1. 如图，已知$∠AON=56°$，$P$是射线$ON$上的一个动点，$∠AON$的平分线$OB$与$AP$相交于点$B$。当$△ BOP$为直角三角形时，$∠A=$______。

$34°$或$62°$

首先根据角平分线的性质计算出对应角的度数，再分两种直角顶点的情况讨论求解：
1. 已知OB平分∠AON，∠AON=56°，因此$∠ AOB = ∠ BOP = \frac{1}{2}∠ AON = 28°$。
2. 分两种情况讨论$△ BOP$为直角三角形的情形：
情况1：若直角顶点为点P，即$∠ BPO=90°$，在$Rt△ BOP$中，$∠ OBP=90°-∠ BOP=90°-28°=62°$。根据三角形外角性质，$∠ OBP$是$△ AOB$的外角，可得$∠ OBP=∠ A+∠ AOB$，因此$∠ A=62°-28°=34°$。
情况2：若直角顶点为点B，即$∠ OBP=90°$，在$Rt△ AOB$中，$∠ A + ∠ AOB=90°$，因此$∠ A=90°-28°=62°$。
由于$∠ BOP=28°$不可能为直角，不存在第三种情况。

2. 如图,在第 1 个$△ A_{1}BC$中,$∠ B=26°,A_{1}B=BC$,在边$A_{1}B$上任取一点$D$,延长$CA_{1}$到$A_{2}$,使$A_{1}A_{2}=A_{1}D$,连接$A_{2}D$,得到第 2 个$△ A_{1}A_{2}D$;再在边$A_{2}D$上任取一点$E$,延长$A_{1}A_{2}$到$A_{3}$,使$A_{2}A_{3}=A_{2}E$,连接$A_{3}E$,得到第 3 个$△ A_{2}A_{3}E$;以此类推,可得到第$n$个等腰三角形。在第$(n+1)$个等腰三角形中,以$A_{n+1}$为顶点的底角的大小为________。

$\dfrac{77°}{2^n}$

1. 计算第1个等腰△A₁BC的底角：
已知在△A₁BC中，A₁B=BC，∠B=26°，根据等腰三角形性质和三角形内角和为180°，可得：
$∠ BA_1C = \frac{180° - ∠ B}{2} = \frac{180° - 26°}{2} = 77°$
2. 推导第2个等腰△A₁A₂D的底角：
由A₁A₂=A₁D，可知△A₁A₂D为等腰三角形，∠BA₁C是该三角形的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两内角和，结合等腰三角形两底角相等，可得：
$∠ A_1A_2D = \frac{1}{2}∠ BA_1C = \frac{77°}{2}$
3. 推导第3个等腰△A₂A₃E的底角：
同理，由A₂A₃=A₂E，可得：
$∠ A_2A_3E = \frac{1}{2}∠ A_1A_2D = \frac{77°}{2^2}$
4. 归纳通用规律：
依次类推，第k个等腰三角形中，以$A_k$为顶点的底角为$\frac{77°}{2^{k-1}}$。
将$k=n+1$代入，可得第$n+1$个等腰三角形中，以$A_{n+1}$为顶点的底角为$\frac{77°}{2^n}$。

3.(1)如图1,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,直线$l$经过点$A$,分别从点$B,C$向直线$l$作垂线,垂足分别为$D,E$。求证:$△ ABD≌△ CAE$。
(2)如图2,在$△ ABC$中,$AB=AC$,直线$l$经过点$A$,点$D,E$分别在直线$l$上。若$∠ CEA=∠ ADB=∠ BAC$,猜想$DE,BD,CE$之间的数量关系,并说明理由。
(3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案,大致图形如图3所示。以$△ ABC$的边$AB,AC$为一边分别向外作$△ BAD$和$△ CAE$,其中$∠ BAD=∠ CAE=90°$,$AB=AD$,$AC=AE$,$AG$是边$BC$上的高。延长$GA$,交$DE$于点$H$。设$△ ADH$的面积为$S_1$,$△ AEH$的面积为$S_2$,请直接猜想$S_1,S_2$的大小关系。

(1) 已证$△ ABD≌△ CAE$；
(2) 数量关系为$\boldsymbol{DE=BD+CE}$；
(3) $\boldsymbol{S_1=S_2}$。

(1) 证明：
∵ $BD⊥$直线$l$，$CE⊥$直线$l$，
∴ $∠ BDA=∠ AEC=90°$，
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ CAE = 180° - ∠ BAC = 90°$，
又∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ BAD + ∠ ABD = 90°$，
∴ $∠ ABD = ∠ CAE$，
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BDA=∠ AEC \\∠ ABD=∠ CAE \\AB=AC\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ CAE$（AAS）。
(2) 猜想：$DE = BD + CE$，理由如下：
设$∠ CEA = ∠ ADB = ∠ BAC = α$，
由三角形内角和得：$∠ CAE + ∠ ACE = 180° - α$，
又∵ $∠ CAE + ∠ BAD = 180° - ∠ BAC = 180° - α$，
∴ $∠ ACE = ∠ BAD$，
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADB=∠ CEA \\∠ BAD=∠ ACE \\AB=AC\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ CAE$（AAS），
∴ $AD = CE$，$BD = AE$，
∵ $DE = AE + AD$，
∴ $DE = BD + CE$。
(3) 过点$D$作$DM⊥ GH$于点$M$，过点$E$作$EN⊥ GA$的延长线于点$N$：
∵ $∠ BAD=90°$，∴ $∠ DAM + ∠ BAG = 90°$，
又∵ $AG⊥ BC$，∴ $∠ ABG + ∠ BAG = 90°$，
∴ $∠ DAM = ∠ ABG$，
在$△ DAM$和$△ ABG$中可证$△ DAM ≌ △ ABG$（AAS），得$DM = AG$，
同理可证$△ EAN ≌ △ ACG$（AAS），得$EN = AG$，
∴ $DM = EN$，
进一步可证$△ DMH ≌ △ ENH$（AAS），得$DH = EH$，
$△ ADH$和$△ AEH$等底同高，因此面积相等。