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1. 计算：$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 · x^2(y^3)^2 = 4x^2y^6$。其中第一步运算的依据是()
A.幂的乘方法则
B.乘法对加法的分配律
C.积的乘方法则
D.同底数幂的乘法法则
A.幂的乘方法则
B.乘法对加法的分配律
C.积的乘方法则
D.同底数幂的乘法法则
答案
C
解析
【分析】首先明确题目中第一步运算的变形：$(-2xy^3)^2$转化为$(-2)^2 · x^2(y^3)^2$，这一步是将积的每个因式分别进行乘方运算，需要结合各幂运算法则的定义，判断该变形对应的法则，再匹配选项得出答案。
【解析】根据积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(abc)^n=a^n b^n c^n$（$n$为正整数）。本题中$(-2xy^3)$是因式为$-2$、$x$、$y^3$的积，因此第一步运算$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 · x^2(y^3)^2$的依据是积的乘方法则，对应选项C。
【答案】C
【知识点】积的乘方法则、幂的乘方法则
【点评】本题考查幂运算的基础法则，需准确区分积的乘方、幂的乘方等法则的差异，属于概念类基础题，难度不大。
【难度系数】0.8
【解析】根据积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(abc)^n=a^n b^n c^n$（$n$为正整数）。本题中$(-2xy^3)$是因式为$-2$、$x$、$y^3$的积，因此第一步运算$(-2xy^3)^2 = (-2)^2 · x^2(y^3)^2$的依据是积的乘方法则，对应选项C。
【答案】C
【知识点】积的乘方法则、幂的乘方法则
【点评】本题考查幂运算的基础法则，需准确区分积的乘方、幂的乘方等法则的差异，属于概念类基础题，难度不大。
【难度系数】0.8
2.若$(3x^{3}+M)(2x^{2}-1)$是一个五次多项式,则下列说法正确的是()
A.$M$是一个三次单项式
B.$M$是一个三次多项式
C.$M$的次数不高于3
D.$M$不可能是一个常数
A.$M$是一个三次单项式
B.$M$是一个三次多项式
C.$M$的次数不高于3
D.$M$不可能是一个常数
答案
C
解析
【分析】
要判断选项的正确性，需先明确多项式相乘时积的次数规律：多项式相乘，积的次数等于各因式最高次项次数之和。本题中，$(3x^3 + M)(2x^2 -1)$是五次多项式，需保证积的最高次为5次，不能出现高于5次的项。首先计算两个因式最高次项的乘积：$3x^3 · 2x^2 =6x^5$，这是五次项，已满足积为五次的要求。接下来，若$M$的次数加上第二个因式的最高次项次数（2）超过5次，就会产生高于五次的项，导致积的次数大于5，不符合题意，因此$M$的次数需满足：$M$的次数 +2 ≤5，即$M$的次数≤3，据此分析各选项。
【解析】
先展开多项式$(3x^3 + M)(2x^2 -1)$：
$\begin{aligned}&(3x^3 + M)(2x^2 -1)\\=&3x^3 · 2x^2 + 3x^3 · (-1) + M · 2x^2 + M · (-1)\\=&6x^5 -3x^3 + 2M x^2 - M\end{aligned}$
该式为五次多项式，说明最高次项次数为5，已有的$6x^5$是五次项，需保证无高于五次的项。若$M$的次数为$k$，则$2M x^2$的次数为$k+2$，要使$k+2 ≤5$，即$k ≤3$，也就是$M$的次数不高于3。
选项A：若$M$是三次单项式，当$M=x^3$时，$2M x^2=2x^5$，五次项系数为$6+2=8≠0$，积仍为五次多项式，但$M$不一定是三次单项式（如$M=1$时也满足），故A错误；
选项B：若$M$是三次多项式，当$M=x^3 +x$时，$2M x^2=2x^5 +2x^3$，五次项系数为$6+2=8≠0$，积仍为五次多项式，但$M$不一定是三次多项式（如$M=1$时也满足），故B错误；
选项C：由上述分析，$M$的次数需≤3，即次数不高于3，故C正确；
选项D：若$M$是常数（次数0≤3），代入原式得$(3x^3 + C)(2x^2 -1)=6x^5 -3x^3 +2C x^2 -C$，是五次多项式，故$M$可以是常数，D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的乘法；多项式的次数
【点评】
本题考查多项式相乘的次数确定，核心是理解积的最高次项由各因式最高次项乘积决定，需保证积的次数符合要求，从而限制另一个因式的次数，难度中等，需掌握多项式次数的基本概念。
【难度系数】
0.5
要判断选项的正确性，需先明确多项式相乘时积的次数规律：多项式相乘，积的次数等于各因式最高次项次数之和。本题中，$(3x^3 + M)(2x^2 -1)$是五次多项式，需保证积的最高次为5次，不能出现高于5次的项。首先计算两个因式最高次项的乘积：$3x^3 · 2x^2 =6x^5$，这是五次项，已满足积为五次的要求。接下来，若$M$的次数加上第二个因式的最高次项次数（2）超过5次，就会产生高于五次的项，导致积的次数大于5，不符合题意，因此$M$的次数需满足：$M$的次数 +2 ≤5，即$M$的次数≤3，据此分析各选项。
【解析】
先展开多项式$(3x^3 + M)(2x^2 -1)$：
$\begin{aligned}&(3x^3 + M)(2x^2 -1)\\=&3x^3 · 2x^2 + 3x^3 · (-1) + M · 2x^2 + M · (-1)\\=&6x^5 -3x^3 + 2M x^2 - M\end{aligned}$
该式为五次多项式，说明最高次项次数为5，已有的$6x^5$是五次项，需保证无高于五次的项。若$M$的次数为$k$，则$2M x^2$的次数为$k+2$，要使$k+2 ≤5$，即$k ≤3$，也就是$M$的次数不高于3。
选项A：若$M$是三次单项式，当$M=x^3$时，$2M x^2=2x^5$，五次项系数为$6+2=8≠0$，积仍为五次多项式，但$M$不一定是三次单项式（如$M=1$时也满足），故A错误；
选项B：若$M$是三次多项式，当$M=x^3 +x$时，$2M x^2=2x^5 +2x^3$，五次项系数为$6+2=8≠0$，积仍为五次多项式，但$M$不一定是三次多项式（如$M=1$时也满足），故B错误；
选项C：由上述分析，$M$的次数需≤3，即次数不高于3，故C正确；
选项D：若$M$是常数（次数0≤3），代入原式得$(3x^3 + C)(2x^2 -1)=6x^5 -3x^3 +2C x^2 -C$，是五次多项式，故$M$可以是常数，D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的乘法；多项式的次数
【点评】
本题考查多项式相乘的次数确定，核心是理解积的最高次项由各因式最高次项乘积决定，需保证积的次数符合要求，从而限制另一个因式的次数，难度中等，需掌握多项式次数的基本概念。
【难度系数】
0.5
3.若$x+1=2^{m}$，$y=3+4^{m}$，则用含$x$的代数式表示$y$为（）
A.$\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2}$
B.$x+4$
C.$x^{2}-2x+4$
D.$x^{2}+2x+4$
A.$\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2}$
B.$x+4$
C.$x^{2}-2x+4$
D.$x^{2}+2x+4$
答案
D
解析
【分析】要想用含x的代数式表示y，需先建立y中4^m与x的关系。已知x+1=2^m，而4^m是(2^m)²，所以先从x的表达式中求出2^m，再代入y的式子，通过化简得到结果。
【解析】
1. 由已知x+1=2^m，可得：2^m = x + 1；
2. 根据幂的乘方性质，4^m=(2^m)²，将2^m=x+1代入得：4^m=(x+1)²；
3. 把4^m=(x+1)²代入y=3+4^m，得：y=3 + (x+1)²；
4. 展开完全平方：(x+1)²=x²+2x+1，因此y=3 + x²+2x+1 = x²+2x+4，对应选项D。
【答案】D
【知识点】幂的乘方、代数式表示、完全平方公式
【点评】本题考查代数式的转化，核心是利用幂的乘方将4^m转化为与2^m相关的形式，再结合已知条件替换化简，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 由已知x+1=2^m，可得：2^m = x + 1；
2. 根据幂的乘方性质，4^m=(2^m)²，将2^m=x+1代入得：4^m=(x+1)²；
3. 把4^m=(x+1)²代入y=3+4^m，得：y=3 + (x+1)²；
4. 展开完全平方：(x+1)²=x²+2x+1，因此y=3 + x²+2x+1 = x²+2x+4，对应选项D。
【答案】D
【知识点】幂的乘方、代数式表示、完全平方公式
【点评】本题考查代数式的转化，核心是利用幂的乘方将4^m转化为与2^m相关的形式，再结合已知条件替换化简，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7
4.若 $ 10^a = 20, 100^b = 50 $，则 $ \frac{1}{2}a + b + \frac{3}{2} $ 的值是 ______。
答案
3
解析
【分析】
本题考查指数运算与代数式求值，解题思路是先将100^b转化为以10为底的指数形式，利用同底数幂的乘法法则求出a与2b的关系，再对所求代数式变形后整体代入计算。具体步骤为：先将100^b改写为10^(2b)，结合10^a=20计算同底数幂的乘积，推出a+2b=3，再将所求代数式变形后代入求值。
【解析】
解：
1. 变形100^b：因为100=10²，所以100^b=(10²)^b=10^(2b)；
2. 计算同底数幂乘积：10^a · 10^(2b) = 10^(a+2b)，代入已知值得：10^(a+2b)=20×50=1000=10³；
3. 由指数相等得：a + 2b = 3；
4. 变形所求代数式：(1/2)a + b = (a + 2b)/2；
5. 代入计算：(1/2)a + b + 3/2 = (3)/2 + 3/2 = 3。
【答案】
3
【知识点】
同底数幂乘法、幂的乘方、代数式求值
【点评】
本题通过指数运算法则建立a与b的关系，利用整体代入简化计算，重点考查幂的基本运算性质，难度适中，需熟练掌握指数运算的核心规则。
【难度系数】
0.5
本题考查指数运算与代数式求值，解题思路是先将100^b转化为以10为底的指数形式，利用同底数幂的乘法法则求出a与2b的关系，再对所求代数式变形后整体代入计算。具体步骤为：先将100^b改写为10^(2b)，结合10^a=20计算同底数幂的乘积，推出a+2b=3，再将所求代数式变形后代入求值。
【解析】
解：
1. 变形100^b：因为100=10²，所以100^b=(10²)^b=10^(2b)；
2. 计算同底数幂乘积：10^a · 10^(2b) = 10^(a+2b)，代入已知值得：10^(a+2b)=20×50=1000=10³；
3. 由指数相等得：a + 2b = 3；
4. 变形所求代数式：(1/2)a + b = (a + 2b)/2；
5. 代入计算：(1/2)a + b + 3/2 = (3)/2 + 3/2 = 3。
【答案】
3
【知识点】
同底数幂乘法、幂的乘方、代数式求值
【点评】
本题通过指数运算法则建立a与b的关系，利用整体代入简化计算，重点考查幂的基本运算性质，难度适中，需熟练掌握指数运算的核心规则。
【难度系数】
0.5
5. 老师有$(n+5)^2-(n-1)^2$个礼物，其中$n≥1$，且$n$为整数。若将这些礼物平均分给班里的学生，恰好能分完，则班里的学生人数可能是________（填序号）。
①$4$；②$12$；③$n+2$；④$6n+8$。
①$4$；②$12$；③$n+2$；④$6n+8$。
答案
①②③
解析
【分析】
首先对给定的代数式利用平方差公式进行因式分解化简，得到礼物总数的最简形式，再根据化简结果分析各选项是否为该代数式的因数，结合$n≥1$的整数条件，判断哪些选项满足“礼物能平均分给学生（即代数式能被选项整除）”的要求。
【解析】
解：利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$化简代数式：
$\begin{aligned}(n+5)^2-(n-1)^2&=[(n+5)-(n-1)][(n+5)+(n-1)]\\&=(n+5-n+1)(n+5+n-1)\\&=6×(2n+4)\\&=12(n+2)\end{aligned}$
化简后礼物总数为$12(n+2)$，需满足能被学生人数整除：
①$4$：$12(n+2)÷4=3(n+2)$，$n≥1$时结果为整数，符合；
②$12$：$12(n+2)÷12=n+2$，整数，符合；
③$n+2$：$12(n+2)÷(n+2)=12$，整数，符合；
④$6n+8$：取$n=1$时，礼物总数为$36$，$6×1+8=14$，$36÷14$不是整数，不符合。
综上，符合条件的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
因式分解（平方差公式）、整式化简、代数式整除性
【点评】
本题核心是通过平方差公式化简代数式，再结合整数性质判断整除性，需掌握基本整式运算方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先对给定的代数式利用平方差公式进行因式分解化简，得到礼物总数的最简形式，再根据化简结果分析各选项是否为该代数式的因数，结合$n≥1$的整数条件，判断哪些选项满足“礼物能平均分给学生（即代数式能被选项整除）”的要求。
【解析】
解：利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$化简代数式：
$\begin{aligned}(n+5)^2-(n-1)^2&=[(n+5)-(n-1)][(n+5)+(n-1)]\\&=(n+5-n+1)(n+5+n-1)\\&=6×(2n+4)\\&=12(n+2)\end{aligned}$
化简后礼物总数为$12(n+2)$，需满足能被学生人数整除：
①$4$：$12(n+2)÷4=3(n+2)$，$n≥1$时结果为整数，符合；
②$12$：$12(n+2)÷12=n+2$，整数，符合；
③$n+2$：$12(n+2)÷(n+2)=12$，整数，符合；
④$6n+8$：取$n=1$时，礼物总数为$36$，$6×1+8=14$，$36÷14$不是整数，不符合。
综上，符合条件的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
因式分解（平方差公式）、整式化简、代数式整除性
【点评】
本题核心是通过平方差公式化简代数式，再结合整数性质判断整除性，需掌握基本整式运算方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
6.(1)已知$xy=6,x^2+y^2=16$,求$(x+y)^2$的值。
(2)已知$xy=-1,x+y=-2$,求$(x-y)^2$的值。
(2)已知$xy=-1,x+y=-2$,求$(x-y)^2$的值。
答案
(1) $\boldsymbol{28}$；(2) $\boldsymbol{8}$
解析
【分析】这道题需运用完全平方公式的变形求解。对于(1)，所求的$(x+y)^2$可根据完全平方公式展开为$x^2+2xy+y^2$，直接代入已知的$x^2+y^2$和$xy$的值计算；对于(2)，所求的$(x-y)^2$可变形为$(x+y)^2-4xy$，代入已知的$x+y$和$xy$的值即可算出结果。
【解析】
(1) 根据完全平方公式：$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
将$xy=6$，$x^2+y^2=16$代入上式，
得：$(x+y)^2 = 16 + 2×6 = 16 + 12 = 28$；
(2) 根据完全平方公式变形：$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$，
将$x+y=-2$，$xy=-1$代入上式，
得：$(x-y)^2 = (-2)^2 - 4×(-1) = 4 + 4 = 8$。
【答案】(1) $\boldsymbol{28}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】完全平方公式
【点评】本题考查完全平方公式的灵活应用，核心是掌握公式的结构特征，学会将所求代数式转化为已知条件的形式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 根据完全平方公式：$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，
将$xy=6$，$x^2+y^2=16$代入上式，
得：$(x+y)^2 = 16 + 2×6 = 16 + 12 = 28$；
(2) 根据完全平方公式变形：$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$，
将$x+y=-2$，$xy=-1$代入上式，
得：$(x-y)^2 = (-2)^2 - 4×(-1) = 4 + 4 = 8$。
【答案】(1) $\boldsymbol{28}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】完全平方公式
【点评】本题考查完全平方公式的灵活应用，核心是掌握公式的结构特征，学会将所求代数式转化为已知条件的形式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.6
7.现有长与宽分别为 $a,b$ 的小长方形若干个,用2个这样的小长方形拼成如图①所示的图形,用4个相同的小长方形拼成如图②所示的图形。请认真观察图形,解答下列问题。
(1)根据图中条件,请写出图①和图②所验证的关于 $a,b$ 的关系式。
图①: ______;图②: ______。(用含 $a,b$ 的代数式表示)
(2)若 $x+y=8,x^2+y^2=40$,则 $(x-y)^2=\_\_\_\_\_\_,xy=\_\_\_\_\_\_$。
(3)如图③,C是线段AB上的一点,分别以AC,BC为边,在线段AB的两侧作正方形。设 $AB=7,2$ 个正方形的面积和为 $S_1+S_2=16$,求图中阴影部分的面积。
(1)根据图中条件,请写出图①和图②所验证的关于 $a,b$ 的关系式。
图①: ______;图②: ______。(用含 $a,b$ 的代数式表示)
(2)若 $x+y=8,x^2+y^2=40$,则 $(x-y)^2=\_\_\_\_\_\_,xy=\_\_\_\_\_\_$。
(3)如图③,C是线段AB上的一点,分别以AC,BC为边,在线段AB的两侧作正方形。设 $AB=7,2$ 个正方形的面积和为 $S_1+S_2=16$,求图中阴影部分的面积。
答案
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$；$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$（或$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$）
(2) $\boldsymbol{16}$；$\boldsymbol{12}$
(3) 阴影部分的面积为$\boldsymbol{\frac{33}{2}}$（或16.5）
(2) $\boldsymbol{16}$；$\boldsymbol{12}$
(3) 阴影部分的面积为$\boldsymbol{\frac{33}{2}}$（或16.5）
解析
【分析】
本题围绕完全平方公式的几何意义及应用展开，分三个小问题逐步解决：
1. 图①通过大正方形面积的两种计算方式推导完全平方和公式；图②通过小正方形面积与大正方形、小长方形面积的关系推导完全平方差公式。
2. 第(2)题利用完全平方公式的变形，结合已知条件先求xy，再计算(x-y)²。
3. 第(3)题设AC=x、BC=y，结合AB长度和两个正方形面积和，利用完全平方公式求出xy，再根据图形关系得到阴影部分面积等于xy，进而求解。
【解析】
(1) 图①：边长为(a+b)的大正方形面积为$(a+b)^2$，该正方形由边长为a的正方形、边长为b的正方形和2个长a宽b的小长方形组成，总面积为$a^2 + b^2 + 2ab$，因此得关系式：$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$。
图②：边长为(a-b)的小正方形面积为$(a-b)^2$，边长为(a+b)的大正方形面积为$(a+b)^2$，减去4个小长方形的面积$4ab$，因此得关系式：$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$（或$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$）。
(2) 根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入$x+y=8$、$x^2+y^2=40$得：
$8^2=40 + 2xy$ → $64=40+2xy$ → $xy=12$；
再计算$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2xy=40 - 2×12=16$。
(3) 设$AC=x$，$BC=y$，由题意得$x+y=AB=7$，$S_1=x^2$，$S_2=y^2$，且$x^2+y^2=16$。
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入得：
$7^2=16 + 2xy$ → $49=16+2xy$ → $xy=\frac{33}{2}$。
观察图③，阴影部分面积等于$xy$，因此阴影面积为$\frac{33}{2}$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（或$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$）
(2) $16$；$12$
(3) $\frac{33}{2}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，几何面积计算
【点评】
本题通过几何图形直观验证完全平方公式，结合公式进行代数运算和几何面积求解，体现数形结合思想，考查学生对公式的理解与应用能力。
【难度系数】
0.5
本题围绕完全平方公式的几何意义及应用展开，分三个小问题逐步解决：
1. 图①通过大正方形面积的两种计算方式推导完全平方和公式；图②通过小正方形面积与大正方形、小长方形面积的关系推导完全平方差公式。
2. 第(2)题利用完全平方公式的变形，结合已知条件先求xy，再计算(x-y)²。
3. 第(3)题设AC=x、BC=y，结合AB长度和两个正方形面积和，利用完全平方公式求出xy，再根据图形关系得到阴影部分面积等于xy，进而求解。
【解析】
(1) 图①：边长为(a+b)的大正方形面积为$(a+b)^2$，该正方形由边长为a的正方形、边长为b的正方形和2个长a宽b的小长方形组成，总面积为$a^2 + b^2 + 2ab$，因此得关系式：$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$。
图②：边长为(a-b)的小正方形面积为$(a-b)^2$，边长为(a+b)的大正方形面积为$(a+b)^2$，减去4个小长方形的面积$4ab$，因此得关系式：$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$（或$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$）。
(2) 根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入$x+y=8$、$x^2+y^2=40$得：
$8^2=40 + 2xy$ → $64=40+2xy$ → $xy=12$；
再计算$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=(x^2+y^2)-2xy=40 - 2×12=16$。
(3) 设$AC=x$，$BC=y$，由题意得$x+y=AB=7$，$S_1=x^2$，$S_2=y^2$，且$x^2+y^2=16$。
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，代入得：
$7^2=16 + 2xy$ → $49=16+2xy$ → $xy=\frac{33}{2}$。
观察图③，阴影部分面积等于$xy$，因此阴影面积为$\frac{33}{2}$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$（或$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$）
(2) $16$；$12$
(3) $\frac{33}{2}$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，几何面积计算
【点评】
本题通过几何图形直观验证完全平方公式，结合公式进行代数运算和几何面积求解，体现数形结合思想，考查学生对公式的理解与应用能力。
【难度系数】
0.5
