登录
1. 以下列各组数为边长的线段不能构成直角三角形的是 （
A.3,4,5
B.4,5,6
C.5,12,13
D.9,12,15
B
）A.3,4,5
B.4,5,6
C.5,12,13
D.9,12,15
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三条线段能否构成直角三角形的核心方法是：先找出三条边中最长的边，再计算另外两条较短边的平方和，将其与最长边的平方作比较，若二者相等则能构成直角三角形，反之则不能。我们只需要对四个选项逐一验证即可找到答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一分析各选项：
A选项：最长边为5，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
B选项：最长边为6，$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不能构成直角三角形，符合题意；
C选项：最长边为13，$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
D选项：最长边为15，$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$，可以构成直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的使用方法，计算时注意区分较大边和较小边，避免平方计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三条线段能否构成直角三角形的核心方法是：先找出三条边中最长的边，再计算另外两条较短边的平方和，将其与最长边的平方作比较，若二者相等则能构成直角三角形，反之则不能。我们只需要对四个选项逐一验证即可找到答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一分析各选项：
A选项：最长边为5，$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
B选项：最长边为6，$4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，不能构成直角三角形，符合题意；
C选项：最长边为13，$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，可以构成直角三角形，不符合题意；
D选项：最长边为15，$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$，可以构成直角三角形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形判定
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的使用方法，计算时注意区分较大边和较小边，避免平方计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 实数$a,b$在数轴上对应点的位置如图所示，化简$|a|+\sqrt{(a-b)^2}$的结果是 （
A.$-2a+b$
B.$2a-b$
C.$-b$
D.$b$
A
）A.$-2a+b$
B.$2a-b$
C.$-b$
D.$b$
答案
2.A
解析
【分析】
首先观察数轴确定实数的大小关系：数轴上左侧的数小于右侧的数，可得$a＜0＜b$，进而判断出$a$、$a-b$均为负数；再回忆相关性质：负数的绝对值是它的相反数，二次根式满足$\sqrt{x^2}=|x|$，接下来将原式转化为去绝对值的运算，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得$a＜0＜b$，
$\therefore a＜0$，$a-b＜0$，
根据绝对值和二次根式的性质：
$|a|=-a$，$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|=-(a-b)=b-a$，
代入原式计算：
$|a|+\sqrt{(a-b)^2}=-a+(b-a)=-a+b-a=-2a+b$。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础化简类题目，解题核心是先通过数轴判断绝对值内代数式的正负，再结合相关性质去绝对值符号，计算时注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定实数的大小关系：数轴上左侧的数小于右侧的数，可得$a＜0＜b$，进而判断出$a$、$a-b$均为负数；再回忆相关性质：负数的绝对值是它的相反数，二次根式满足$\sqrt{x^2}=|x|$，接下来将原式转化为去绝对值的运算，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得$a＜0＜b$，
$\therefore a＜0$，$a-b＜0$，
根据绝对值和二次根式的性质：
$|a|=-a$，$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|=-(a-b)=b-a$，
代入原式计算：
$|a|+\sqrt{(a-b)^2}=-a+(b-a)=-a+b-a=-2a+b$。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，绝对值的化简，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础化简类题目，解题核心是先通过数轴判断绝对值内代数式的正负，再结合相关性质去绝对值符号，计算时注意符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a+2)x^2 - 3x + 1 = 0$ 有实数根，则 $ a $ 的取值范围是 （
A.$ a ≤ \dfrac{1}{4} $ 且 $ a ≠ -2 $
B.$ a ≤ \dfrac{1}{4} $
C.$ a ＜ \dfrac{1}{4} $ 且 $ a ≠ -2 $
D.$ a ＜ \dfrac{1}{4} $
A
）A.$ a ≤ \dfrac{1}{4} $ 且 $ a ≠ -2 $
B.$ a ≤ \dfrac{1}{4} $
C.$ a ＜ \dfrac{1}{4} $ 且 $ a ≠ -2 $
D.$ a ＜ \dfrac{1}{4} $
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先抓题干两个关键信息：①该方程是一元二次方程；②方程有实数根。首先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到第一个限制条件；再根据一元二次方程有实根的判定规则，判别式Δ≥0，代入对应系数计算解不等式得到第二个限制条件，最后取两个条件的公共范围，即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵方程$(a+2)x^2 - 3x + 1 = 0$是关于x的一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a+2≠0$，解得$a≠-2$
∵方程有实数根
∴判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a'=a+2$（二次项系数），$b=-3$（一次项系数），$c=1$（常数项）
代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×(a+2)×1 = 9 - 4a - 8 = 1-4a≥0$
解不等式$1-4a≥0$，得$a≤\frac{1}{4}$
综上，a的取值范围是$a≤\frac{1}{4}$且$a≠-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程求参数范围的典型基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”这个隐含条件，解题时需同时兼顾方程定义和根的判别式两个限制要求，避免漏条件错选。
【难度系数】
0.7
解题时先抓题干两个关键信息：①该方程是一元二次方程；②方程有实数根。首先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到第一个限制条件；再根据一元二次方程有实根的判定规则，判别式Δ≥0，代入对应系数计算解不等式得到第二个限制条件，最后取两个条件的公共范围，即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵方程$(a+2)x^2 - 3x + 1 = 0$是关于x的一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a+2≠0$，解得$a≠-2$
∵方程有实数根
∴判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，其中$a'=a+2$（二次项系数），$b=-3$（一次项系数），$c=1$（常数项）
代入得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×(a+2)×1 = 9 - 4a - 8 = 1-4a≥0$
解不等式$1-4a≥0$，得$a≤\frac{1}{4}$
综上，a的取值范围是$a≤\frac{1}{4}$且$a≠-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程求参数范围的典型基础题，易错点是容易忽略“一元二次方程要求二次项系数不为0”这个隐含条件，解题时需同时兼顾方程定义和根的判别式两个限制要求，避免漏条件错选。
【难度系数】
0.7
4. 面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、85分.若依次按30%，30%，40%的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是
79
分.答案
4.79
解析
【分析】
这道题考查加权平均数的实际应用，解题时首先要明确每个考核项目的得分以及对应的权重比例，根据加权平均数的计算逻辑，将每项得分乘以它对应的权重占比，再把所有乘积相加，就能得到最终的面试成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，面试成绩为各项得分乘以对应权重的和：
$\begin{aligned}\mathrm{面试成绩}&=80×30\% + 70×30\% + 85×40\%\\&=80×0.3 + 70×0.3 + 85×0.4\\&=24 + 21 + 34\\&=79\end{aligned}$
【答案】
79
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题目，结合实际面试评分场景考察知识点，只要熟练掌握加权平均数的计算规则，理清各数据对应的权重，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
这道题考查加权平均数的实际应用，解题时首先要明确每个考核项目的得分以及对应的权重比例，根据加权平均数的计算逻辑，将每项得分乘以它对应的权重占比，再把所有乘积相加，就能得到最终的面试成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，面试成绩为各项得分乘以对应权重的和：
$\begin{aligned}\mathrm{面试成绩}&=80×30\% + 70×30\% + 85×40\%\\&=80×0.3 + 70×0.3 + 85×0.4\\&=24 + 21 + 34\\&=79\end{aligned}$
【答案】
79
【知识点】
加权平均数计算
【点评】
本题是加权平均数的基础应用题目，结合实际面试评分场景考察知识点，只要熟练掌握加权平均数的计算规则，理清各数据对应的权重，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=8$,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,$P$是$AB$的中点,连接$DP$,$E$是$DP$的中点,连接$OE$,则$OE$的长是
2
.答案
5.2
解析
【分析】
本题可结合平行四边形的性质与三角形中位线定理求解。首先回忆平行四边形的对角线性质，可得对角线交点O是BD的中点；再结合E是DP中点的条件，可判断OE是△DPB的中位线；最后利用P是AB中点求出PB的长度，代入中位线定理即可得到OE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分）。
∵E是DP的中点，
∴OE是△DPB的中位线，根据三角形中位线定理可得：$OE=\frac{1}{2}PB$。
∵P是AB的中点，$AB=8$，
∴$PB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴$OE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，准确识别出三角形的中位线，结合已知线段长度即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题可结合平行四边形的性质与三角形中位线定理求解。首先回忆平行四边形的对角线性质，可得对角线交点O是BD的中点；再结合E是DP中点的条件，可判断OE是△DPB的中位线；最后利用P是AB中点求出PB的长度，代入中位线定理即可得到OE的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴O是BD的中点（平行四边形对角线互相平分）。
∵E是DP的中点，
∴OE是△DPB的中位线，根据三角形中位线定理可得：$OE=\frac{1}{2}PB$。
∵P是AB的中点，$AB=8$，
∴$PB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴$OE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，准确识别出三角形的中位线，结合已知线段长度即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 某中学田径运动会上,参加男子跳高比赛的15名运动员的成绩如图所示,则这些运动员成绩的第75百分位数为
175
cm.答案
6.175
解析
【分析】
要计算第75百分位数，首先明确计算步骤：第一步先确定数据总个数n；第二步计算i=n×75%，若i不是整数，向上取整，对应位置的数就是第75百分位数；若i是整数，则取第i个和第i+1个数据的平均值。接下来我们先统计各成绩的人数，通过累计人数找到对应位置的成绩即可。
【解析】
1. 计算总人数：将各成绩对应的人数相加，得总人数为$2+4+3+2+3+1=15$人。
2. 计算百分位数位置：$i=15×75\%=11.25$，由于i不是整数，向上取整得12，即第12个数据为第75百分位数。
3. 统计累计人数确定对应成绩：
成绩155cm共2人，累计覆盖前2个数据；
成绩160cm共4人，累计覆盖到第$2+4=6$个数据；
成绩165cm共3人，累计覆盖到第$6+3=9$个数据；
成绩170cm共2人，累计覆盖到第$9+2=11$个数据；
成绩175cm共3人，覆盖第12到第14个数据。
因此第12个数据为175cm。
【答案】
175
【知识点】
百分位数计算，折线统计图应用
【点评】
本题重点考查百分位数的计算方法，核心是先确定百分位数对应的位置，再结合累计频数找到对应成绩，需要注意计算出的位置非整数时要向上取整。
【难度系数】
0.7
要计算第75百分位数，首先明确计算步骤：第一步先确定数据总个数n；第二步计算i=n×75%，若i不是整数，向上取整，对应位置的数就是第75百分位数；若i是整数，则取第i个和第i+1个数据的平均值。接下来我们先统计各成绩的人数，通过累计人数找到对应位置的成绩即可。
【解析】
1. 计算总人数：将各成绩对应的人数相加，得总人数为$2+4+3+2+3+1=15$人。
2. 计算百分位数位置：$i=15×75\%=11.25$，由于i不是整数，向上取整得12，即第12个数据为第75百分位数。
3. 统计累计人数确定对应成绩：
成绩155cm共2人，累计覆盖前2个数据；
成绩160cm共4人，累计覆盖到第$2+4=6$个数据；
成绩165cm共3人，累计覆盖到第$6+3=9$个数据；
成绩170cm共2人，累计覆盖到第$9+2=11$个数据；
成绩175cm共3人，覆盖第12到第14个数据。
因此第12个数据为175cm。
【答案】
175
【知识点】
百分位数计算，折线统计图应用
【点评】
本题重点考查百分位数的计算方法，核心是先确定百分位数对应的位置，再结合累计频数找到对应成绩，需要注意计算出的位置非整数时要向上取整。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，分别以点 $B$，$C$ 为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$ 长为半径画弧，两弧交于点 $P$，连接 $BP$，$CP$.
(1)试判断四边形 $BPCO$ 的形状，并说明理由；
(2)请说明当 $□ ABCD$ 的对角线满足什么条件时，四边形 $BPCO$ 是正方形.
(1)试判断四边形 $BPCO$ 的形状，并说明理由；
(2)请说明当 $□ ABCD$ 的对角线满足什么条件时，四边形 $BPCO$ 是正方形.
答案
7.解:(1)四边形BPCO为平行四边形.理由略.
(2)当$AC⊥BD$,且$AC=BD$时,四边形$BPCO$是正方形.理由略.
(2)当$AC⊥BD$,且$AC=BD$时,四边形$BPCO$是正方形.理由略.
解析
【分析】
(1)要判断四边形BPCO的形状，先从平行四边形ABCD的性质入手：平行四边形对角线互相平分，可得OB、OC分别是BD、AC的一半；再结合作图条件，BP、CP的长度分别等于$\frac{1}{2}$AC、$\frac{1}{2}$BD，即可得到四边形BPCO两组对边分别相等，根据平行四边形判定定理就能得出结论。
(2)要让平行四边形BPCO成为正方形，需要同时满足“有一个角是直角”和“邻边相等”两个条件，对应到原平行四边形ABCD的对角线上，分别对应对角线垂直、对角线相等，由此可推出所需条件。
【解析】
(1) 四边形BPCO是平行四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴ $OB = \frac{1}{2}BD$，$OC = \frac{1}{2}AC$
由作图规则可知：$BP = \frac{1}{2}AC$，$CP = \frac{1}{2}BD$
∴ $BP = OC$，$CP = OB$
∴ 四边形BPCO是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
(2) 当$AC⊥BD$，且$AC=BD$时，四边形BPCO是正方形，理由如下：
∵ $AC⊥BD$，
∴ $∠BOC = 90°$
又
∵ 四边形BPCO是平行四边形
∴ 平行四边形BPCO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
∵ $AC=BD$，
∴ $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$，即$OC=OB$
∴ 矩形BPCO是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
【答案】
(1) 四边形$BPCO$为平行四边形；
(2) 当$AC⊥BD$，且$AC=BD$时，四边形$BPCO$是正方形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与性质的综合应用，解题的关键是结合作图条件找到边与边、角与角的关系，明确各类特殊四边形的转化条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1)要判断四边形BPCO的形状，先从平行四边形ABCD的性质入手：平行四边形对角线互相平分，可得OB、OC分别是BD、AC的一半；再结合作图条件，BP、CP的长度分别等于$\frac{1}{2}$AC、$\frac{1}{2}$BD，即可得到四边形BPCO两组对边分别相等，根据平行四边形判定定理就能得出结论。
(2)要让平行四边形BPCO成为正方形，需要同时满足“有一个角是直角”和“邻边相等”两个条件，对应到原平行四边形ABCD的对角线上，分别对应对角线垂直、对角线相等，由此可推出所需条件。
【解析】
(1) 四边形BPCO是平行四边形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴ $OB = \frac{1}{2}BD$，$OC = \frac{1}{2}AC$
由作图规则可知：$BP = \frac{1}{2}AC$，$CP = \frac{1}{2}BD$
∴ $BP = OC$，$CP = OB$
∴ 四边形BPCO是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
(2) 当$AC⊥BD$，且$AC=BD$时，四边形BPCO是正方形，理由如下：
∵ $AC⊥BD$，
∴ $∠BOC = 90°$
又
∵ 四边形BPCO是平行四边形
∴ 平行四边形BPCO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
∵ $AC=BD$，
∴ $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$，即$OC=OB$
∴ 矩形BPCO是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
【答案】
(1) 四边形$BPCO$为平行四边形；
(2) 当$AC⊥BD$，且$AC=BD$时，四边形$BPCO$是正方形。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定与性质的综合应用，解题的关键是结合作图条件找到边与边、角与角的关系，明确各类特殊四边形的转化条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
