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12. 如图 10 - 3 - 6 所示，水平桌面上放置两个溢水杯，分别装满甲、乙两种液体。将一个密度为 $ \rho_0 $ 的小球放入甲液体中，小球静止时，溢出液体的质量为 $ m_{\mathrm{甲}} $；再将小球放入乙液体中，小球静止时，溢出液体的质量为 $ m_{\mathrm{乙}} $。则 $ m_{\mathrm{甲}} $(选填“$ ＞ $”“$ = $”或“$ ＜ $”)$ m_{\mathrm{乙}} $；乙液体的密度 $ \rho_{\mathrm{乙}} = $(用已知条件所给的字母表示)。
答案
＞
$\frac{m_{乙}}{m_{甲}}\rho_0$
$\frac{m_{乙}}{m_{甲}}\rho_0$
解析
【解析】
1. 小球在甲液体中漂浮，根据漂浮条件和阿基米德原理，$F_{浮甲}=G_{球}=m_{球}g$，$F_{浮甲}=G_{排甲}=m_{甲}g$，故$m_{甲}=m_{球}$。
2. 小球在乙液体中沉底，$F_{浮乙}=G_{排乙}=m_{乙}g$，且$F_{浮乙}＜G_{球}$，故$m_{乙}＜m_{球}$，因此$m_{甲}＞m_{乙}$。
3. 小球的体积$V_{球}=\frac{m_{球}}{\rho_0}=\frac{m_{甲}}{\rho_0}$，小球在乙中沉底，$V_{排乙}=V_{球}$，由$\rho=\frac{m}{V}$得$\rho_{乙}=\frac{m_{乙}}{V_{排乙}}=\frac{m_{乙}}{\frac{m_{甲}}{\rho_0}}=\frac{m_{乙}}{m_{甲}}\rho_0$。
【答案】
＞；$\frac{m_{乙}}{m_{甲}}\rho_0$
【知识点】
阿基米德原理；物体的浮沉条件；密度公式的应用
【点评】
本题考查阿基米德原理、物体浮沉条件与密度公式的综合应用，需准确判断小球在两种液体中的状态，结合相关规律分析求解。
【难度系数】
0.6
1. 小球在甲液体中漂浮，根据漂浮条件和阿基米德原理，$F_{浮甲}=G_{球}=m_{球}g$，$F_{浮甲}=G_{排甲}=m_{甲}g$，故$m_{甲}=m_{球}$。
2. 小球在乙液体中沉底，$F_{浮乙}=G_{排乙}=m_{乙}g$，且$F_{浮乙}＜G_{球}$，故$m_{乙}＜m_{球}$，因此$m_{甲}＞m_{乙}$。
3. 小球的体积$V_{球}=\frac{m_{球}}{\rho_0}=\frac{m_{甲}}{\rho_0}$，小球在乙中沉底，$V_{排乙}=V_{球}$，由$\rho=\frac{m}{V}$得$\rho_{乙}=\frac{m_{乙}}{V_{排乙}}=\frac{m_{乙}}{\frac{m_{甲}}{\rho_0}}=\frac{m_{乙}}{m_{甲}}\rho_0$。
【答案】
＞；$\frac{m_{乙}}{m_{甲}}\rho_0$
【知识点】
阿基米德原理；物体的浮沉条件；密度公式的应用
【点评】
本题考查阿基米德原理、物体浮沉条件与密度公式的综合应用，需准确判断小球在两种液体中的状态，结合相关规律分析求解。
【难度系数】
0.6
13. 物理课上，老师将整个橙子放入水中，橙子漂浮在水面上，如图 10 - 3 - 7 甲所示。将其切成大小两块，再次投入水中，发现大块仍漂浮，小块缓慢沉入水底，如图 10 - 3 - 7 乙所示。下列说法正确的是()。
A.整个橙子的平均密度等于水的密度
B.大块橙子受到的浮力大于它受到的重力
C.小块橙子缓慢沉入水底的过程中受到的浮力逐渐变小
D.乙图中两块橙子受到的浮力之和不可能大于甲图中整个橙子受到的浮力
A.整个橙子的平均密度等于水的密度
B.大块橙子受到的浮力大于它受到的重力
C.小块橙子缓慢沉入水底的过程中受到的浮力逐渐变小
D.乙图中两块橙子受到的浮力之和不可能大于甲图中整个橙子受到的浮力
答案
D
解析
【解析】
逐一分析各选项：
1. A选项：整个橙子漂浮在水面，根据漂浮条件，物体的平均密度小于液体密度，因此整个橙子的平均密度小于水的密度，A错误。
2. B选项：大块橙子漂浮，漂浮时物体所受浮力等于自身重力，B错误。
3. C选项：小块橙子缓慢沉入水底的过程中，先部分浸没后排开液体体积不变，根据阿基米德原理$F_浮=\rho_水gV_排$，浮力先变大后不变，并非逐渐变小，C错误。
4. D选项：甲图中整个橙子漂浮，浮力等于总重力，即$F_甲=G_总$；乙图中，大块漂浮$F_大=G_大$，小块沉底$F_小＜G_小$，因此两块浮力之和$F_乙=F_大+F_小＜G_大+G_小=G_总=F_甲$，即乙图中两块橙子受到的浮力之和不可能大于甲图中整个橙子受到的浮力，D正确。
【答案】
D
【知识点】
物体的浮沉条件、阿基米德原理
【点评】
本题综合考查物体浮沉条件与阿基米德原理的应用，需准确把握漂浮、沉底时的受力关系，以及浮力与排开液体体积的关联，对细节分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
逐一分析各选项：
1. A选项：整个橙子漂浮在水面，根据漂浮条件，物体的平均密度小于液体密度，因此整个橙子的平均密度小于水的密度，A错误。
2. B选项：大块橙子漂浮，漂浮时物体所受浮力等于自身重力，B错误。
3. C选项：小块橙子缓慢沉入水底的过程中，先部分浸没后排开液体体积不变，根据阿基米德原理$F_浮=\rho_水gV_排$，浮力先变大后不变，并非逐渐变小，C错误。
4. D选项：甲图中整个橙子漂浮，浮力等于总重力，即$F_甲=G_总$；乙图中，大块漂浮$F_大=G_大$，小块沉底$F_小＜G_小$，因此两块浮力之和$F_乙=F_大+F_小＜G_大+G_小=G_总=F_甲$，即乙图中两块橙子受到的浮力之和不可能大于甲图中整个橙子受到的浮力，D正确。
【答案】
D
【知识点】
物体的浮沉条件、阿基米德原理
【点评】
本题综合考查物体浮沉条件与阿基米德原理的应用，需准确把握漂浮、沉底时的受力关系，以及浮力与排开液体体积的关联，对细节分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
14. 随着全球气候变暖，漂浮于海面的冰山正逐渐熔化。小明为了探究冰山熔化后海平面是否变化，将一块冰放入浓盐水中，冰处于漂浮状态，液面位置如图 10 - 3 - 8 所示。冰熔化后，杯中的液面与冰熔化前相比()。
A.不变
B.上升
C.下降
D.无法判断
A.不变
B.上升
C.下降
D.无法判断
答案
B
解析
【解析】
冰漂浮在浓盐水中，根据物体漂浮条件：$ F_{浮}=G_{冰} $。
由阿基米德原理可知：$ F_{浮}=G_{排}=\rho_{盐水}gV_{排} $，因此$ G_{冰}=\rho_{盐水}gV_{排} $，解得冰排开盐水的体积$ V_{排}=\frac{G_{冰}}{\rho_{盐水}g} $。
冰熔化成水后，质量不变，即$ G_{水}=G_{冰} $，由密度公式$ \rho=\frac{m}{V} $得，熔化后水的体积$ V_{水}=\frac{G_{水}}{\rho_{水}g}=\frac{G_{冰}}{\rho_{水}g} $。
因为$ \rho_{盐水}＞\rho_{水} $，所以$ V_{水}＞V_{排} $，即冰熔化后水的体积大于冰排开盐水的体积，因此杯中的液面上升。
【答案】
B
【知识点】
物体漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题考查浮力与密度的综合应用，需通过公式推导比较体积大小判断液面变化，关键是抓住冰熔化前后质量不变，结合漂浮条件和阿基米德原理分析。
【难度系数】
0.6
冰漂浮在浓盐水中，根据物体漂浮条件：$ F_{浮}=G_{冰} $。
由阿基米德原理可知：$ F_{浮}=G_{排}=\rho_{盐水}gV_{排} $，因此$ G_{冰}=\rho_{盐水}gV_{排} $，解得冰排开盐水的体积$ V_{排}=\frac{G_{冰}}{\rho_{盐水}g} $。
冰熔化成水后，质量不变，即$ G_{水}=G_{冰} $，由密度公式$ \rho=\frac{m}{V} $得，熔化后水的体积$ V_{水}=\frac{G_{水}}{\rho_{水}g}=\frac{G_{冰}}{\rho_{水}g} $。
因为$ \rho_{盐水}＞\rho_{水} $，所以$ V_{水}＞V_{排} $，即冰熔化后水的体积大于冰排开盐水的体积，因此杯中的液面上升。
【答案】
B
【知识点】
物体漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题考查浮力与密度的综合应用，需通过公式推导比较体积大小判断液面变化，关键是抓住冰熔化前后质量不变，结合漂浮条件和阿基米德原理分析。
【难度系数】
0.6
15. “浮沉子”最早是由科学家笛卡儿设计的。小华用大塑料瓶(大瓶)和开口小玻璃瓶(小瓶)制作了如图 10 - 3 - 9 甲所示的“浮沉子”：装有适量水的小瓶开口朝下漂浮在大瓶内的水面上，拧紧大瓶的瓶盖使其密封，两瓶内均有少量空气。将小瓶视为圆柱形容器，底面积为 $ S $，忽略其壁厚(即忽略小瓶自身的体积)，当小瓶漂浮时，简化模型如图 10 - 3 - 9 乙所示，小瓶内空气柱的高度为 $ h $。手握大瓶施加适当的压力，使小瓶下沉并恰好悬浮在如图 10 - 3 - 9 丙所示的位置。将倒置的小瓶和小瓶内的空气看成一个整体 $ \mathrm{A} $，$ \mathrm{A} $ 的质量为 $ m $，水的密度为 $ \rho_{\mathrm{水}} $，$ g $ 为已知量，求：
(1)图乙中 $ \mathrm{A} $ 所受浮力的大小。
(2)图乙中 $ \mathrm{A} $ 排开水的体积。
(3)图乙和图丙中小瓶内空气的密度之比。
(1)图乙中 $ \mathrm{A} $ 所受浮力的大小。
(2)图乙中 $ \mathrm{A} $ 排开水的体积。
(3)图乙和图丙中小瓶内空气的密度之比。
答案
解：
(1)A处于漂浮状态，故所受的浮力$F_{浮}=G=mg$
(2)由阿基米德原理可得$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，解得$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{mg}{\rho_{水}g}=\frac{m}{\rho_{水}}$
(3)题图丙中，A处于悬浮状态，故所受浮力$F_{浮}'=mg$
由阿基米德原理可得$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'$
解得$V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$
则题图丙中小瓶内空气的体积$V'=V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$
题图乙中小瓶内空气的体积V=Sh
又因为小瓶内的空气质量不变，故密度之比为
$ \frac{\rho}{\rho'}=\frac{V'}{V}=\frac{m}{\rho_{水}Sh}$
(1)A处于漂浮状态，故所受的浮力$F_{浮}=G=mg$
(2)由阿基米德原理可得$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，解得$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{mg}{\rho_{水}g}=\frac{m}{\rho_{水}}$
(3)题图丙中，A处于悬浮状态，故所受浮力$F_{浮}'=mg$
由阿基米德原理可得$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'$
解得$V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$
则题图丙中小瓶内空气的体积$V'=V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$
题图乙中小瓶内空气的体积V=Sh
又因为小瓶内的空气质量不变，故密度之比为
$ \frac{\rho}{\rho'}=\frac{V'}{V}=\frac{m}{\rho_{水}Sh}$
解析
【解析】
(1) 图乙中，整体A处于漂浮状态，根据漂浮条件，所受浮力等于自身重力，即$F_{浮}=G=mg$。
(2) 根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，将$F_{浮}=mg$代入公式，可得$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{mg}{\rho_{水}g}=\frac{m}{\rho_{水}}$。
(3) 图丙中，整体A处于悬浮状态，根据悬浮条件，所受浮力等于自身重力，即$F_{浮}'=mg$；
由阿基米德原理$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'$，解得$V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$；
忽略小瓶壁厚，故图丙中小瓶内空气的体积$V'=V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$；
图乙中小瓶内空气的体积$V=Sh$；
由于小瓶内空气质量不变，根据$\rho=\frac{m_{气}}{V}$，密度与体积成反比，因此$\frac{\rho}{\rho'}=\frac{V'}{V}=\frac{m}{\rho_{水}Sh}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{mg}$
(2) $\boldsymbol{\frac{m}{\rho_{水}}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{m}{\rho_{水}Sh}}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题以浮沉子为载体，综合考查浮沉条件与阿基米德原理的应用，需结合密度公式分析气体密度的变化，注重知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
(1) 图乙中，整体A处于漂浮状态，根据漂浮条件，所受浮力等于自身重力，即$F_{浮}=G=mg$。
(2) 根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，将$F_{浮}=mg$代入公式，可得$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{mg}{\rho_{水}g}=\frac{m}{\rho_{水}}$。
(3) 图丙中，整体A处于悬浮状态，根据悬浮条件，所受浮力等于自身重力，即$F_{浮}'=mg$；
由阿基米德原理$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{排}'$，解得$V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$；
忽略小瓶壁厚，故图丙中小瓶内空气的体积$V'=V_{排}'=\frac{m}{\rho_{水}}$；
图乙中小瓶内空气的体积$V=Sh$；
由于小瓶内空气质量不变，根据$\rho=\frac{m_{气}}{V}$，密度与体积成反比，因此$\frac{\rho}{\rho'}=\frac{V'}{V}=\frac{m}{\rho_{水}Sh}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{mg}$
(2) $\boldsymbol{\frac{m}{\rho_{水}}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{m}{\rho_{水}Sh}}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、密度公式应用
【点评】
本题以浮沉子为载体，综合考查浮沉条件与阿基米德原理的应用，需结合密度公式分析气体密度的变化，注重知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
