登录
1. 使二次根式$\sqrt{2x-1}$有意义的条件是（）
A.$x≥ \dfrac{1}{2}$
B.$x≤ \dfrac{1}{2}$
C.$x≥ 2$
D.$x≤ 2$
A.$x≥ \dfrac{1}{2}$
B.$x≤ \dfrac{1}{2}$
C.$x≥ 2$
D.$x≤ 2$
答案
A
解析
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此列出不等式2x-1≥0，解不等式得2x≥1，即x≥1/2。
2.若$ m＞n $，则下列不等式一定成立的是()
A.$ m^2＞n^2 $
B.$ m - 1 ＜ n + 1 $
C.$ \frac{m}{2}＜\frac{n}{2} $
D.$ -\frac{m}{2}＜-\frac{n}{2} $
A.$ m^2＞n^2 $
B.$ m - 1 ＜ n + 1 $
C.$ \frac{m}{2}＜\frac{n}{2} $
D.$ -\frac{m}{2}＜-\frac{n}{2} $
答案
D
解析
根据不等式的基本性质逐一判断：
1. 选项A：举反例，取m=1，n=-2，满足m＞n，但$m^2=1＜n^2=4$，不等式不成立；
2. 选项B：举反例，取m=3，n=0，满足m＞n，但$m-1=2＞n+1=1$，不等式不成立；
3. 选项C：由不等式性质2，m＞n两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$\frac{m}{2}＞\frac{n}{2}$，不等式不成立；
4. 选项D：由不等式性质3，m＞n两边同时除以负数-2，不等号方向改变，得$-\frac{m}{2}＜-\frac{n}{2}$，不等式一定成立。
1. 选项A：举反例，取m=1，n=-2，满足m＞n，但$m^2=1＜n^2=4$，不等式不成立；
2. 选项B：举反例，取m=3，n=0，满足m＞n，但$m-1=2＞n+1=1$，不等式不成立；
3. 选项C：由不等式性质2，m＞n两边同时除以正数2，不等号方向不变，得$\frac{m}{2}＞\frac{n}{2}$，不等式不成立；
4. 选项D：由不等式性质3，m＞n两边同时除以负数-2，不等号方向改变，得$-\frac{m}{2}＜-\frac{n}{2}$，不等式一定成立。
3. 如图1,一个容量为$600\ \mathrm{cm}^3$的杯子中装有$300\ \mathrm{cm}^3$的水。将四个相同的小球放入这个杯子中,水没有溢出,如图2所示。设每个小球的体积为$x\ \mathrm{cm}^3$,根据题意可列不等式为()
A.$300+4x≤600$
B.$300-4x≤600$
C.$300+4x≥600$
D.$300-4x≥600$
A.$300+4x≤600$
B.$300-4x≤600$
C.$300+4x≥600$
D.$300-4x≥600$
答案
A
解析
已知杯子原有水的体积为300$\mathrm{cm}^3$，4个相同小球的总体积为$4x\ \mathrm{cm}^3$，放入小球后水没有溢出，说明水和小球的总体积不超过杯子的总容量$600\ \mathrm{cm}^3$，据此可列不等式$300+4x≤600$。
4.某校举办文明知识竞赛，共有10道题，每一道题答对得10分，答错或不答都扣2分。设答对了x道题，若得分不低于72分，则可列出关于x的不等式是________。
答案
10x - 2(10 - x) ≥ 72
解析
首先根据题意，已知答对题数为x道，总题数共10道，因此答错或不答的题数为(10-x)道。答对的总得分是10x分，答错或不答的总扣分为2(10-x)分，因此竞赛的最终得分为10x - 2(10 - x)。题目要求得分不低于72分，即最终得分大于等于72，据此可列出对应不等式。
5.已知一次函数$y=kx+k+4$（$k$为常数，$k≠0$）。当$x＜1$时，$y＞0$，则$k$的取值范围是______________。
答案
$-2≤ k＜0$
解析
1. 分析一次函数的增减性：
已知一次函数$y=kx+k+4$，$k≠0$：
若$k＞0$，$y$随$x$的增大而增大，当$x$取足够小的负数时，对应的函数值$y＜0$，不满足“当$x＜1$时，$y＞0$”的条件，因此$k＞0$不符合要求。
若$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小，要保证所有$x＜1$时$y＞0$，只需$x=1$时对应的函数值$y≥0$即可，此时所有小于1的自变量对应的函数值都大于$x=1$处的函数值，自然满足$y＞0$。
2. 代入$x=1$列不等式求解：
把$x=1$代入函数解析式得：$y=k·1 +k +4 = 2k+4$，令$2k+4≥0$，解得$k≥-2$。
3. 结合$k＜0$的前提，可得$k$的取值范围。
已知一次函数$y=kx+k+4$，$k≠0$：
若$k＞0$，$y$随$x$的增大而增大，当$x$取足够小的负数时，对应的函数值$y＜0$，不满足“当$x＜1$时，$y＞0$”的条件，因此$k＞0$不符合要求。
若$k＜0$，$y$随$x$的增大而减小，要保证所有$x＜1$时$y＞0$，只需$x=1$时对应的函数值$y≥0$即可，此时所有小于1的自变量对应的函数值都大于$x=1$处的函数值，自然满足$y＞0$。
2. 代入$x=1$列不等式求解：
把$x=1$代入函数解析式得：$y=k·1 +k +4 = 2k+4$，令$2k+4≥0$，解得$k≥-2$。
3. 结合$k＜0$的前提，可得$k$的取值范围。
6. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象如图所示，则关于 $ x $ 的不等式 $ kx + b ＜ -1 $ 的解集为 ______。
答案
$x＜2$
解析
首先根据图像确定一次函数经过的两个点：由图可知，一次函数$y=kx+b$的图象过点$(4,0)$和$(0,-2)$。
1. 求函数解析式：
将$(0,-2)$代入$y=kx+b$，得$b=-2$；
再将$(4,0)$和$b=-2$代入$y=kx+b$，得$4k - 2 = 0$，解得$k=\frac{1}{2}$，因此该一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x - 2$。
2. 解不等式$kx+b ＜ -1$：
将解析式代入不等式得$\frac{1}{2}x - 2 ＜ -1$，移项得$\frac{1}{2}x ＜ 1$，两边同乘2，解得$x＜2$。
也可结合一次函数的增减性验证：因为$k=\frac{1}{2}＞0$，$y$随$x$的增大而增大，当$y=-1$时对应$x=2$，因此$y＜-1$时$x＜2$。
1. 求函数解析式：
将$(0,-2)$代入$y=kx+b$，得$b=-2$；
再将$(4,0)$和$b=-2$代入$y=kx+b$，得$4k - 2 = 0$，解得$k=\frac{1}{2}$，因此该一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x - 2$。
2. 解不等式$kx+b ＜ -1$：
将解析式代入不等式得$\frac{1}{2}x - 2 ＜ -1$，移项得$\frac{1}{2}x ＜ 1$，两边同乘2，解得$x＜2$。
也可结合一次函数的增减性验证：因为$k=\frac{1}{2}＞0$，$y$随$x$的增大而增大，当$y=-1$时对应$x=2$，因此$y＜-1$时$x＜2$。
7.某工厂计划生产A,B两种产品共50件,已知生产一件A产品的成本为100元,利润为40元;生产一件B产品的成本为80元,利润为30元。设生产A产品x件,生产两种产品的总利润为y元。
(1)求y与x之间的函数关系式。
(2)若工厂投入的总成本不超过4 600元,则最大总利润是多少元?
(1)求y与x之间的函数关系式。
(2)若工厂投入的总成本不超过4 600元,则最大总利润是多少元?
答案
(1) y=10x+1500（0≤x≤50且x为整数）；(2) 最大总利润是1800元。
解析
(1) 已知生产A产品x件，则生产B产品的数量为(50-x)件。
总利润为A产品总利润与B产品总利润之和，代入单件利润可得：
y = 40x + 30(50 - x)
化简后得到函数关系式：y = 10x + 1500，其中x的取值范围为0≤x≤50，且x为整数。
(2) 根据总成本不超过4600元的条件列不等式：
100x + 80(50 - x) ≤ 4600
展开计算：100x + 4000 - 80x ≤ 4600
整理得20x ≤ 600，解得x ≤ 30。
由于一次函数y=10x+1500的一次项系数10＞0，y随x的增大而增大，因此当x取最大值30时，总利润y取得最大值。
将x=30代入函数关系式，得最大总利润为10×30 + 1500 = 1800元。
总利润为A产品总利润与B产品总利润之和，代入单件利润可得：
y = 40x + 30(50 - x)
化简后得到函数关系式：y = 10x + 1500，其中x的取值范围为0≤x≤50，且x为整数。
(2) 根据总成本不超过4600元的条件列不等式：
100x + 80(50 - x) ≤ 4600
展开计算：100x + 4000 - 80x ≤ 4600
整理得20x ≤ 600，解得x ≤ 30。
由于一次函数y=10x+1500的一次项系数10＞0，y随x的增大而增大，因此当x取最大值30时，总利润y取得最大值。
将x=30代入函数关系式，得最大总利润为10×30 + 1500 = 1800元。
