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7.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发，沿同一公路同方向行驶，客车行驶的速度是80 km/h，卡车行驶的速度是75 km/h，客车比卡车早1 h到达B地.A，B两地间的路程是多少？设A，B两地间的路程是x km，则可列方程为（
A.$\frac{x}{80-75}=1$
B.$\frac{x}{75}-\frac{x}{80}=1$
C.$\frac{x}{80}-\frac{x}{75}=1$
D.$80x-75x=1$
B
）.A.$\frac{x}{80-75}=1$
B.$\frac{x}{75}-\frac{x}{80}=1$
C.$\frac{x}{80}-\frac{x}{75}=1$
D.$80x-75x=1$
答案
7. B
解析
【分析】
这是行程类的列方程问题，解题时首先回忆行程问题的基本公式：$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷ \mathrm{速度}$。第一步，用含未知数x的式子分别表示客车和卡车行驶完全程的时间；第二步，抓住“客车比卡车早1h到达B地”的条件，明确卡车行驶全程的时间比客车多1小时，根据这个时间差的等量关系即可列出方程。
【解析】
根据行程公式$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷ \mathrm{速度}$：
客车行驶全程的时间为$\frac{x}{80}$ h，卡车行驶全程的时间为$\frac{x}{75}$ h。
由“客车比卡车早1 h到达”可知，卡车的行驶时间减去客车的行驶时间等于1 h，因此列方程得：
$\frac{x}{75}-\frac{x}{80}=1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式、列一元一次方程、等量关系判定
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，核心是准确梳理两种运动对象的时间大小关系，避免因混淆时间先后顺序列错等式。
【难度系数】
0.8
这是行程类的列方程问题，解题时首先回忆行程问题的基本公式：$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷ \mathrm{速度}$。第一步，用含未知数x的式子分别表示客车和卡车行驶完全程的时间；第二步，抓住“客车比卡车早1h到达B地”的条件，明确卡车行驶全程的时间比客车多1小时，根据这个时间差的等量关系即可列出方程。
【解析】
根据行程公式$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷ \mathrm{速度}$：
客车行驶全程的时间为$\frac{x}{80}$ h，卡车行驶全程的时间为$\frac{x}{75}$ h。
由“客车比卡车早1 h到达”可知，卡车的行驶时间减去客车的行驶时间等于1 h，因此列方程得：
$\frac{x}{75}-\frac{x}{80}=1$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式、列一元一次方程、等量关系判定
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，核心是准确梳理两种运动对象的时间大小关系，避免因混淆时间先后顺序列错等式。
【难度系数】
0.8
8.《算法统宗》中有一道题，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，请问这一群人共有多少人？所分的银子共有多少两？
若设共有 x 人，则可列方程为
。
若设共有 x 人，则可列方程为
。
答案
8. $7x+4=9x-8$
解析
【分析】
本题考查根据实际问题列一元一次方程，解题核心是找准题目中的不变量。已知设人数为x，银子的总质量是固定不变的：首先分析第一种分法，每人分7两，x人共分7x两，加上剩余的4两，就是银子总质量，即7x+4；再分析第二种分法，每人分9两，x人共需要9x两，还差8两说明实际总质量比9x少8两，即9x-8。由于两种情况的银子总质量相等，即可列出对应方程。
【解析】
首先确定等量关系：两种分法对应的银子总质量相等。
设共有x人：
1. 每人分7两、剩余4两时，银子总质量为：$7x + 4$（两）
2. 每人分9两、还差8两时，银子总质量为：$9x - 8$（两）
因为银子总质量固定，因此可得方程：$7x + 4 = 9x - 8$
【答案】
$7x+4=9x-8$
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系识别
【点评】
本题属于基础的方程建模类题目，是经典的盈亏问题，解题的关键是抓住不变量，用含未知数的式子分别表示出不变量的两种形式，令其相等即可列出方程，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查根据实际问题列一元一次方程，解题核心是找准题目中的不变量。已知设人数为x，银子的总质量是固定不变的：首先分析第一种分法，每人分7两，x人共分7x两，加上剩余的4两，就是银子总质量，即7x+4；再分析第二种分法，每人分9两，x人共需要9x两，还差8两说明实际总质量比9x少8两，即9x-8。由于两种情况的银子总质量相等，即可列出对应方程。
【解析】
首先确定等量关系：两种分法对应的银子总质量相等。
设共有x人：
1. 每人分7两、剩余4两时，银子总质量为：$7x + 4$（两）
2. 每人分9两、还差8两时，银子总质量为：$9x - 8$（两）
因为银子总质量固定，因此可得方程：$7x + 4 = 9x - 8$
【答案】
$7x+4=9x-8$
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系识别
【点评】
本题属于基础的方程建模类题目，是经典的盈亏问题，解题的关键是抓住不变量，用含未知数的式子分别表示出不变量的两种形式，令其相等即可列出方程，难度较低。
【难度系数】
0.8
9.若关于x的一元一次方程$2x^{a-2}+m=4$的解为$x=1$，则$a+m$的值为
5
。答案
9. 5
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按两个核心步骤思考：首先根据一元一次方程的定义确定a的取值，一元一次方程要求所含未知数的最高次数为1，因此x的指数a-2必须等于1，即可求出a的值；其次利用方程的解的含义，方程的解是能让方程左右两边相等的未知数的值，把x=1代入化简后的方程就能求出m的值，最后计算a+m的和即可。
【解析】
∵ 方程$2x^{a-2}+m=4$是关于x的一元一次方程
∴ 未知数x的次数为1，即$a-2=1$，解得$a=3$
此时原方程化简为$2x + m = 4$
∵ $x=1$是方程的解，将$x=1$代入化简后的方程得：
$2×1 + m = 4$
解得$m=2$
∴ $a+m=3+2=5$
【答案】
5
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查对一元一次方程概念、方程解的含义的理解，只要熟练掌握相关基础定义就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按两个核心步骤思考：首先根据一元一次方程的定义确定a的取值，一元一次方程要求所含未知数的最高次数为1，因此x的指数a-2必须等于1，即可求出a的值；其次利用方程的解的含义，方程的解是能让方程左右两边相等的未知数的值，把x=1代入化简后的方程就能求出m的值，最后计算a+m的和即可。
【解析】
∵ 方程$2x^{a-2}+m=4$是关于x的一元一次方程
∴ 未知数x的次数为1，即$a-2=1$，解得$a=3$
此时原方程化简为$2x + m = 4$
∵ $x=1$是方程的解，将$x=1$代入化简后的方程得：
$2×1 + m = 4$
解得$m=2$
∴ $a+m=3+2=5$
【答案】
5
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查对一元一次方程概念、方程解的含义的理解，只要熟练掌握相关基础定义就能快速求解。
【难度系数】
0.8
10.已知关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + b$的解为$x=3$，那么关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2026}(y + 1) + 3 = 2(y + 1) + b$中，$y + 1 =$
3
.答案
10. 3
解析
【分析】
我们先观察两个一元一次方程的结构，发现它们的形式完全相同，仅第一个方程中的未知数x替换成了第二个方程中的(y+1)。已知第一个方程的解为x=3，根据一元一次方程解的定义，满足第一个方程的x值也同样满足形式完全相同的第二个方程中整体(y+1)的取值，用整体代换的思路可以快速求解，不需要先计算参数b的值，简化计算过程。也可以先把第一个方程的解x=3代入求出b的值，再代入第二个方程计算y+1的值，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一（整体代换法）：
观察两个方程：
方程①：$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + b$，解为$x=3$；
方程②：$\frac{1}{2026}(y + 1) + 3 = 2(y + 1) + b$。
设$z = y + 1$，则方程②可变形为$\frac{1}{2026}z + 3 = 2z + b$，该方程与方程①完全相同，因此它的解也和方程①的解相同，即$z=3$，所以$y+1=3$。
方法二（代入求参法）：
把$x=3$代入方程①，得：
$\frac{1}{2026} × 3 + 3 = 2 × 3 + b$
解得$b = \frac{3}{2026} - 3$。
把$b = \frac{3}{2026} - 3$代入方程②，得：
$\frac{1}{2026}(y+1) + 3 = 2(y+1) + \frac{3}{2026} - 3$
移项、合并同类项：
$(\frac{1}{2026} - 2)(y+1) = \frac{3}{2026} - 6$
两边同时乘以2026去掉分母，得：
$-4051(y+1) = -12153$
解得$y+1 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 整体代换思想
【点评】
本题属于同构类方程题型，核心是抓住两个方程结构完全相同的特点，运用整体代换思想可以快速得到答案，避免了计算复杂参数的过程，是解决这类问题的常用技巧，能够有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
我们先观察两个一元一次方程的结构，发现它们的形式完全相同，仅第一个方程中的未知数x替换成了第二个方程中的(y+1)。已知第一个方程的解为x=3，根据一元一次方程解的定义，满足第一个方程的x值也同样满足形式完全相同的第二个方程中整体(y+1)的取值，用整体代换的思路可以快速求解，不需要先计算参数b的值，简化计算过程。也可以先把第一个方程的解x=3代入求出b的值，再代入第二个方程计算y+1的值，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一（整体代换法）：
观察两个方程：
方程①：$\frac{1}{2026}x + 3 = 2x + b$，解为$x=3$；
方程②：$\frac{1}{2026}(y + 1) + 3 = 2(y + 1) + b$。
设$z = y + 1$，则方程②可变形为$\frac{1}{2026}z + 3 = 2z + b$，该方程与方程①完全相同，因此它的解也和方程①的解相同，即$z=3$，所以$y+1=3$。
方法二（代入求参法）：
把$x=3$代入方程①，得：
$\frac{1}{2026} × 3 + 3 = 2 × 3 + b$
解得$b = \frac{3}{2026} - 3$。
把$b = \frac{3}{2026} - 3$代入方程②，得：
$\frac{1}{2026}(y+1) + 3 = 2(y+1) + \frac{3}{2026} - 3$
移项、合并同类项：
$(\frac{1}{2026} - 2)(y+1) = \frac{3}{2026} - 6$
两边同时乘以2026去掉分母，得：
$-4051(y+1) = -12153$
解得$y+1 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 整体代换思想
【点评】
本题属于同构类方程题型，核心是抓住两个方程结构完全相同的特点，运用整体代换思想可以快速得到答案，避免了计算复杂参数的过程，是解决这类问题的常用技巧，能够有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
11.先列方程，再估算出方程的解.
甲型钢笔每支3元，乙型钢笔每支5元，
用40元买了这两种钢笔共10支，还余2元，
则这两种钢笔各买了多少支？
若设买了甲型钢笔x支，则买了乙型钢笔
甲型钢笔每支3元，乙型钢笔每支5元，
用40元买了这两种钢笔共10支，还余2元，
则这两种钢笔各买了多少支？
若设买了甲型钢笔x支，则买了乙型钢笔
$(10-x)$
支，依题意可列方程为$3x+5(10-x)=40-2$
.答案
11. $(10-x)$ $3x+5(10-x)=40-2$
解析
【分析】
解题时首先根据两种钢笔的总数量表示出乙型钢笔的数量：已知两种钢笔共10支，设甲型钢笔为x支，那么乙型钢笔数量就是总数量减去甲型的数量，即(10-x)支。接下来找金额的等量关系：买两种钢笔的总花费 = 带的总钱数 - 剩余的钱数，再分别用“单价×数量”表示出两种钢笔的总价，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 表示乙型钢笔数量：
∵ 两种钢笔一共买了10支，甲型钢笔为x支
∴ 乙型钢笔的数量为$\boldsymbol{(10-x)}$支
2. 分析金额等量关系：
带了40元最后余2元，因此买两种钢笔的总花费为$(40-2)$元
甲型钢笔单价3元，x支的总费用为$3x$元；乙型钢笔单价5元，$(10-x)$支的总费用为$5(10-x)$元
根据“甲型总费用+乙型总费用=总花费”，可列方程：$\boldsymbol{3x+5(10-x)=40-2}$
【答案】
$(10-x)$；$3x+5(10-x)=40-2$
【知识点】
一元一次方程应用，列代数式，找等量关系
【点评】
本题是基础的方程实际应用题，核心是结合题意用代数式表示未知量，找准总花费的等量关系即可顺利解题，是一元一次方程应用的常规题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据两种钢笔的总数量表示出乙型钢笔的数量：已知两种钢笔共10支，设甲型钢笔为x支，那么乙型钢笔数量就是总数量减去甲型的数量，即(10-x)支。接下来找金额的等量关系：买两种钢笔的总花费 = 带的总钱数 - 剩余的钱数，再分别用“单价×数量”表示出两种钢笔的总价，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
1. 表示乙型钢笔数量：
∵ 两种钢笔一共买了10支，甲型钢笔为x支
∴ 乙型钢笔的数量为$\boldsymbol{(10-x)}$支
2. 分析金额等量关系：
带了40元最后余2元，因此买两种钢笔的总花费为$(40-2)$元
甲型钢笔单价3元，x支的总费用为$3x$元；乙型钢笔单价5元，$(10-x)$支的总费用为$5(10-x)$元
根据“甲型总费用+乙型总费用=总花费”，可列方程：$\boldsymbol{3x+5(10-x)=40-2}$
【答案】
$(10-x)$；$3x+5(10-x)=40-2$
【知识点】
一元一次方程应用，列代数式，找等量关系
【点评】
本题是基础的方程实际应用题，核心是结合题意用代数式表示未知量，找准总花费的等量关系即可顺利解题，是一元一次方程应用的常规题型。
【难度系数】
0.8
12. 根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程.
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
(1)$x+(x+2)+(x+2)+(x+2)=14$
(2)$x+2x+(x+20)=180$
(2)$x+2x+(x+20)=180$
解析
【分析】
列方程的核心是先找准题目中的等量关系，再把等量关系中的各个量用已知数或含未知数的式子表示，最后代入等量关系即可得到方程。
(1) 本题的等量关系为：图形四条边的长度之和=总周长14。观察图形可得四条边的长度分别为x、x+2、x+2、x+2，将四条边长度相加等于周长14，即可列出方程。
(2) 本题的等量关系为：三角形三个内角的度数之和=180°。观察图形可得三个内角的度数分别为x、2x、x+20，将三个角度相加等于180°，即可列出方程。
【解析】
(1) 封闭图形的周长为各边长度之和，已知该图形周长为14，四条边长度分别为x、x+2、x+2、x+2，据此列方程：
$x+(x+2)+(x+2)+(x+2)=14$
(2) 三角形内角和固定为180°，已知三个内角度数分别为x、2x、$x+20$，据此列方程：
$x+2x+(x+20)=180$
【答案】
(1)$x+(x+2)+(x+2)+(x+2)=14$
(2)$x+2x+(x+20)=180$
【知识点】
列一元一次方程；周长计算；三角形内角和
【点评】
本题考查根据几何图形的性质找等量关系列方程的能力，解题的关键是熟练掌握常见几何图形的基本性质，属于方程应用的基础题型，掌握相关几何常识即可快速求解。
【难度系数】
0.8
列方程的核心是先找准题目中的等量关系，再把等量关系中的各个量用已知数或含未知数的式子表示，最后代入等量关系即可得到方程。
(1) 本题的等量关系为：图形四条边的长度之和=总周长14。观察图形可得四条边的长度分别为x、x+2、x+2、x+2，将四条边长度相加等于周长14，即可列出方程。
(2) 本题的等量关系为：三角形三个内角的度数之和=180°。观察图形可得三个内角的度数分别为x、2x、x+20，将三个角度相加等于180°，即可列出方程。
【解析】
(1) 封闭图形的周长为各边长度之和，已知该图形周长为14，四条边长度分别为x、x+2、x+2、x+2，据此列方程：
$x+(x+2)+(x+2)+(x+2)=14$
(2) 三角形内角和固定为180°，已知三个内角度数分别为x、2x、$x+20$，据此列方程：
$x+2x+(x+20)=180$
【答案】
(1)$x+(x+2)+(x+2)+(x+2)=14$
(2)$x+2x+(x+20)=180$
【知识点】
列一元一次方程；周长计算；三角形内角和
【点评】
本题考查根据几何图形的性质找等量关系列方程的能力，解题的关键是熟练掌握常见几何图形的基本性质，属于方程应用的基础题型，掌握相关几何常识即可快速求解。
【难度系数】
0.8
