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19. (本题满分 8 分)先化简,再求值:$(x + 4)(x - 4) + (x - 3)^{2}$,其中$x^{2} - 3x + 1 = 0$.
答案
19. 原式$=x^{2}-16 + x^{2}-6x + 9 = 2x^{2}-6x - 7$,$\because x^{2}-3x + 1 = 0$,$\therefore x^{2}-3x = - 1$,$\therefore 2x^{2}-6x = - 2$,$\therefore$ 原式$=-2 - 7 = - 9$.
解析
解：原式$=(x + 4)(x - 4) + (x - 3)^{2}$
$=x^{2}-16 + x^{2}-6x + 9$
$=2x^{2}-6x - 7$，
$\because x^{2}-3x + 1 = 0$，
$\therefore x^{2}-3x=-1$，
$\therefore 2x^{2}-6x=2(x^{2}-3x)=2×(-1)=-2$，
$\therefore$原式$=-2 - 7=-9$。
$=x^{2}-16 + x^{2}-6x + 9$
$=2x^{2}-6x - 7$，
$\because x^{2}-3x + 1 = 0$，
$\therefore x^{2}-3x=-1$，
$\therefore 2x^{2}-6x=2(x^{2}-3x)=2×(-1)=-2$，
$\therefore$原式$=-2 - 7=-9$。
20. (本题满分 8 分)某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练,卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点 A,B,C,甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测.求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率.(用画树状图或列表的方法求解)
答案
20. 画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种,$\therefore$ 甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
21. (本题满分 8 分)小丽从甲地匀速步行去乙地,小华骑自行车从乙地匀速前往甲地,同时出发.两人离甲地的距离 y(m)与出发时间 x(min)之间的函数关系如图所示.
(1) 小丽步行的速度为
(2) 当两人相遇时,求他们到甲地的距离.
(1) 小丽步行的速度为
80
m/min;(2) 当两人相遇时,求他们到甲地的距离.
答案
21. (1) 80
(2) 由图像可得,小华骑自行车的速度是$\dfrac{2400}{20}=120(\mathrm{m/min})$,$\therefore$ 出发后需要$\dfrac{2400}{120 + 80}=12(\mathrm{min})$两人相遇,$\therefore$ 相遇时小丽所走的路程为$12× 80 = 960(\mathrm{m})$,即当两人相遇时,他们到甲地的距离是960 m.
(2) 由图像可得,小华骑自行车的速度是$\dfrac{2400}{20}=120(\mathrm{m/min})$,$\therefore$ 出发后需要$\dfrac{2400}{120 + 80}=12(\mathrm{min})$两人相遇,$\therefore$ 相遇时小丽所走的路程为$12× 80 = 960(\mathrm{m})$,即当两人相遇时,他们到甲地的距离是960 m.
22. (本题满分 10 分)证明:垂直于弦 AB 的直径 CD 平分弦以及弦所对的两条弧.
答案
22. 如图,$CD$为$\odot O$的直径,$AB$是$\odot O$的弦,$AB⊥ CD$,垂足为$M$.求证:$AM = BM$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
证明:连接$OA$,$OB$,$\because OA = OB$,$\therefore △ OAB$是等腰三角形.$\because AB⊥ CD$,$\therefore AM = BM$,$∠ AOC = ∠ BOC$,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
