2. 在数学综合与实践活动课上,老师对正方形纸片ABCD进行如下操作:如图1,将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折,使点A落在点F处,折痕为DE,请同学们在图1的基础上进行探究.
【操作发现】
(1)如图2,小林同学延长DF交射线AB于点G,连接CF,过点D作CF的垂线,交AB的延长线于点M,则线段DG与MG的数量关系是.
【深入探究】
(2)如图3,小明同学在图2的基础上延长CF,交DA的延长线于点H,图3中哪条线段与AH相等?(在横线上写出该线段),并给出证明.
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下,若正方形纸片ABCD的边长为6,当$BG=\frac{1}{3}AB$时,请直接写出线段AH的长:.

解：
(1) $DG=MG$
(2) $BM$
证明：由折叠的性质得$AD=DF$，
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AD=CD$，$AB// CD$，$∠ HAD=∠ DAM=90°$，$AD=AB$，
∴ $DF=CD$，
∵ $DM⊥ CF$，
∴ $DM$平分$∠ FDC$（等腰三角形三线合一），即$∠ FDM=∠ CDM$，
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ CDM=∠ M$，
∴ $∠ FDM=∠ M$，
∴ $DG=MG$，
∵ $∠ H + ∠ HCD=90°$，$∠ M + ∠ CDM=90°$，且$∠ HCD + ∠ CDM=90°$，
∴ $∠ H=∠ M$，
在$△ HDC$和$△ MAD$中：
$\begin{cases}∠ H=∠ M \\∠ HDC=∠ ADM \\DC=AD\end{cases}$
∴ $△ HDC ≌ △ MAD$（AAS），
∴ $HD=AM$，
又∵ $HD=AH+AD$，$AM=BM+AB$，$AD=AB$，
∴ $AH+AD=BM+AB$，
∴ $AH=BM$。
(3) $2\sqrt{13}-2$