三、解答题
11. 如图，已知$AD// EF// BC$，$BE=3$，$AE=9$，$FC=2$.
(1)求$DF$的长；
(2)若$AD=3$，$EF=5$，试求$BC$的长.

11. (1) $DF=6$ (2) $BC=\frac{17}{3}$

12. 如图，已知M、N分别为△ABC中边AB、BC上的点，$\frac{AM}{BM}=\frac{3}{2}$，$\frac{CN}{BN}=\frac{4}{5}$，MN与中线BD相交于点O，求$\frac{DO}{BO}$的值.

12. 如图,过点 B 作 $BE// AC$,交NM 的延长线于点 E,延长 MN 交AC 的延长线于点 F. 由 $BE// AF$,得$AM: BM=AF: BE, CN: BN=CF: BE, OD: OB=DF: BE$. 由 $AM: BM=3: 2$,得 $AF: BE=3: 2$,于是设 $AF=3x, BE=2x$, 由 $CN: BN=4: 5$,得 $CF: BE=4: 5$, 则可得 $CF=\frac{8}{5}x, AC=3x-\frac{8}{5}x=\frac{7}{5}x$. 因为 D 是AC 的中点, 可得 $DC=\frac{7}{10}x$, 所以 $DF=\frac{7}{10}x+\frac{8}{5}x=\frac{23}{10}x$. 可推得 $\frac{OD}{BO}=\frac{DF}{BE}=\frac{\frac{23}{10}x}{2x}=\frac{23}{20}$.

如图，已知$AB// EF// CD$，$AB=a$，$CD=b$，$EF=c$，求证：$\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$。

$\because AB// EF,\therefore \frac{EF}{AB}=\frac{FD}{BD}$. 又$\because EF// CD,\therefore \frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$.
$\therefore \frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{FD}{BD}+\frac{BF}{BD}=\frac{FD+BF}{BD}=1$.
又$\because AB=a,CD=b,EF=c$,
$\therefore \frac{c}{a}+\frac{c}{b}=1,即\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$