3x +k$的图象与x轴有两个公共点，
∴$\Delta=(-3)^2 -4k＞0$，
∴$k＜\frac{9}{4}$. 故选D.
解析
∵二次函数$y=x^2 -3x +k$的图象与x轴有两个公共点，
∴$\Delta=(-3)^2 -4k＞0$，
∴$k＜\frac{9}{4}$. 故选D.
举一反三 已知抛物线 $ y = x^2 - bx + c $ 与x轴交于点A(1,0),B(-3,0),则关于x的方程 $ x^2 - bx + c = 0 $ 的根是(
A.-1,-3
B.-1,3
C.1,-3
D.1,3
C
).A.-1,-3
B.-1,3
C.1,-3
D.1,3
答案
1. C
典例2 在某次航空航天博览会上，某型号飞机进行飞行表演，在其中一个表演中，飞机从低空迅速拉升，冲向高空，到达
预定高度后，随即向下俯冲，到达起始高度（开始拉升时的高度）后拉平，沿水平方向飞出。该表演的飞行轨迹可近似看成一条如图所示的抛物线。以飞机进入该表演的起始位置为坐标原点，飞行的竖直高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)满足二次函数关系。
(1)求 y 关于 x 的函数解析式。
(2)飞机完成该表演时，距离该表演的起始位置的水平距离是多少？
举一反三 某滑雪场自建成以来，吸引了大批滑雪爱好者。一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离 y(单位:m)与滑行时间 x(单位:s)之间的关系可近似用二次函数来表示。
(1)根据表中数据求出该二次函数的解析式。测得出发点与终点的距离约为840 m，他大约需要多长时间才能到达终点？
典例解析
预定高度后，随即向下俯冲，到达起始高度（开始拉升时的高度）后拉平，沿水平方向飞出。该表演的飞行轨迹可近似看成一条如图所示的抛物线。以飞机进入该表演的起始位置为坐标原点，飞行的竖直高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)满足二次函数关系。
(1)求 y 关于 x 的函数解析式。
(2)飞机完成该表演时，距离该表演的起始位置的水平距离是多少？
举一反三 某滑雪场自建成以来，吸引了大批滑雪爱好者。一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离 y(单位:m)与滑行时间 x(单位:s)之间的关系可近似用二次函数来表示。
(1)根据表中数据求出该二次函数的解析式。测得出发点与终点的距离约为840 m，他大约需要多长时间才能到达终点？
典例解析
答案
典例2
(1) 设y关于x的函数解析式为$y=ax^2 +bx +c(a≠0)$，
∵点(0,0),(5,437.5)和(10,750)都在该函数的图象上，
∴$\begin{cases} c=0, \\25a +5b +c=437.5, \\100a +10b +c=750, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-2.5, \\b=100, \\c=0. \end{cases}$
∴该函数的解析式为$y=-2.5x^2 +100x$.
(2) 当$y=0$时，$-2.5x^2 +100x=0$，
解得$x_1=0$(舍去),$x_2=40$，
∴飞机完成该表演时，距离该表演的起始位置的水平距离是40 m.
举一反三
(1) 由题意知,该二次函数图象过点(0,0)，
∴可设该二次函数的解析式为 $y=ax^2 +bx$.
又该二次函数的图象过点(1,4),(2,12),则有
$\begin{cases} a+b=4, \\4a+2b=12, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=2, \\b=2. \end{cases}$
∴该二次函数的解析式为 $y=2x^2 +2x$.
当 $y=840$ 时,$2x^2 +2x=840$,
解得 $x_1=20$,$x_2=-21$(舍去).
因此,他大约需要 20 s 才能到达终点.
(2) 由题意,得 $y=2x^2 +2x=2(x+\frac{1}{2})^2 -\frac{1}{2}$,
∴将该二次函数的图象先向左平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为 $y=2(x+2+\frac{1}{2})^2 -\frac{1}{2} -5=2(x+\frac{5}{2})^2 -\frac{11}{2}$.
(1) 设y关于x的函数解析式为$y=ax^2 +bx +c(a≠0)$，
∵点(0,0),(5,437.5)和(10,750)都在该函数的图象上，
∴$\begin{cases} c=0, \\25a +5b +c=437.5, \\100a +10b +c=750, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-2.5, \\b=100, \\c=0. \end{cases}$
∴该函数的解析式为$y=-2.5x^2 +100x$.
(2) 当$y=0$时，$-2.5x^2 +100x=0$，
解得$x_1=0$(舍去),$x_2=40$，
∴飞机完成该表演时，距离该表演的起始位置的水平距离是40 m.
举一反三
(1) 由题意知,该二次函数图象过点(0,0)，
∴可设该二次函数的解析式为 $y=ax^2 +bx$.
又该二次函数的图象过点(1,4),(2,12),则有
$\begin{cases} a+b=4, \\4a+2b=12, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=2, \\b=2. \end{cases}$
∴该二次函数的解析式为 $y=2x^2 +2x$.
当 $y=840$ 时,$2x^2 +2x=840$,
解得 $x_1=20$,$x_2=-21$(舍去).
因此,他大约需要 20 s 才能到达终点.
(2) 由题意,得 $y=2x^2 +2x=2(x+\frac{1}{2})^2 -\frac{1}{2}$,
∴将该二次函数的图象先向左平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为 $y=2(x+2+\frac{1}{2})^2 -\frac{1}{2} -5=2(x+\frac{5}{2})^2 -\frac{11}{2}$.
