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典例1 解下列方程：
(1)$5x - 2x = -8 + 2$；
(2)$-x + \frac{1}{5}x = -2^2$。
(1)$5x - 2x = -8 + 2$；
(2)$-x + \frac{1}{5}x = -2^2$。
答案
解 (1)合并同类项,得 $3x=-6$.
系数化为1,得 $x=-2$.
(2)合并同类项,得 $-\dfrac{4}{5}x=-4$.
系数化为1,得 $x=5$.
系数化为1,得 $x=-2$.
(2)合并同类项,得 $-\dfrac{4}{5}x=-4$.
系数化为1,得 $x=5$.
解析
【分析】
这两道题是用合并同类项法求解一元一次方程的基础题型，解题按照“合并同类项→系数化为1”的步骤推进即可：
(1) 先分别合并方程左右两边的同类项，再将x的系数化为1就能得到解；
(2) 先计算右侧乘方的结果，再合并左侧含x的同类项，最后系数化为1，计算过程中要注意符号和分数运算的准确性。
【解析】
(1) 合并同类项，得 $3x=-6$，
方程两边同时除以3，将系数化为1，得 $x=-2$。
(2) 先计算右侧乘方：$-2^2=-4$，原方程化为$-x+\frac{1}{5}x=-4$，
合并同类项，得 $-\dfrac{4}{5}x=-4$，
方程两边同时除以$-\dfrac{4}{5}$，将系数化为1，得 $x=5$。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)$x=5$
【知识点】
合并同类项解一元一次方程，有理数运算，系数化为1
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，重点考察合并同类项、系数化为1的基础运算步骤，计算时要注意负数、分数的符号处理，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.85
这两道题是用合并同类项法求解一元一次方程的基础题型，解题按照“合并同类项→系数化为1”的步骤推进即可：
(1) 先分别合并方程左右两边的同类项，再将x的系数化为1就能得到解；
(2) 先计算右侧乘方的结果，再合并左侧含x的同类项，最后系数化为1，计算过程中要注意符号和分数运算的准确性。
【解析】
(1) 合并同类项，得 $3x=-6$，
方程两边同时除以3，将系数化为1，得 $x=-2$。
(2) 先计算右侧乘方：$-2^2=-4$，原方程化为$-x+\frac{1}{5}x=-4$，
合并同类项，得 $-\dfrac{4}{5}x=-4$，
方程两边同时除以$-\dfrac{4}{5}$，将系数化为1，得 $x=5$。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)$x=5$
【知识点】
合并同类项解一元一次方程，有理数运算，系数化为1
【点评】
本题属于一元一次方程求解的基础题型，重点考察合并同类项、系数化为1的基础运算步骤，计算时要注意负数、分数的符号处理，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.85
举一反三 以下合并同类项正确的是(
A.由$x-\frac{x}{2}=2-\frac{5}{2}$,得$\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$
B.由$6x-5x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$,得$x=\frac{1}{6}$
C.由$-2.5x-1.5x=5×\frac{3}{5}-1$,得$4x=2$
D.由$3x+4.8x-10x=11×\frac{1}{5}$,得$-2.2x=2.2$
D
).A.由$x-\frac{x}{2}=2-\frac{5}{2}$,得$\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$
B.由$6x-5x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$,得$x=\frac{1}{6}$
C.由$-2.5x-1.5x=5×\frac{3}{5}-1$,得$4x=2$
D.由$3x+4.8x-10x=11×\frac{1}{5}$,得$-2.2x=2.2$
答案
D
解析
【分析】
要判断各选项合并同类项是否正确，需逐项计算：对每个选项的等式左边，将含x的同类项合并；等式右边计算常数项的运算结果，再将计算得到的等式和选项给出的结果比对，一致的即为正确选项，不一致的直接排除。计算时要注意符号和运算准确性。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：左边合并同类项：$x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}$；右边计算常数项：$2-\frac{5}{2}=\frac{4}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$，可得$\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}$，与选项给出的$\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$不符，A错误。
B选项：左边合并同类项：$6x-5x=x$；右边计算常数项：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$，可得$x=\frac{5}{6}$，与选项给出的$x=\frac{1}{6}$不符，B错误。
C选项：左边合并同类项：$-2.5x-1.5x=(-2.5-1.5)x=-4x$；右边计算常数项：$5×\frac{3}{5}-1=3-1=2$，可得$-4x=2$，与选项给出的$4x=2$不符，C错误。
D选项：左边合并同类项：$3x+4.8x-10x=(3+4.8-10)x=-2.2x$；右边计算常数项：$11×\frac{1}{5}=2.2$，可得$-2.2x=2.2$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项，解一元一次方程，有理数运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查合并同类项的规则和有理数的基本运算，解题时逐项验证即可，要特别注意负数合并时的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断各选项合并同类项是否正确，需逐项计算：对每个选项的等式左边，将含x的同类项合并；等式右边计算常数项的运算结果，再将计算得到的等式和选项给出的结果比对，一致的即为正确选项，不一致的直接排除。计算时要注意符号和运算准确性。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：左边合并同类项：$x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}$；右边计算常数项：$2-\frac{5}{2}=\frac{4}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$，可得$\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}$，与选项给出的$\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$不符，A错误。
B选项：左边合并同类项：$6x-5x=x$；右边计算常数项：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$，可得$x=\frac{5}{6}$，与选项给出的$x=\frac{1}{6}$不符，B错误。
C选项：左边合并同类项：$-2.5x-1.5x=(-2.5-1.5)x=-4x$；右边计算常数项：$5×\frac{3}{5}-1=3-1=2$，可得$-4x=2$，与选项给出的$4x=2$不符，C错误。
D选项：左边合并同类项：$3x+4.8x-10x=(3+4.8-10)x=-2.2x$；右边计算常数项：$11×\frac{1}{5}=2.2$，可得$-2.2x=2.2$，与选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项，解一元一次方程，有理数运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查合并同类项的规则和有理数的基本运算，解题时逐项验证即可，要特别注意负数合并时的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
典例2 某种中药只含有甲、乙、丙三种草药，它们的质量比是2：3：7.现在要配制1 440 g这种中药，则这三种草药分别需要多少克？
答案
解 设甲种草药需要 $2x$ g,则乙种草药需要 $3x$ g,丙种草药需要 $7x$ g,根据“配制1 440 g这种中药”,列得方程 $2x+3x+7x=1\ 440$.
合并同类项,得 $12x=1\ 440$.
系数化为1,得 $x=120$.
所以 $2x=240,3x=360,7x=840$.
答:甲、乙、丙三种草药分别需要240克、360克、840克.
合并同类项,得 $12x=1\ 440$.
系数化为1,得 $x=120$.
所以 $2x=240,3x=360,7x=840$.
答:甲、乙、丙三种草药分别需要240克、360克、840克.
解析
【分析】
遇到已知几个量的比例关系和总数量的应用题，我们可以先设每一份的质量为$x\ \mathrm{g}$，结合三种草药的质量比$2:3:7$，就能分别表示出甲、乙、丙三种草药的质量为$2x\ \mathrm{g}$、$3x\ \mathrm{g}$、$7x\ \mathrm{g}$；再根据三种草药总质量为1440g这个等量关系，列出一元一次方程，解方程求出$x$的值后，再分别计算三种草药的质量即可。
【解析】
解：设甲种草药需要$2x\ \mathrm{g}$，则乙种草药需要$3x\ \mathrm{g}$，丙种草药需要$7x\ \mathrm{g}$。
根据三种草药总质量为1440g，列方程：
$2x+3x+7x=1440$
合并同类项，得：$12x=1440$
系数化为1，得：$x=120$
所以$2x=2×120=240$，$3x=3×120=360$，$7x=7×120=840$
答：甲、乙、丙三种草药分别需要240克、360克、840克。
【答案】
甲种草药240克，乙种草药360克，丙种草药840克
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 合并同类项解一元一次方程
3. 按比例分配问题
【点评】
本题是比例类方程应用的基础题型，解题核心是根据比例关系巧设未知数，再结合总量的等量关系列方程求解，熟练掌握该设元方法可快速解决同类型的按比例分配问题。
【难度系数】
0.8
遇到已知几个量的比例关系和总数量的应用题，我们可以先设每一份的质量为$x\ \mathrm{g}$，结合三种草药的质量比$2:3:7$，就能分别表示出甲、乙、丙三种草药的质量为$2x\ \mathrm{g}$、$3x\ \mathrm{g}$、$7x\ \mathrm{g}$；再根据三种草药总质量为1440g这个等量关系，列出一元一次方程，解方程求出$x$的值后，再分别计算三种草药的质量即可。
【解析】
解：设甲种草药需要$2x\ \mathrm{g}$，则乙种草药需要$3x\ \mathrm{g}$，丙种草药需要$7x\ \mathrm{g}$。
根据三种草药总质量为1440g，列方程：
$2x+3x+7x=1440$
合并同类项，得：$12x=1440$
系数化为1，得：$x=120$
所以$2x=2×120=240$，$3x=3×120=360$，$7x=7×120=840$
答：甲、乙、丙三种草药分别需要240克、360克、840克。
【答案】
甲种草药240克，乙种草药360克，丙种草药840克
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 合并同类项解一元一次方程
3. 按比例分配问题
【点评】
本题是比例类方程应用的基础题型，解题核心是根据比例关系巧设未知数，再结合总量的等量关系列方程求解，熟练掌握该设元方法可快速解决同类型的按比例分配问题。
【难度系数】
0.8
举一反三 今年，小楠和哥哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？
答案
解 设哥哥的年龄为 $x$ 岁,则小楠的年龄为$\frac{1}{2}x$ 岁,根据“小楠和哥哥的年龄之和是 21 岁”,列得方程 $x+\frac{1}{2}x=21$,解得 $x=14$.
$\frac{1}{2}×14=7$(岁).
答:今年小楠7岁,哥哥14岁.
$\frac{1}{2}×14=7$(岁).
答:今年小楠7岁,哥哥14岁.
解析
【分析】
这是典型的和倍类应用题，解题时首先梳理题目中的两个等量关系：①小楠的年龄+哥哥的年龄=21岁；②小楠的年龄=哥哥年龄×$\frac{1}{2}$。我们可以设作为单位“1”的量（哥哥的年龄）为未知数$x$，用含$x$的式子表示出小楠的年龄，再根据年龄和的等量关系列一元一次方程，最后通过合并同类项解方程即可求出两人的年龄。
【解析】
解：设哥哥的年龄为$x$岁，则小楠的年龄为$\frac{1}{2}x$岁。
根据两人年龄之和是21岁，列方程：
$x+\frac{1}{2}x=21$
合并同类项，得：$\frac{3}{2}x=21$
系数化为1，得：$x=14$
则小楠的年龄为：$\frac{1}{2}×14=7$（岁）
答：今年小楠7岁，哥哥14岁。
【答案】
小楠7岁，哥哥14岁
【知识点】
列一元一次方程解应用题；合并同类项解方程；和倍问题
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，核心是准确提取题目中的等量关系，合理设未知数并列方程求解，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤就能顺利作答。
【难度系数】
0.9
这是典型的和倍类应用题，解题时首先梳理题目中的两个等量关系：①小楠的年龄+哥哥的年龄=21岁；②小楠的年龄=哥哥年龄×$\frac{1}{2}$。我们可以设作为单位“1”的量（哥哥的年龄）为未知数$x$，用含$x$的式子表示出小楠的年龄，再根据年龄和的等量关系列一元一次方程，最后通过合并同类项解方程即可求出两人的年龄。
【解析】
解：设哥哥的年龄为$x$岁，则小楠的年龄为$\frac{1}{2}x$岁。
根据两人年龄之和是21岁，列方程：
$x+\frac{1}{2}x=21$
合并同类项，得：$\frac{3}{2}x=21$
系数化为1，得：$x=14$
则小楠的年龄为：$\frac{1}{2}×14=7$（岁）
答：今年小楠7岁，哥哥14岁。
【答案】
小楠7岁，哥哥14岁
【知识点】
列一元一次方程解应用题；合并同类项解方程；和倍问题
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，核心是准确提取题目中的等量关系，合理设未知数并列方程求解，熟练掌握列方程解应用题的基本步骤就能顺利作答。
【难度系数】
0.9
