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2. 如图,在$□ ABCD$中,$CE ⊥ AB$于点$E$,若$∠ A=126°$,则$∠ 1$为 （
A.$36°$
B.$46°$
C.$38°$
D.$64°$
A
）A.$36°$
B.$46°$
C.$38°$
D.$64°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，再结合CE⊥AB得到的直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠1的度数。具体思路：第一步，平行四边形中AD//BC，故∠A与∠B互补，代入∠A的度数可求∠B；第二步，Rt△BCE中，∠1和∠B的和为90°，代入∠B的度数即可得∠1的数值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠A + ∠B = 180°，
∵∠A=126°，
∴∠B = 180° - 126° = 54°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB = 90°，
在Rt△BCE中，∠1 + ∠B = 90°，
∴∠1 = 90° - 54° = 36°。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是对平行四边形和直角三角形基本性质的应用，熟练掌握相关图形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，再结合CE⊥AB得到的直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠1的度数。具体思路：第一步，平行四边形中AD//BC，故∠A与∠B互补，代入∠A的度数可求∠B；第二步，Rt△BCE中，∠1和∠B的和为90°，代入∠B的度数即可得∠1的数值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠A + ∠B = 180°，
∵∠A=126°，
∴∠B = 180° - 126° = 54°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB = 90°，
在Rt△BCE中，∠1 + ∠B = 90°，
∴∠1 = 90° - 54° = 36°。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是对平行四边形和直角三角形基本性质的应用，熟练掌握相关图形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①、②、③、④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（
A.①处可填$AB=BC$
B.②处可填$∠A=90°$
C.③处可填$∠A=∠C$
D.④处可填$BC=DC$
C
）A.①处可填$AB=BC$
B.②处可填$∠A=90°$
C.③处可填$∠A=∠C$
D.④处可填$BC=DC$
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确各类特殊平行四边形的转化判定规则：平行四边形添加邻边相等可得菱形，添加一个内角为直角可得矩形；菱形添加一个内角为直角可得正方形，矩形添加邻边相等可得正方形。接下来逐一分析每个选项的条件是否符合对应转化的判定要求，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ①处是平行四边形转化为菱形，根据判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，AB和BC是平行四边形的邻边，填$AB=BC$符合要求，A选项正确，不符合题意。
B. ②处是平行四边形转化为矩形，根据判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，填$∠A=90°$符合要求，B选项正确，不符合题意。
C. ③处是菱形转化为正方形，需要添加的条件是“有一个角是直角”或“对角线相等”。而菱形本身的性质就是对角相等，即$∠A=∠C$是菱形天然具备的性质，添加该条件无法使菱形转化为正方形，C选项错误，符合题意。
D. ④处是矩形转化为正方形，根据判定定理：一组邻边相等的矩形是正方形，BC和DC是矩形的邻边，填$BC=DC$符合要求，D选项正确，不符合题意。
综上，添加错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
特殊平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形之间的转化关系，解题的关键是熟练掌握各类特殊平行四边形的性质和判定定理，理清各图形之间的转化条件。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确各类特殊平行四边形的转化判定规则：平行四边形添加邻边相等可得菱形，添加一个内角为直角可得矩形；菱形添加一个内角为直角可得正方形，矩形添加邻边相等可得正方形。接下来逐一分析每个选项的条件是否符合对应转化的判定要求，找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ①处是平行四边形转化为菱形，根据判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，AB和BC是平行四边形的邻边，填$AB=BC$符合要求，A选项正确，不符合题意。
B. ②处是平行四边形转化为矩形，根据判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，填$∠A=90°$符合要求，B选项正确，不符合题意。
C. ③处是菱形转化为正方形，需要添加的条件是“有一个角是直角”或“对角线相等”。而菱形本身的性质就是对角相等，即$∠A=∠C$是菱形天然具备的性质，添加该条件无法使菱形转化为正方形，C选项错误，符合题意。
D. ④处是矩形转化为正方形，根据判定定理：一组邻边相等的矩形是正方形，BC和DC是矩形的邻边，填$BC=DC$符合要求，D选项正确，不符合题意。
综上，添加错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
特殊平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质
【点评】
本题考查特殊平行四边形之间的转化关系，解题的关键是熟练掌握各类特殊平行四边形的性质和判定定理，理清各图形之间的转化条件。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ABC=α,BC＞AB$,点 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,顺次连接 E,F,G,H,在 α 从$60°$逐渐增大到$120°$的过程中,四边形 EFGH 形状的变化依次是（
A.平行四边形→矩形→平行四边形
B.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
C
）A.平行四边形→矩形→平行四边形
B.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先从中点四边形的性质入手：①任意四边形的中点四边形都是平行四边形，它的边分别平行于原四边形的对角线，且长度为对应对角线的一半；②中点四边形的形状由原四边形对角线的关系决定：原对角线相等则中点四边形为菱形，原对角线垂直则中点四边形为矩形，原对角线相等且垂直则中点四边形为正方形。
结合本题条件分析：原图形是邻边不等的平行四边形（BC＞AB），因此它的对角线永远不垂直（仅菱形对角线互相垂直，菱形要求邻边相等），所以中点四边形EFGH不可能是矩形、正方形，可直接排除相关选项。再分析内角α的变化：当α=90°时，平行四边形ABCD为矩形，对角线AC=BD，此时中点四边形邻边相等，为菱形；α在60°~90°、90°~120°区间时，AC≠BD，EFGH为普通平行四边形，即可判断变化顺序。
【解析】
连接AC、BD：
1. 证明EFGH是平行四边形
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$；$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，
同理可得$FG// BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$；$GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$，
∴$EH// FG$且$EH=FG$，$EF// GH$且$EF=GH$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
2. 分析形状变化
已知$BC＞AB$，即平行四边形ABCD邻边不等，不是菱形，因此它的对角线AC、BD永远不垂直，故EFGH不可能是矩形、正方形，排除B、D选项。
当$α=90°$时，$□ ABCD$是矩形，矩形对角线相等，即$AC=BD$，因此$EF=EH$，邻边相等的平行四边形是菱形，此时EFGH为菱形。
当$60°≤α＜90°$或$90°＜α≤120°$时，$AC≠ BD$，因此$EF≠ EH$，EFGH为普通平行四边形。
综上，变化顺序为平行四边形→菱形→平行四边形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
中点四边形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定
【点评】
本题核心是掌握中点四边形的形状仅与原四边形对角线的大小、位置关系有关，结合平行四边形随内角变化的性质分析对角线的变化，即可快速判断中点四边形的形状变化，解题时也可通过排除法快速去掉错误选项。
【难度系数】
0.65
解题时先从中点四边形的性质入手：①任意四边形的中点四边形都是平行四边形，它的边分别平行于原四边形的对角线，且长度为对应对角线的一半；②中点四边形的形状由原四边形对角线的关系决定：原对角线相等则中点四边形为菱形，原对角线垂直则中点四边形为矩形，原对角线相等且垂直则中点四边形为正方形。
结合本题条件分析：原图形是邻边不等的平行四边形（BC＞AB），因此它的对角线永远不垂直（仅菱形对角线互相垂直，菱形要求邻边相等），所以中点四边形EFGH不可能是矩形、正方形，可直接排除相关选项。再分析内角α的变化：当α=90°时，平行四边形ABCD为矩形，对角线AC=BD，此时中点四边形邻边相等，为菱形；α在60°~90°、90°~120°区间时，AC≠BD，EFGH为普通平行四边形，即可判断变化顺序。
【解析】
连接AC、BD：
1. 证明EFGH是平行四边形
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$；$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，
同理可得$FG// BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$；$GH// AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$，
∴$EH// FG$且$EH=FG$，$EF// GH$且$EF=GH$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
2. 分析形状变化
已知$BC＞AB$，即平行四边形ABCD邻边不等，不是菱形，因此它的对角线AC、BD永远不垂直，故EFGH不可能是矩形、正方形，排除B、D选项。
当$α=90°$时，$□ ABCD$是矩形，矩形对角线相等，即$AC=BD$，因此$EF=EH$，邻边相等的平行四边形是菱形，此时EFGH为菱形。
当$60°≤α＜90°$或$90°＜α≤120°$时，$AC≠ BD$，因此$EF≠ EH$，EFGH为普通平行四边形。
综上，变化顺序为平行四边形→菱形→平行四边形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
中点四边形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定
【点评】
本题核心是掌握中点四边形的形状仅与原四边形对角线的大小、位置关系有关，结合平行四边形随内角变化的性质分析对角线的变化，即可快速判断中点四边形的形状变化，解题时也可通过排除法快速去掉错误选项。
【难度系数】
0.65
5. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.过点D作$DH⊥AB$于点H,连接OH,若$OA=4$,菱形ABCD的面积为16,则OH的长为 （
A.4
B.3
C.2
D.$\dfrac{3}{2}$
C
）A.4
B.3
C.2
D.$\dfrac{3}{2}$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质推导已知条件：首先菱形对角线互相垂直且平分，由OA=4可先求出AC的长度；再利用菱形面积等于对角线乘积的一半的计算公式，结合已知面积求出BD的长度；最后根据DH⊥AB可得△DHB是直角三角形，O是BD中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OH的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2OA，O为BD的中点，
∵OA=4，
∴AC=2×4=8，
∵菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}×AC×BD=16$，
将AC=8代入得：$\frac{1}{2}×8×BD=16$，解得BD=4，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB=90°，即△DHB是直角三角形，
又
∵O是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，菱形面积计算，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于基础几何题，将菱形的性质与直角三角形的特殊性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，找到OH与已知线段的数量关系，是菱形相关考点的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质推导已知条件：首先菱形对角线互相垂直且平分，由OA=4可先求出AC的长度；再利用菱形面积等于对角线乘积的一半的计算公式，结合已知面积求出BD的长度；最后根据DH⊥AB可得△DHB是直角三角形，O是BD中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OH的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2OA，O为BD的中点，
∵OA=4，
∴AC=2×4=8，
∵菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}×AC×BD=16$，
将AC=8代入得：$\frac{1}{2}×8×BD=16$，解得BD=4，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB=90°，即△DHB是直角三角形，
又
∵O是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$OH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，菱形面积计算，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于基础几何题，将菱形的性质与直角三角形的特殊性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，找到OH与已知线段的数量关系，是菱形相关考点的常见题型。
【难度系数】
0.7
6.如图,在正方形ABCD中,E,F,H分别是AB,BC,CD的中点,CE,DF交于点G,连接AG,HG.有下列结论:①$CE ⊥ DF$;②$AG=AD$;③$∠ CHG=∠ DAG$;
④$HG=\dfrac{1}{2}AD$.其中正确的有 （
A.①②
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
④$HG=\dfrac{1}{2}AD$.其中正确的有 （
D
）A.①②
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
答案
6.D
解析
【分析】
本题是正方形背景下的多结论判断题，解题思路如下：首先利用正方形的性质证明三角形全等，推导线的垂直关系验证结论①；再结合直角三角形斜边中线的性质验证结论④；之后通过坐标法或者几何等量推导验证结论②；最后利用等腰三角形等边对等角、平行线的角的关系验证结论③，逐一判断后确定正确选项。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2，建立平面直角坐标系：令$B(0,0)$，则$A(0,2)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$。
由E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，得$E(0,1)$，$F(1,0)$，$H(2,1)$。
1. 验证结论①：
直线CE的斜率$k_{CE}=\frac{1-0}{0-2}=-\frac{1}{2}$，直线DF的斜率$k_{DF}=\frac{0-2}{1-2}=2$，$k_{CE}· k_{DF}=-\frac{1}{2}×2=-1$，因此$CE⊥ DF$，①正确。
2. 验证结论②：
联立CE和DF的解析式$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+1\\y=2x-2\end{cases}$，解得交点$G(\frac{6}{5},\frac{2}{5})$。
计算$AG=\sqrt{(\frac{6}{5}-0)^2+(\frac{2}{5}-2)^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{64}{25}}=2$，$AD=2$，因此$AG=AD$，②正确。
3. 验证结论④：
由①得$△ DGC$是直角三角形，H是CD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$HG=\frac{1}{2}CD$，又$CD=AD$，因此$HG=\frac{1}{2}AD$，④正确。
4. 验证结论③：
由$HG=HC$，得$△ HCG$为等腰三角形，$∠ CHG=180°-2∠ HCG$；
由$AG=AD$，得$△ ADG$为等腰三角形，$∠ DAG=180°-2∠ ADG$；
由$AD// BC$得$∠ ADG=∠ DFC$，由$△ EBC≌△ FCD$得$∠ DFC=∠ BCE=∠ HCG$，因此$∠ ADG=∠ HCG$，故$∠ CHG=∠ DAG$，③正确。
综上①②③④均正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查正方形与三角形的核心性质，既可以用几何推导解题，也可以用坐标法快速验证各结论，解题时要注意结合已知中点的条件，灵活运用全等、直角三角形的特殊性质简化推导过程。
【难度系数】
0.6
本题是正方形背景下的多结论判断题，解题思路如下：首先利用正方形的性质证明三角形全等，推导线的垂直关系验证结论①；再结合直角三角形斜边中线的性质验证结论④；之后通过坐标法或者几何等量推导验证结论②；最后利用等腰三角形等边对等角、平行线的角的关系验证结论③，逐一判断后确定正确选项。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2，建立平面直角坐标系：令$B(0,0)$，则$A(0,2)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$。
由E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，得$E(0,1)$，$F(1,0)$，$H(2,1)$。
1. 验证结论①：
直线CE的斜率$k_{CE}=\frac{1-0}{0-2}=-\frac{1}{2}$，直线DF的斜率$k_{DF}=\frac{0-2}{1-2}=2$，$k_{CE}· k_{DF}=-\frac{1}{2}×2=-1$，因此$CE⊥ DF$，①正确。
2. 验证结论②：
联立CE和DF的解析式$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+1\\y=2x-2\end{cases}$，解得交点$G(\frac{6}{5},\frac{2}{5})$。
计算$AG=\sqrt{(\frac{6}{5}-0)^2+(\frac{2}{5}-2)^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{64}{25}}=2$，$AD=2$，因此$AG=AD$，②正确。
3. 验证结论④：
由①得$△ DGC$是直角三角形，H是CD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$HG=\frac{1}{2}CD$，又$CD=AD$，因此$HG=\frac{1}{2}AD$，④正确。
4. 验证结论③：
由$HG=HC$，得$△ HCG$为等腰三角形，$∠ CHG=180°-2∠ HCG$；
由$AG=AD$，得$△ ADG$为等腰三角形，$∠ DAG=180°-2∠ ADG$；
由$AD// BC$得$∠ ADG=∠ DFC$，由$△ EBC≌△ FCD$得$∠ DFC=∠ BCE=∠ HCG$，因此$∠ ADG=∠ HCG$，故$∠ CHG=∠ DAG$，③正确。
综上①②③④均正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查正方形与三角形的核心性质，既可以用几何推导解题，也可以用坐标法快速验证各结论，解题时要注意结合已知中点的条件，灵活运用全等、直角三角形的特殊性质简化推导过程。
【难度系数】
0.6
