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8. 如图,在三角形ABC中,BF,BE分别平分$∠ ABC$和$∠ ABD$,$EF=8$,$EF// BC$,则$BG=$
4
。答案
8.4
解析
【分析】
首先，根据角平分线的定义可得到两组相等的角；再结合$EF// BC$的条件，利用平行线的性质得到内错角相等，进而推导出$△ EBG$和$△ FBG$均为等腰三角形，得出$EG=BG$、$BG=GF$的关系，由此可知$EF=2BG$，最后代入$EF$的长度即可求出$BG$的值。
【解析】
1. 因为$BE$平分$∠ ABD$，根据角平分线的定义，可得$∠ ABE = ∠ DBE$。
2. 由于$EF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ EGB = ∠ DBE$。
3. 所以$∠ ABE = ∠ EGB$，根据“等角对等边”，得出$EG = BG$。
4. 同理，$BF$平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义，可得$∠ ABF = ∠ FBC$。
5. 因为$EF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ GFB = ∠ FBC$。
6. 所以$∠ ABF = ∠ GFB$，根据“等角对等边”，得出$BG = GF$。
7. 由$EG = BG$且$BG = GF$，可得$EG = BG = GF$，因此$EF = EG + GF = 2BG$。
8. 已知$EF = 8$，代入得$2BG = 8$，解得$BG = 4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是通过平行线与角平分线的结合，推导出等腰三角形，从而建立线段间的数量关系，进而求解。
【难度系数】
0.6
首先，根据角平分线的定义可得到两组相等的角；再结合$EF// BC$的条件，利用平行线的性质得到内错角相等，进而推导出$△ EBG$和$△ FBG$均为等腰三角形，得出$EG=BG$、$BG=GF$的关系，由此可知$EF=2BG$，最后代入$EF$的长度即可求出$BG$的值。
【解析】
1. 因为$BE$平分$∠ ABD$，根据角平分线的定义，可得$∠ ABE = ∠ DBE$。
2. 由于$EF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ EGB = ∠ DBE$。
3. 所以$∠ ABE = ∠ EGB$，根据“等角对等边”，得出$EG = BG$。
4. 同理，$BF$平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义，可得$∠ ABF = ∠ FBC$。
5. 因为$EF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ GFB = ∠ FBC$。
6. 所以$∠ ABF = ∠ GFB$，根据“等角对等边”，得出$BG = GF$。
7. 由$EG = BG$且$BG = GF$，可得$EG = BG = GF$，因此$EF = EG + GF = 2BG$。
8. 已知$EF = 8$，代入得$2BG = 8$，解得$BG = 4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是通过平行线与角平分线的结合，推导出等腰三角形，从而建立线段间的数量关系，进而求解。
【难度系数】
0.6
9. 如图,$EF// AD$,$AD// BC$,CE平分$∠ BCF$,$∠ FEC=30°$,$∠ ACF=20°$,则$∠ DAC$的度数为
$100^{\circ }$
。答案
9.$100^{\circ }$
解析
【分析】
首先，根据平行公理的推论，由$EF// AD$、$AD// BC$可推出$EF// BC$；接着利用平行线的内错角相等，结合CE平分$∠BCF$的条件，求出$∠BCF$的度数；再通过$∠ACB=∠BCF+∠ACF$算出$∠ACB$的度数；最后根据$AD// BC$，利用同旁内角互补的性质，求出$∠DAC$的度数。
【解析】
1. 由$EF// AD$，$AD// BC$，根据平行公理的推论，可得$EF// BC$；
2. 因为$EF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ ECB=∠ FEC=30°$；
3. 已知CE平分$∠ BCF$，则$∠ BCF=2∠ ECB=2×30°=60°$；
4. 结合$∠ ACF=20°$，可得$∠ ACB=∠ BCF+∠ ACF=60°+20°=80°$；
5. 因为$AD// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以$∠ DAC+∠ ACB=180°$，则$∠ DAC=180°-∠ ACB=180°-80°=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
平行公理的推论；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质与平行公理推论的综合应用，解题关键是通过平行线的传递性建立$EF$与$BC$的平行关系，再结合角平分线的定义逐步推导角度，最终利用同旁内角互补求出目标角。
【难度系数】
0.6
首先，根据平行公理的推论，由$EF// AD$、$AD// BC$可推出$EF// BC$；接着利用平行线的内错角相等，结合CE平分$∠BCF$的条件，求出$∠BCF$的度数；再通过$∠ACB=∠BCF+∠ACF$算出$∠ACB$的度数；最后根据$AD// BC$，利用同旁内角互补的性质，求出$∠DAC$的度数。
【解析】
1. 由$EF// AD$，$AD// BC$，根据平行公理的推论，可得$EF// BC$；
2. 因为$EF// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠ ECB=∠ FEC=30°$；
3. 已知CE平分$∠ BCF$，则$∠ BCF=2∠ ECB=2×30°=60°$；
4. 结合$∠ ACF=20°$，可得$∠ ACB=∠ BCF+∠ ACF=60°+20°=80°$；
5. 因为$AD// BC$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以$∠ DAC+∠ ACB=180°$，则$∠ DAC=180°-∠ ACB=180°-80°=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
平行公理的推论；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质与平行公理推论的综合应用，解题关键是通过平行线的传递性建立$EF$与$BC$的平行关系，再结合角平分线的定义逐步推导角度，最终利用同旁内角互补求出目标角。
【难度系数】
0.6
10. 若$∠ α$与$∠ β$的两边分别平行,且$∠ α=(2x+10)°$,$∠ β=(3x-20)°$,则$∠ α$的度数为
$70^{\circ }$或$86^{\circ }$
。答案
10.$70^{\circ }$或$86^{\circ }$
解析
【分析】
首先要明确：两个角的两边分别平行时，这两个角的关系为相等或互补，因此需要分这两种情况讨论求解。第一步，当两角相等时，可根据角度表达式列出方程求解x，再代入计算∠α的度数；第二步，当两角互补时，根据两角和为180°列出方程求解x，再计算∠α的度数，最后综合两种情况得到∠α的所有可能度数。
【解析】
分两种情况进行讨论：
1. 当$∠ α = ∠ β$时：
根据题意列方程：
$2x + 10 = 3x - 20$
移项整理得：$3x - 2x = 10 + 20$
解得：$x = 30$
将$x=30$代入$∠ α=(2x+10)°$，可得：
$∠ α=(2×30 + 10)°=70°$
2. 当$∠ α + ∠ β = 180°$时：
根据题意列方程：
$(2x + 10) + (3x - 20) = 180$
合并同类项得：$5x - 10 = 180$
移项整理得：$5x = 180 + 10$
解得：$x = 38$
将$x=38$代入$∠ α=(2x+10)°$，可得：
$∠ α=(2×38 + 10)°=86°$
综上，$∠ α$的度数为$70°$或$86°$。
【答案】
$70°$或$86°$
【知识点】
平行线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题考查平行线性质的实际应用，核心是牢记“两边分别平行的两个角相等或互补”这一结论，解题时需运用分类讨论思想，全面考虑所有可能的情况，避免因漏解导致错误。
【难度系数】
0.6
首先要明确：两个角的两边分别平行时，这两个角的关系为相等或互补，因此需要分这两种情况讨论求解。第一步，当两角相等时，可根据角度表达式列出方程求解x，再代入计算∠α的度数；第二步，当两角互补时，根据两角和为180°列出方程求解x，再计算∠α的度数，最后综合两种情况得到∠α的所有可能度数。
【解析】
分两种情况进行讨论：
1. 当$∠ α = ∠ β$时：
根据题意列方程：
$2x + 10 = 3x - 20$
移项整理得：$3x - 2x = 10 + 20$
解得：$x = 30$
将$x=30$代入$∠ α=(2x+10)°$，可得：
$∠ α=(2×30 + 10)°=70°$
2. 当$∠ α + ∠ β = 180°$时：
根据题意列方程：
$(2x + 10) + (3x - 20) = 180$
合并同类项得：$5x - 10 = 180$
移项整理得：$5x = 180 + 10$
解得：$x = 38$
将$x=38$代入$∠ α=(2x+10)°$，可得：
$∠ α=(2×38 + 10)°=86°$
综上，$∠ α$的度数为$70°$或$86°$。
【答案】
$70°$或$86°$
【知识点】
平行线的性质、分类讨论思想
【点评】
本题考查平行线性质的实际应用，核心是牢记“两边分别平行的两个角相等或互补”这一结论，解题时需运用分类讨论思想，全面考虑所有可能的情况，避免因漏解导致错误。
【难度系数】
0.6
三、解答题(3个小题,共40分)
11. (13分)如图,$AB// CD$,BE和DF相交于点E。
(1)若$∠ B=110°$,$∠ D=145°$,求$∠ BEF$的度数;
(2)猜想$∠ B$,$∠ D$,$∠ BEF$之间的关系,并说明理由。
11. (13分)如图,$AB// CD$,BE和DF相交于点E。
(1)若$∠ B=110°$,$∠ D=145°$,求$∠ BEF$的度数;
(2)猜想$∠ B$,$∠ D$,$∠ BEF$之间的关系,并说明理由。
答案
11.解:(1)$∠BEF=75^{\circ };$
(2)$∠B-∠BEF+∠D=$
$180^{\circ }$。
如图,过点E作$EG// AB,$
因为$AB// CD,$
所以$GE// CD,$
所以$∠B+∠BEG=180^{\circ },$
$∠D+∠DEG=180^{\circ },$
所以$∠B+∠BED+∠D=360^{\circ }$。
又因为$∠BED=180^{\circ }-∠BEF,$
所以$∠B+180^{\circ }-∠BEF+∠D=360^{\circ },$
所以$∠B-∠BEF+∠D=180^{\circ }$。
第11题图
解析
【分析】
对于(1)，已知$AB// CD$和$∠B$、$∠D$的度数，要求$∠BEF$，可通过过点$E$作辅助线$EG// AB$，利用平行线的传递性得到$EG// CD$，再结合平行线“同旁内角互补”的性质求出相关角的度数，最后通过邻补角的定义计算$∠BEF$。
对于(2)，同样借助辅助线$EG// AB$，先利用平行线性质推导$∠B$、$∠BED$、$∠D$的关系，再结合$∠BED$与$∠BEF$的邻补角关系，转化得到三个角的数量关系。
【解析】
(1) 过点$E$作$EG// AB$，
因为$AB// CD$，所以$GE// CD$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
根据“两直线平行，同旁内角互补”：
$\because ∠B=110°$，$\therefore ∠BEG=180°-∠B=180°-110°=70°$；
$\because ∠D=145°$，$\therefore ∠DEG=180°-∠D=180°-145°=35°$；
则$∠BED=∠BEG+∠DEG=70°+35°=105°$，
又$\because ∠BEF+∠BED=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠BEF=180°-105°=75°$。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠B-∠BEF+∠D=180°}$，理由如下：
过点$E$作$EG// AB$，
因为$AB// CD$，所以$GE// CD$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
根据“两直线平行，同旁内角互补”，得：
$∠B+∠BEG=180°$，$∠D+∠DEG=180°$，
将两式相加得：$∠B+∠BEG+∠DEG+∠D=360°$，
即$∠B+∠BED+∠D=360°$，
又$\because ∠BED=180°-∠BEF$（邻补角的定义），
代入得：$∠B+180°-∠BEF+∠D=360°$，
整理得：$∠B-∠BEF+∠D=180°$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠BEF=75°}$；
(2)$\boldsymbol{∠B-∠BEF+∠D=180°}$，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义
【点评】
本题核心考查平行线性质的应用，作辅助线构造平行线是解题的关键，通过辅助线将分散的角建立联系，同时需要熟练掌握邻补角的定义，完成角之间的转化。
【难度系数】
0.6
对于(1)，已知$AB// CD$和$∠B$、$∠D$的度数，要求$∠BEF$，可通过过点$E$作辅助线$EG// AB$，利用平行线的传递性得到$EG// CD$，再结合平行线“同旁内角互补”的性质求出相关角的度数，最后通过邻补角的定义计算$∠BEF$。
对于(2)，同样借助辅助线$EG// AB$，先利用平行线性质推导$∠B$、$∠BED$、$∠D$的关系，再结合$∠BED$与$∠BEF$的邻补角关系，转化得到三个角的数量关系。
【解析】
(1) 过点$E$作$EG// AB$，
因为$AB// CD$，所以$GE// CD$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
根据“两直线平行，同旁内角互补”：
$\because ∠B=110°$，$\therefore ∠BEG=180°-∠B=180°-110°=70°$；
$\because ∠D=145°$，$\therefore ∠DEG=180°-∠D=180°-145°=35°$；
则$∠BED=∠BEG+∠DEG=70°+35°=105°$，
又$\because ∠BEF+∠BED=180°$（邻补角的定义），
$\therefore ∠BEF=180°-105°=75°$。
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠B-∠BEF+∠D=180°}$，理由如下：
过点$E$作$EG// AB$，
因为$AB// CD$，所以$GE// CD$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
根据“两直线平行，同旁内角互补”，得：
$∠B+∠BEG=180°$，$∠D+∠DEG=180°$，
将两式相加得：$∠B+∠BEG+∠DEG+∠D=360°$，
即$∠B+∠BED+∠D=360°$，
又$\because ∠BED=180°-∠BEF$（邻补角的定义），
代入得：$∠B+180°-∠BEF+∠D=360°$，
整理得：$∠B-∠BEF+∠D=180°$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠BEF=75°}$；
(2)$\boldsymbol{∠B-∠BEF+∠D=180°}$，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义
【点评】
本题核心考查平行线性质的应用，作辅助线构造平行线是解题的关键，通过辅助线将分散的角建立联系，同时需要熟练掌握邻补角的定义，完成角之间的转化。
【难度系数】
0.6
12. (13分)如图,已知$∠ 1+∠ 2=180°$,$∠ 3=∠ B$。
(1)试说明:$DE// BC$;
(2)若$∠ AED=55°$,$∠ B=45°$,求$∠ A$的度数。
(1)试说明:$DE// BC$;
(2)若$∠ AED=55°$,$∠ B=45°$,求$∠ A$的度数。
答案
12.(1)证明:如图,延长EF交BC于点H。
因为$∠1+∠2=180^{\circ },$
因为$∠1=∠4,$
所以$∠2+∠4=180^{\circ },$
所以$AB// EF,$
所以$∠3=∠ADE$。
又因为$∠3=∠B,$
所以$∠B=∠ADE,$
所以$DE// BC;$
第12题图
(2)解:因为$DE// BC,$
所以$∠ADE=∠B=45^{\circ },$
因为$∠AED=55^{\circ },$
所以$∠A=180^{\circ }-45^{\circ }-55^{\circ }=80^{\circ }$。
解析
【分析】
(1) 要证明$DE//BC$，可通过平行线的判定定理逐步推导。先利用对顶角相等将$∠1$转化为$∠4$，结合已知$∠1+∠2=180°$推出$∠2+∠4=180°$，依据“同旁内角互补，两直线平行”得到$AB//EF$，进而得到内错角相等$∠3=∠ADE$，再结合$∠3=∠B$推出$∠B=∠ADE$，最后根据“同位角相等，两直线平行”证明$DE//BC$。
(2) 要求$∠A$的度数，先利用$DE//BC$的性质得到$∠ADE=∠B$，再结合$∠AED$的度数，根据三角形内角和为$180°$计算出$∠A$的度数。
【解析】
(1) 证明:如图,延长EF交BC于点H。
因为$∠1+∠2=180^{\circ },$
又因为$∠1=∠4$（对顶角相等），
所以$∠2+∠4=180^{\circ },$
所以$AB// EF$（同旁内角互补，两直线平行），
所以$∠3=∠ADE$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$∠3=∠B,$
所以$∠B=∠ADE,$
所以$DE// BC$（同位角相等，两直线平行）;
第12题图
(2) 解:因为$DE// BC,$
所以$∠ADE=∠B=45^{\circ }$（两直线平行，同位角相等），
因为$∠AED=55^{\circ },$
根据三角形内角和定理：$∠A+∠ADE+∠AED=180°$，
所以$∠A=180^{\circ }-45^{\circ }-55^{\circ }=80^{\circ }$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{∠A=80°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查平行线的判定与性质、三角形内角和定理的综合运用，解题关键是熟练掌握相关定理，通过角的关系推导直线平行，再利用平行关系转化角的关系，进而求解角度。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$DE//BC$，可通过平行线的判定定理逐步推导。先利用对顶角相等将$∠1$转化为$∠4$，结合已知$∠1+∠2=180°$推出$∠2+∠4=180°$，依据“同旁内角互补，两直线平行”得到$AB//EF$，进而得到内错角相等$∠3=∠ADE$，再结合$∠3=∠B$推出$∠B=∠ADE$，最后根据“同位角相等，两直线平行”证明$DE//BC$。
(2) 要求$∠A$的度数，先利用$DE//BC$的性质得到$∠ADE=∠B$，再结合$∠AED$的度数，根据三角形内角和为$180°$计算出$∠A$的度数。
【解析】
(1) 证明:如图,延长EF交BC于点H。
因为$∠1+∠2=180^{\circ },$
又因为$∠1=∠4$（对顶角相等），
所以$∠2+∠4=180^{\circ },$
所以$AB// EF$（同旁内角互补，两直线平行），
所以$∠3=∠ADE$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$∠3=∠B,$
所以$∠B=∠ADE,$
所以$DE// BC$（同位角相等，两直线平行）;
第12题图
(2) 解:因为$DE// BC,$
所以$∠ADE=∠B=45^{\circ }$（两直线平行，同位角相等），
因为$∠AED=55^{\circ },$
根据三角形内角和定理：$∠A+∠ADE+∠AED=180°$，
所以$∠A=180^{\circ }-45^{\circ }-55^{\circ }=80^{\circ }$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{∠A=80°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查平行线的判定与性质、三角形内角和定理的综合运用，解题关键是熟练掌握相关定理，通过角的关系推导直线平行，再利用平行关系转化角的关系，进而求解角度。
【难度系数】
0.6
13. (14分)已知$∠ EAC=90°$,$∠ 1+∠ 2=90°$,$∠ 1=∠ 3$,$∠ 2=∠ 4$。
(1)如图①,求证:$DE// BC$。
(2)在图②、图③中,(1)的结论是否仍成立?若成立,请选出一个图形予以证明;若不成立,请说明理由。
(1)如图①,求证:$DE// BC$。
(2)在图②、图③中,(1)的结论是否仍成立?若成立,请选出一个图形予以证明;若不成立,请说明理由。
答案
13.(1)证明:如图①,因为$∠1=∠3,∠2=∠4,$
所以$∠1+∠3+∠2+∠4=2(∠1+∠2),$
因为$∠1+∠2=90^{\circ },$
所以$∠1+∠3+∠2+∠4=2(∠1$
$+∠2)=180^{\circ };$
因为$∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+$
$∠4=360^{\circ },$
所以$∠D+∠B=180^{\circ },$
所以$DE// BC$。
图②
(2)解:(1)中的结论仍成立,理由如
下:
如图③,过点A作$AM// DE;$
所以$∠4=∠5$。
因为$∠EAC=90^{\circ },$
所以$∠5+∠6=90^{\circ },$
所以$∠4+∠6=90^{\circ },$
因为$∠1+∠2=90^{\circ },∠2=∠4,$
所以$∠1=∠6,$
因为$∠1=∠3,$
所以$∠3=∠6,$
所以$AM// BC$,所以$DE// BC$。
即(1)中的结论仍成立。
图③
解析
【分析】
(1) 要证明$DE// BC$，可借助“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理。已知$∠1+∠2=90°$，且$∠1=∠3$，$∠2=∠4$，先通过角的等量代换计算出$∠1+∠3+∠2+∠4$的度数，再结合四边形内角和为$360°$，推导出$∠D+∠B=180°$，从而完成平行的证明。
(2) 图②、图③中(1)的结论仍成立。以图③为例，可通过作辅助线$AM// DE$，利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合已知条件进行角的等量代换，证明$AM// BC$，最后根据平行公理的推论得出$DE// BC$。
【解析】
(1) 证明:如图①,
因为$∠1=∠3,∠2=∠4$,
所以$∠1+∠3+∠2+∠4=2(∠1+∠2)$,
因为$∠1+∠2=90^{\circ }$,
所以$∠1+∠3+∠2+∠4=2(∠1+∠2)=180^{\circ };$
因为$∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360^{\circ },$
所以$∠D+∠B=360^{\circ }-(∠1+∠3+∠2+∠4)=180^{\circ },$
所以$DE// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解:(1)中的结论仍成立，理由如下:
如图③,过点A作$AM// DE;$
所以$∠4=∠5$（两直线平行，内错角相等）。
因为$∠EAC=90^{\circ },$
所以$∠5+∠6=90^{\circ },$
所以$∠4+∠6=90^{\circ },$
因为$∠1+∠2=90^{\circ },∠2=∠4,$
所以$∠1=∠6$（等角的余角相等）,
因为$∠1=∠3,$
所以$∠3=∠6,$
所以$AM// BC$（内错角相等，两直线平行）,
所以$DE// BC$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
即(1)中的结论仍成立。
【答案】
(1) $DE// BC$得证，证明过程见上述解析；
(2) (1)的结论仍成立，证明过程见上述解析。
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 角的等量代换
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，第一问通过角的和差关系结合四边形内角和完成证明，第二问需要构造辅助线转化角的关系，对逻辑推理能力和辅助线运用能力有一定要求，能有效锻炼几何证明的思维能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$DE// BC$，可借助“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理。已知$∠1+∠2=90°$，且$∠1=∠3$，$∠2=∠4$，先通过角的等量代换计算出$∠1+∠3+∠2+∠4$的度数，再结合四边形内角和为$360°$，推导出$∠D+∠B=180°$，从而完成平行的证明。
(2) 图②、图③中(1)的结论仍成立。以图③为例，可通过作辅助线$AM// DE$，利用平行线的性质得到角的等量关系，再结合已知条件进行角的等量代换，证明$AM// BC$，最后根据平行公理的推论得出$DE// BC$。
【解析】
(1) 证明:如图①,
因为$∠1=∠3,∠2=∠4$,
所以$∠1+∠3+∠2+∠4=2(∠1+∠2)$,
因为$∠1+∠2=90^{\circ }$,
所以$∠1+∠3+∠2+∠4=2(∠1+∠2)=180^{\circ };$
因为$∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360^{\circ },$
所以$∠D+∠B=360^{\circ }-(∠1+∠3+∠2+∠4)=180^{\circ },$
所以$DE// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解:(1)中的结论仍成立，理由如下:
如图③,过点A作$AM// DE;$
所以$∠4=∠5$（两直线平行，内错角相等）。
因为$∠EAC=90^{\circ },$
所以$∠5+∠6=90^{\circ },$
所以$∠4+∠6=90^{\circ },$
因为$∠1+∠2=90^{\circ },∠2=∠4,$
所以$∠1=∠6$（等角的余角相等）,
因为$∠1=∠3,$
所以$∠3=∠6,$
所以$AM// BC$（内错角相等，两直线平行）,
所以$DE// BC$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
即(1)中的结论仍成立。
【答案】
(1) $DE// BC$得证，证明过程见上述解析；
(2) (1)的结论仍成立，证明过程见上述解析。
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 角的等量代换
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，第一问通过角的和差关系结合四边形内角和完成证明，第二问需要构造辅助线转化角的关系，对逻辑推理能力和辅助线运用能力有一定要求，能有效锻炼几何证明的思维能力。
【难度系数】
0.6
