18. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=4$，$D$为$BC$中点，四边形$ACDE$是平行四边形.
(1)求证：四边形$ADBE$是矩形；
(2)过点$E$作$EH ⊥ AB$于点$H$，若$∠ HEB=3∠ HEA$，求$AH$的长.

18. (1)略
(2)设 $∠ HEA = α$，则 $∠ HEB = 3∠ HEA=3α$，
$\therefore ∠ BEA=∠ HEA+∠ HEB=4α$.
$\because$ 四边形$ADBE$是矩形，$AB=4$，
$\therefore ∠ BEA=4α=90°$，
$EO=AO=\dfrac{1}{2}ED=\dfrac{1}{2}AB=2$.
$\therefore α=22.5°$.
$\therefore ∠ OEB=∠ OBE=α=22.5°$.
$\therefore ∠ EOH=∠ OEB+∠ OBE=45°$.
$\because EH⊥ AB$，$\therefore ∠ OEH=45°$.
$\therefore EH=OH$.
$\because EH^2+OH^2=OE^2=2OH^2$，
$\therefore EH=OH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}OE=\sqrt{2}$.
$\therefore AH=AO-OH=2-\sqrt{2}$.

19. 如图，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=12 cm. 点P在边AD上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形.

19. $\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$AD=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=AD=12\ \mathrm{cm}$，$∠ A=∠ B=90°$.
$\therefore$ 当$AP=BQ$时，四边形$ABQP$是矩形. 设运动的时间为$t$秒，
点$P$在边$AD$上的运动时间为：$12÷1=12$(秒)，
点$Q$从点$C$到点$B$的运动时间为：$12÷4=3$(秒)，
$\therefore$ 有以下四种情况：
①当$0＜t＜3$时，此时点$Q$从点$C$向点$B$运动，$AP=t(\mathrm{cm})$，$BQ=(12-4t)\ \mathrm{cm}$，
又$\because$ 当$AP=BQ$时，四边形$ABQP$是矩形，$\therefore t=12-4t$，解得$t=\dfrac{12}{5}$；
②当$3≤ t＜6$时，此时点$Q$从点$B$向点$C$运动，$AP = t( \mathrm{cm})$，$BQ=(4t-12)\ \mathrm{cm}$，
又$\because$ 当$AP=BQ$时，四边形$ABQP$是矩形，$\therefore t=4t-12$，解得$t=4$；
③当$6≤ t＜9$时，此时点$Q$从点$C$向点$B$运动，$AP = t( \mathrm{cm})$，$BQ=(36-4t)\ \mathrm{cm}$，
又$\because$ 当$AP=BQ$时，四边形$ABQP$是矩形，$\therefore t=36-4t$，解得$t=\dfrac{36}{5}$；
④当$9≤ t≤12$时，此时点$Q$从点$B$向点$C$运动，$AP = t( \mathrm{cm})$，$BQ=(4t-36)\ \mathrm{cm}$，
又$\because$ 当$AP=BQ$时，四边形$ABQP$是矩形，$\therefore t=4t-36$，解得$t=12$.
综上所述，当经过的时间为$\dfrac{12}{5}$秒或4秒或$\dfrac{36}{5}$秒或12秒时，四边形$ABQP$是矩形.