登录
13. 先阅读下面的解答过程,然后作答:
有这样一类题目:将$\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}$化简,若你能找到两个数$m$和$n$,使$m^2+n^2=a$且$mn=\sqrt{b}$,则$a\pm 2\sqrt{b}$可变为$m^2+n^2\pm 2mn$,即变成$(m\pm n)^2$,开方,从而使$\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}$可以化简.
例如:$5\pm 2\sqrt{6}=3+2\pm 2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2\pm 2\sqrt{2}·\sqrt{3}=(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2$,
$\therefore\quad\sqrt{5\pm 2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}.$
有这样一类题目:将$\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}$化简,若你能找到两个数$m$和$n$,使$m^2+n^2=a$且$mn=\sqrt{b}$,则$a\pm 2\sqrt{b}$可变为$m^2+n^2\pm 2mn$,即变成$(m\pm n)^2$,开方,从而使$\sqrt{a\pm 2\sqrt{b}}$可以化简.
例如:$5\pm 2\sqrt{6}=3+2\pm 2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2\pm 2\sqrt{2}·\sqrt{3}=(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2$,
$\therefore\quad\sqrt{5\pm 2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}\pm\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}\pm\sqrt{2}.$
答案
答案略
请仿照上例解下列问题：
(1)$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$；
(2)$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$.
(1)$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$；
(2)$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$.
答案
13. (1)原式=$\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}-1$.
(2)原式=$\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$.
(2)原式=$\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}$.
一、选择题
1. 下列计算正确的是 （
A.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5$
B.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
C.$5\sqrt{3} × 5\sqrt{2} = 5\sqrt{6}$
D.$\sqrt{4\dfrac{1}{2}} = 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
1. 下列计算正确的是 （
B
）A.$2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = 5$
B.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
C.$5\sqrt{3} × 5\sqrt{2} = 5\sqrt{6}$
D.$\sqrt{4\dfrac{1}{2}} = 2\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
1.B
2. 若使算式$3\sqrt{2}○\sqrt{8}$的运算结果最小,则○表示的运算符号是 (
A.+
B.-
C.×
D.÷
B
)A.+
B.-
C.×
D.÷
答案
2.B
3. 计算$\sqrt{5+2\sqrt{6}} · \sqrt{5-2\sqrt{6}}$的结果为
（
A.$\sqrt{17}$
B.$\sqrt{13}$
C.$13$
D.$1$
（
D
）A.$\sqrt{17}$
B.$\sqrt{13}$
C.$13$
D.$1$
答案
3.D
4. 如果$5+\sqrt{7},5-\sqrt{7}$的小数部分分别为$a,b$,那么$a+b$的值为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4.A
5. 已知一个直角三角形的周长是$4+\sqrt{26}$，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是（
A.5
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.1
B
）A.5
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.1
答案
5.B 提示:设两直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$.$\because\ \ $直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,$\therefore\ \ $斜边$c=2×2=4$.$\because\ \ $直角三角形的周长是$4+\sqrt{26}$,$\therefore\ \ a+b+c=4+\sqrt{26}$.
$\therefore\ \ \begin{cases}a+b+c=4+\sqrt{26},\\a^2+b^2=4^2.\end{cases}\ \ \therefore\ \ \begin{cases}a+b=\sqrt{26},\\a^2+b^2=16.\end{cases}$
$\therefore\ \ ab=\frac{1}{2}[(a+b)^2-(a^2+b^2)]=\frac{1}{2}×(26-16)=5$. 故$S_{三角形}=\frac{1}{2}ab=\frac{5}{2}$.
$\therefore\ \ \begin{cases}a+b+c=4+\sqrt{26},\\a^2+b^2=4^2.\end{cases}\ \ \therefore\ \ \begin{cases}a+b=\sqrt{26},\\a^2+b^2=16.\end{cases}$
$\therefore\ \ ab=\frac{1}{2}[(a+b)^2-(a^2+b^2)]=\frac{1}{2}×(26-16)=5$. 故$S_{三角形}=\frac{1}{2}ab=\frac{5}{2}$.
6. 计算：$2^{-1}+\sqrt{(-2)^{2}}=\_\_\_\_\_\_$.
答案
6.$\frac{5}{2}$
7. 如果两个最简二次根式$\sqrt{3a-1}$与$\sqrt{2a+3}$能合并，那么$a=$
4
.答案
7.4
