登录
9. 如图 1 - 2 - 8，等边三角形 $ ABC $ 的周长是 12，$ AD $ 是 $ ∠ BAC $ 的平分线，则 $ BD = $
2
。答案
9. 2
10. (教材习题 1.2T4 变式)如图 1 - 2 - 9，$ △ ABC $ 是等边三角形，$ D $，$ E $ 分别是边 $ BC $，$ AC $ 上的点，且 $ BD = CE $，则 $ ∠ 1 $ 的度数为
60
$ ° $。答案
10. 60
11. 如图 1 - 2 - 10，直线 $ m // n $，$ △ ABC $ 是等边三角形，顶点 $ B $ 在直线 $ n $ 上，直线 $ m $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，交 $ AC $ 于点 $ F $，若 $ ∠ 1 = 140° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数是(
A.$ 80° $
B.$ 100° $
C.$ 120° $
D.$ 140° $
B
)A.$ 80° $
B.$ 100° $
C.$ 120° $
D.$ 140° $
答案
11. B
12. 如图 1 - 2 - 11，已知 $ ∠ AOB = 10° $，且 $ OC = CD = DE = EF = FG = GH $，则 $ ∠ BGH $ 的度数为(
A.$ 50° $
B.$ 60° $
C.$ 70° $
D.$ 80° $
B
)A.$ 50° $
B.$ 60° $
C.$ 70° $
D.$ 80° $
答案
12. B
13. (2025 广西)如图 1 - 2 - 12，点 $ A $，$ D $ 在 $ BC $ 同侧，$ AB = BC = CA = 2 $，$ BD = CD = \sqrt{2} $，则 $ AD = $
$\sqrt{3}-1$
。答案
13. $\sqrt{3}-1$
14. 如图 1 - 2 - 13，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = BC $，$ E $ 是 $ AB $ 上的一点，$ DE ⊥ AB $ 于点 $ E $，交 $ AC $ 于点 $ D $，$ EF ⊥ BC $ 于点 $ F $。
（1）若 $ ∠ CDE = 152° $，求 $ ∠ DEF $ 的度数；
（2）若 $ D $ 是 $ AC $ 的中点，求证：$ ∠ ABC = 2∠ ADE $。
（1）若 $ ∠ CDE = 152° $，求 $ ∠ DEF $ 的度数；
（2）若 $ D $ 是 $ AC $ 的中点，求证：$ ∠ ABC = 2∠ ADE $。
答案
1. （1）
首先求$∠ ADE$的度数：
因为$∠ CDE+∠ ADE = 180°$（邻补角的定义），已知$∠ CDE = 152°$，所以$∠ ADE=180°-∠ CDE$。
则$∠ ADE = 180 - 152=28°$。
因为$AB = BC$，所以$∠ A=∠ C$（等边对等角）。
又因为$DE⊥ AB$，$EF⊥ BC$，所以$∠ AED=∠ EFC = 90°$。
在$△ ADE$中，$∠ A = 90°-∠ ADE$；在$△ EFC$中，$∠ CEF=90°-∠ C$。
由于$∠ A=∠ C$，所以$∠ ADE=∠ CEF = 28°$。
然后求$∠ DEF$的度数：
根据平角的定义$∠ DEF+∠ ADE+∠ CEF = 180°$（$∠ AEC$是平角）。
所以$∠ DEF=180°-∠ ADE - ∠ CEF$。
把$∠ ADE=∠ CEF = 28°$代入得$∠ DEF = 180-28 - 28=124°$。
2. （2）
证明：
连接$BD$。
因为$AB = BC$，$D$是$AC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，$BD⊥ AC$，$∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC$（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）。
又因为$DE⊥ AB$，所以$∠ ADE+∠ A=∠ ABD+∠ A = 90°$（直角三角形两锐角互余）。
根据同角的余角相等，可得$∠ ADE=∠ ABD$。
因为$∠ ABC = 2∠ ABD$，所以$∠ ABC = 2∠ ADE$。
综上，（1）$∠ DEF$的度数为$124°$；（2）证明如上。
首先求$∠ ADE$的度数：
因为$∠ CDE+∠ ADE = 180°$（邻补角的定义），已知$∠ CDE = 152°$，所以$∠ ADE=180°-∠ CDE$。
则$∠ ADE = 180 - 152=28°$。
因为$AB = BC$，所以$∠ A=∠ C$（等边对等角）。
又因为$DE⊥ AB$，$EF⊥ BC$，所以$∠ AED=∠ EFC = 90°$。
在$△ ADE$中，$∠ A = 90°-∠ ADE$；在$△ EFC$中，$∠ CEF=90°-∠ C$。
由于$∠ A=∠ C$，所以$∠ ADE=∠ CEF = 28°$。
然后求$∠ DEF$的度数：
根据平角的定义$∠ DEF+∠ ADE+∠ CEF = 180°$（$∠ AEC$是平角）。
所以$∠ DEF=180°-∠ ADE - ∠ CEF$。
把$∠ ADE=∠ CEF = 28°$代入得$∠ DEF = 180-28 - 28=124°$。
2. （2）
证明：
连接$BD$。
因为$AB = BC$，$D$是$AC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，$BD⊥ AC$，$∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC$（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）。
又因为$DE⊥ AB$，所以$∠ ADE+∠ A=∠ ABD+∠ A = 90°$（直角三角形两锐角互余）。
根据同角的余角相等，可得$∠ ADE=∠ ABD$。
因为$∠ ABC = 2∠ ABD$，所以$∠ ABC = 2∠ ADE$。
综上，（1）$∠ DEF$的度数为$124°$；（2）证明如上。
15. 【模型意识】定义：如果三角形有两个内角的差为 $ 60° $，那么这样的三角形叫作“准等边三角形”。
【理解概念】
(1)顶角为 $ 120° $ 的等腰三角形
【巩固新知】
(2)已知 $ △ ABC $ 是“准等边三角形”，其中 $ ∠ A = 36° $，$ ∠ C ＞ 90° $。求 $ ∠ B $ 的度数。
【理解概念】
(1)顶角为 $ 120° $ 的等腰三角形
不是
(填“是”或“不是”)“准等边三角形”，并说明理由；【巩固新知】
(2)已知 $ △ ABC $ 是“准等边三角形”，其中 $ ∠ A = 36° $，$ ∠ C ＞ 90° $。求 $ ∠ B $ 的度数。
答案
15. 解:(1)不是 理由如下:
∵等腰三角形的顶角为120°,
∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°,30°,
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”.
(2)
∵△ABC是“准等边三角形”,∠A=36°,∠C＞90°,
∴分以下两种情况:
当∠C−∠A=60°时,∠C=∠A+60°=96°,
∴∠B=180°−∠C−∠A=48°;
当∠C−∠B=60°时,
∵∠A=36°,
∴∠C+∠B=180°−∠A=144°,
∴2∠B=84°,
∴∠B=42°.
综上所述,∠B的度数为48°或42°.
∵等腰三角形的顶角为120°,
∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°,30°,
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”.
(2)
∵△ABC是“准等边三角形”,∠A=36°,∠C＞90°,
∴分以下两种情况:
当∠C−∠A=60°时,∠C=∠A+60°=96°,
∴∠B=180°−∠C−∠A=48°;
当∠C−∠B=60°时,
∵∠A=36°,
∴∠C+∠B=180°−∠A=144°,
∴2∠B=84°,
∴∠B=42°.
综上所述,∠B的度数为48°或42°.
