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1. (2026廊坊月考)方程$x(x-3)=0$的根为（
A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=x_2=3$
C.$x_1=0,x_2=3$
D.$x_1=0,x_2=-3$
C
）A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=x_2=3$
C.$x_1=0,x_2=3$
D.$x_1=0,x_2=-3$
答案
1. C
解析
【分析】
本题可利用因式分解法解一元二次方程，核心依据是“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”。解题时先将原方程拆分为两个一元一次方程，再分别求解即可得到方程的根，最后匹配对应选项。
【解析】
根据“若两个数的乘积为0，则其中至少有一个数为0”，已知方程$x(x-3)=0$，可得：
$x=0$ 或 $x-3=0$
解$x-3=0$得$x=3$
因此方程的根为$x_1=0$，$x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解法解方程的原理，利用零乘积性质将二次方程降为一次方程求解。
【难度系数】
0.9
本题可利用因式分解法解一元二次方程，核心依据是“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”。解题时先将原方程拆分为两个一元一次方程，再分别求解即可得到方程的根，最后匹配对应选项。
【解析】
根据“若两个数的乘积为0，则其中至少有一个数为0”，已知方程$x(x-3)=0$，可得：
$x=0$ 或 $x-3=0$
解$x-3=0$得$x=3$
因此方程的根为$x_1=0$，$x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解法解方程的原理，利用零乘积性质将二次方程降为一次方程求解。
【难度系数】
0.9
2.方程$x(x-1)=x$的解是 （
A.$x=0$
B.$x=2$
C.$x_1=0,x_2=2$
D.$x_1=0,x_2=1$
C
）A.$x=0$
B.$x=2$
C.$x_1=0,x_2=2$
D.$x_1=0,x_2=1$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，解题时要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先将右边的x移项到左边，再通过提取公因式的方法对左边的式子进行因式分解，最后令每个因式等于0，分别求解即可得到方程的两个根。
【解析】
解：对原方程进行移项，得：
$x(x-1)-x=0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x-1)-1]=0$
化简得：
$x(x-2)=0$
所以$x=0$或$x-2=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接将方程两边同时除以x，从而漏掉x=0的根，解题时需遵循先移项再因式分解的步骤，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程的求解，解题时要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先将右边的x移项到左边，再通过提取公因式的方法对左边的式子进行因式分解，最后令每个因式等于0，分别求解即可得到方程的两个根。
【解析】
解：对原方程进行移项，得：
$x(x-1)-x=0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x-1)-1]=0$
化简得：
$x(x-2)=0$
所以$x=0$或$x-2=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接将方程两边同时除以x，从而漏掉x=0的根，解题时需遵循先移项再因式分解的步骤，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.7
3. (2025岳阳月考)一元二次方程$x^2 + 3x - 4 = 0$的解是（
A.$x_1=1, x_2=-4$
B.$x_1=-1, x_2=4$
C.$x_1=-1, x_2=-4$
D.$x_1=1, x_2=4$
A
）A.$x_1=1, x_2=-4$
B.$x_1=-1, x_2=4$
C.$x_1=-1, x_2=-4$
D.$x_1=1, x_2=4$
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，可优先选择简便的因式分解法解题：对于形如$x^2+px+q=0$的一元二次方程，若能找到两个数$a$、$b$满足$a+b=p$、$a× b=q$，即可将方程因式分解为$(x+a)(x+b)=0$，进而快速得到方程的解；也可使用公式法、配方法求解验证。本题中一次项系数为3，常数项为-4，很容易找到满足条件的两个数，用因式分解法解题最快。
【解析】
方法一：因式分解法
对$x^2 + 3x - 4 = 0$因式分解，寻找两个数满足和为3、积为-4，可得这两个数为4和-1，因此方程可变形为：
$(x-1)(x+4)=0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=-4$。
方法二：公式法验证
对于方程$x^2 + 3x - 4 = 0$，$a=1$，$b=3$，$c=-4$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，先算判别式$\Delta=3^2-4×1×(-4)=25$，
因此$x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{-3\pm5}{2}$，
计算得$x_1=\frac{-3+5}{2}=1$，$x_2=\frac{-3-5}{2}=-4$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法可大幅提升解题效率，也可通过公式法、配方法等多种方法验证结果，属于必须得分的基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，可优先选择简便的因式分解法解题：对于形如$x^2+px+q=0$的一元二次方程，若能找到两个数$a$、$b$满足$a+b=p$、$a× b=q$，即可将方程因式分解为$(x+a)(x+b)=0$，进而快速得到方程的解；也可使用公式法、配方法求解验证。本题中一次项系数为3，常数项为-4，很容易找到满足条件的两个数，用因式分解法解题最快。
【解析】
方法一：因式分解法
对$x^2 + 3x - 4 = 0$因式分解，寻找两个数满足和为3、积为-4，可得这两个数为4和-1，因此方程可变形为：
$(x-1)(x+4)=0$
根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$x-1=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=-4$。
方法二：公式法验证
对于方程$x^2 + 3x - 4 = 0$，$a=1$，$b=3$，$c=-4$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，先算判别式$\Delta=3^2-4×1×(-4)=25$，
因此$x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{-3\pm5}{2}$，
计算得$x_1=\frac{-3+5}{2}=1$，$x_2=\frac{-3-5}{2}=-4$。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，熟练掌握因式分解法可大幅提升解题效率，也可通过公式法、配方法等多种方法验证结果，属于必须得分的基础题。
【难度系数】
0.9
4. (2025上海期中)方程$5x^2 -4x=0$的解为
$x_1=0,x_2=\frac{4}{5}$
。答案
4. $x_1=0,x_2=\frac{4}{5}$
解析
【分析】
观察方程$5x^2-4x=0$的特征，方程不含常数项，适合采用因式分解法求解。解题思路为：第一步先提取公因式$x$，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式；第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，将原一元二次方程转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程提取公因式$x$，得：
$x(5x-4)=0$
根据因式乘积为0的性质，可得：
$x=0$ 或 $5x-4=0$
解$5x-4=0$，移项得$5x=4$，解得$x=\frac{4}{5}$
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=\frac{4}{5}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\frac{4}{5}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时可优先根据方程特征选择简便的解法，注意不要在方程两边直接除以含未知数的整式，否则会漏掉根。
【难度系数】
0.9
观察方程$5x^2-4x=0$的特征，方程不含常数项，适合采用因式分解法求解。解题思路为：第一步先提取公因式$x$，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式；第二步根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，将原一元二次方程转化为两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程提取公因式$x$，得：
$x(5x-4)=0$
根据因式乘积为0的性质，可得：
$x=0$ 或 $5x-4=0$
解$5x-4=0$，移项得$5x=4$，解得$x=\frac{4}{5}$
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=\frac{4}{5}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\frac{4}{5}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时可优先根据方程特征选择简便的解法，注意不要在方程两边直接除以含未知数的整式，否则会漏掉根。
【难度系数】
0.9
5. 小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：
解:一元二次方程 $x(x-2)=2-x$，
移项，得 $x(x-2)+(x-2)=0$，……第一步
两边都除以$(x-2)$，得 $x+1=0$，……第二步
移项，得 $x=-1$.……第三步
(1)小明的解法从第
(2)用因式分解法解方程: $3(x+4)^2 = x(4+x)$.
解:一元二次方程 $x(x-2)=2-x$，
移项，得 $x(x-2)+(x-2)=0$，……第一步
两边都除以$(x-2)$，得 $x+1=0$，……第二步
移项，得 $x=-1$.……第三步
(1)小明的解法从第
二
步开始出现错误；此题的正确结果是$x_1=2,x_2=-1$
.(2)用因式分解法解方程: $3(x+4)^2 = x(4+x)$.
答案
5. (1) 二 $x_1=2,x_2=-1$
(2) 解:$3(x+4)^2 = x(4+x)$,
$3(x+4)^2 -x(4+x)=0$,
$(x+4)[3(x+4)-x]=0$,
$(x+4)(2x+12)=0$,
解得$x_1=-4,x_2=-6$.
(2) 解:$3(x+4)^2 = x(4+x)$,
$3(x+4)^2 -x(4+x)=0$,
$(x+4)[3(x+4)-x]=0$,
$(x+4)(2x+12)=0$,
解得$x_1=-4,x_2=-6$.
解析
【分析】
（1）判断小明的错误步骤：根据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立，小明第二步直接除以含未知数的整式$(x-2)$，未考虑$x-2=0$的情况，会丢失根，因此从第二步开始出错。正确解法应先提取公因式$(x-2)$，再令两个因式分别为0求解即可得到完整的根。
（2）解第二个方程时，同样不能直接除以$(x+4)$避免丢根，先移项将右边式子移到左边，再提取公因式$(x+4)$，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 小明第二步两边除以$(x-2)$时，没有考虑$x-2$可能为0的情况，不符合等式的性质，因此解法从第二步开始出现错误。
正确求解过程：
移项得 $x(x-2)+(x-2)=0$，
提取公因式得 $(x-2)(x+1)=0$，
则 $x-2=0$ 或 $x+1=0$，
解得 $x_1=2, x_2=-1$。
(2) 解方程 $3(x+4)^2 = x(4+x)$：
移项得 $3(x+4)^2 -x(x+4)=0$，
提取公因式$(x+4)$得 $(x+4)[3(x+4)-x]=0$，
化简括号内的式子得 $(x+4)(2x+12)=0$，
则 $x+4=0$ 或 $2x+12=0$，
分别解得 $x_1=-4, x_2=-6$。
【答案】
(1) 二；$x_1=2,x_2=-1$
(2) $x_1=-4,x_2=-6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时要注意不能直接在方程两边除以含未知数的整式，否则容易漏掉方程的根，熟练掌握提公因式分解因式的方法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）判断小明的错误步骤：根据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立，小明第二步直接除以含未知数的整式$(x-2)$，未考虑$x-2=0$的情况，会丢失根，因此从第二步开始出错。正确解法应先提取公因式$(x-2)$，再令两个因式分别为0求解即可得到完整的根。
（2）解第二个方程时，同样不能直接除以$(x+4)$避免丢根，先移项将右边式子移到左边，再提取公因式$(x+4)$，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 小明第二步两边除以$(x-2)$时，没有考虑$x-2$可能为0的情况，不符合等式的性质，因此解法从第二步开始出现错误。
正确求解过程：
移项得 $x(x-2)+(x-2)=0$，
提取公因式得 $(x-2)(x+1)=0$，
则 $x-2=0$ 或 $x+1=0$，
解得 $x_1=2, x_2=-1$。
(2) 解方程 $3(x+4)^2 = x(4+x)$：
移项得 $3(x+4)^2 -x(x+4)=0$，
提取公因式$(x+4)$得 $(x+4)[3(x+4)-x]=0$，
化简括号内的式子得 $(x+4)(2x+12)=0$，
则 $x+4=0$ 或 $2x+12=0$，
分别解得 $x_1=-4, x_2=-6$。
【答案】
(1) 二；$x_1=2,x_2=-1$
(2) $x_1=-4,x_2=-6$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时要注意不能直接在方程两边除以含未知数的整式，否则容易漏掉方程的根，熟练掌握提公因式分解因式的方法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
6.定义运算：$m\&n=m^2 - mn + 5$.例如$1\&2=1^2 - 1×2 + 5=4$,则方程$x\&6=0$的根为
$x_1=1,x_2=5$
.答案
6. $x_1=1,x_2=5$
解析
【分析】
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解给定的运算规则：本题中m&n的运算结果是第一个数的平方减去两个数的乘积再加5。求解方程x&6=0时，先把运算中的x对应规则里的m，6对应规则里的n，代入运算规则将特殊运算转化为常规的一元二次方程，再求解一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
根据新定义运算$m\&n=m^2 - mn + 5$，将$m=x$，$n=6$代入得：
$x^2 - 6x + 5 = 0$
对左边因式分解可得：
$(x-1)(x-5)=0$
则$x-1=0$或$x-5=0$，解得：
$x_1=1, \quad x_2=5$
【答案】
$x_1=1,x_2=5$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是正确将新定义运算转化为熟悉的代数方程，再运用常规解方程方法求解，考查学生的知识迁移能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解给定的运算规则：本题中m&n的运算结果是第一个数的平方减去两个数的乘积再加5。求解方程x&6=0时，先把运算中的x对应规则里的m，6对应规则里的n，代入运算规则将特殊运算转化为常规的一元二次方程，再求解一元二次方程即可得到方程的根。
【解析】
根据新定义运算$m\&n=m^2 - mn + 5$，将$m=x$，$n=6$代入得：
$x^2 - 6x + 5 = 0$
对左边因式分解可得：
$(x-1)(x-5)=0$
则$x-1=0$或$x-5=0$，解得：
$x_1=1, \quad x_2=5$
【答案】
$x_1=1,x_2=5$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是正确将新定义运算转化为熟悉的代数方程，再运用常规解方程方法求解，考查学生的知识迁移能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
7.已知关于$x$的方程$x^2 -6x + m^2 -2m +5=0$的一个根为2，求$m$的值.
答案
解:$\because$关于$x$的方程$x^2 -6x +m^2 -2m +5=0$的一个根为2,
$\therefore 2^2 -6×2 +m^2 -2m +5=0$,
即$m^2 -2m -3=0$,
解得$m_1=3,m_2=-1$,
$\therefore m$的值为3或$-1$.
$\therefore 2^2 -6×2 +m^2 -2m +5=0$,
即$m^2 -2m -3=0$,
解得$m_1=3,m_2=-1$,
$\therefore m$的值为3或$-1$.
解析
【分析】
解题核心是利用一元二次方程根的定义：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值。因此我们可以将已知根x=2代入原方程，把原方程转化为仅含未知数m的一元二次方程，再求解该方程即可得到m的取值。
【解析】
∵关于$x$的方程$x^2 -6x + m^2 -2m +5=0$的一个根为2，
∴将$x=2$代入方程得：$2^2 -6×2 + m^2 -2m +5=0$，
化简计算得：$4-12+m^2-2m+5=0$，即$m^2 -2m -3=0$，
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，
解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
【答案】
$m$的值为3或$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的定义的应用，代入已知根转化方程是解题的关键，求解关于m的方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用一元二次方程根的定义：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值。因此我们可以将已知根x=2代入原方程，把原方程转化为仅含未知数m的一元二次方程，再求解该方程即可得到m的取值。
【解析】
∵关于$x$的方程$x^2 -6x + m^2 -2m +5=0$的一个根为2，
∴将$x=2$代入方程得：$2^2 -6×2 + m^2 -2m +5=0$，
化简计算得：$4-12+m^2-2m+5=0$，即$m^2 -2m -3=0$，
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，
解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
【答案】
$m$的值为3或$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的定义的应用，代入已知根转化方程是解题的关键，求解关于m的方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
8. 阅读下列材料，然后回答问题.
解方程：$x^2 - 3|x| + 2 = 0$.
解：当$x ≥ 0$时，原方程可化为$x^2 - 3x + 2 = 0$，解得$x_1=2, x_2=1$；
当$x ＜ 0$时，原方程可化为$x^2 + 3x + 2 = 0$，解得$x_3=-1, x_4=-2$.
∴原方程的根是$x_1=2, x_2=1, x_3=-1, x_4=-2$.
请观察上述方程的求解过程，试解方程$x^2 - |x| - 2 = 0$.
解方程：$x^2 - 3|x| + 2 = 0$.
解：当$x ≥ 0$时，原方程可化为$x^2 - 3x + 2 = 0$，解得$x_1=2, x_2=1$；
当$x ＜ 0$时，原方程可化为$x^2 + 3x + 2 = 0$，解得$x_3=-1, x_4=-2$.
∴原方程的根是$x_1=2, x_2=1, x_3=-1, x_4=-2$.
请观察上述方程的求解过程，试解方程$x^2 - |x| - 2 = 0$.
答案
解:当$x ≥0$时,原方程可化为$x^2 -x -2=0$,
解得$x=2$或$x=-1$(不合题意,舍去);
当$x＜0$时,原方程可化为$x^2 +x -2=0$,
解得$x=-2$或$x=1$(不合题意,舍去).
$\therefore$原方程的根是$x_1=2,x_2=-2$.
解得$x=2$或$x=-1$(不合题意,舍去);
当$x＜0$时,原方程可化为$x^2 +x -2=0$,
解得$x=-2$或$x=1$(不合题意,舍去).
$\therefore$原方程的根是$x_1=2,x_2=-2$.
解析
【分析】
这是含绝对值的一元二次方程，解题核心是去掉绝对值符号。根据绝对值的性质，需分$x≥0$和$x＜0$两种情况讨论，将原方程转化为普通一元二次方程求解，求出解后要验证是否符合对应的$x$取值范围，不符合的解要舍去。
【解析】
当$x≥0$时，$|x|=x$，原方程可化为$x^2 - x - 2 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x=2$或$x=-1$，
由于此时$x≥0$，因此$x=-1$不合题意，舍去；
当$x＜0$时，$|x|=-x$，原方程可化为$x^2 + x - 2 = 0$，
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$，
由于此时$x＜0$，因此$x=1$不合题意，舍去。
$\therefore$原方程的根是$x_1=2,x_2=-2$。
【答案】
原方程的根是$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1.绝对值的性质 2.一元二次方程求解 3.分类讨论思想
【点评】
本题考查含绝对值方程的求解，解题关键是通过分类讨论去掉绝对值符号，将陌生方程转化为已掌握的一元二次方程求解，要特别注意解必须符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
这是含绝对值的一元二次方程，解题核心是去掉绝对值符号。根据绝对值的性质，需分$x≥0$和$x＜0$两种情况讨论，将原方程转化为普通一元二次方程求解，求出解后要验证是否符合对应的$x$取值范围，不符合的解要舍去。
【解析】
当$x≥0$时，$|x|=x$，原方程可化为$x^2 - x - 2 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x=2$或$x=-1$，
由于此时$x≥0$，因此$x=-1$不合题意，舍去；
当$x＜0$时，$|x|=-x$，原方程可化为$x^2 + x - 2 = 0$，
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$，
由于此时$x＜0$，因此$x=1$不合题意，舍去。
$\therefore$原方程的根是$x_1=2,x_2=-2$。
【答案】
原方程的根是$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1.绝对值的性质 2.一元二次方程求解 3.分类讨论思想
【点评】
本题考查含绝对值方程的求解，解题关键是通过分类讨论去掉绝对值符号，将陌生方程转化为已掌握的一元二次方程求解，要特别注意解必须符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
