7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在$∠ AOB$的边$OA$、$OB$上分别取$OM=ON$；移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与$M$、$N$重合，得到$∠ AOB$的平分线$OP$。该做法中用到的三角形全等的判定方法是 （）




A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS

7. A

【分析】
要解决这道题，首先需从操作步骤中提取全等三角形的对应相等条件：首先确定要证明全等的两个三角形是$△ OMP$和$△ ONP$；第一步操作取$OM=ON$，得到第一组对应边相等；第二步角尺两边相同刻度分别与$M$、$N$重合，说明$PM=PN$，得到第二组对应边相等；两个三角形还共享公共边$OP$，即第三组对应边相等，三组边对应相等即可判断所用的全等判定方法。
【解析】
由题中的操作步骤可得：
在$△ OMP$和$△ ONP$中：
$\begin{cases}OM=ON \quad (\mathrm{操作中截取的等长线段}) \\PM=PN \quad (\mathrm{角尺两边相同刻度对应长度相等}) \\OP=OP \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ OMP ≌ △ ONP \ (\mathrm{SSS})$
由全等三角形对应角相等可得$∠ MOP=∠ NOP$，即$OP$是$∠ AOB$的平分线，因此用到的全等判定方法为SSS。
【答案】
A
【知识点】
1. SSS判定全等
2. 全等三角形性质
3. 角平分线定义
【点评】
本题结合实际操作场景考查全等三角形判定定理的应用，解题核心是从操作步骤中提取出三组对应边相等的条件，属于基础概念应用题，注重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8

8. 如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E、F、G、H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在 （）

A.A、C两点之间
B.G、H两点之间
C.B、F两点之间
D.E、G两点之间

8. D

【分析】
本题考查三角形稳定性的实际应用，解题思路如下：要使长方形窗框稳固，钉木条的核心是让窗框被分割出三角形结构，因为三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。我们只需逐一判断每个选项中钉木条后是否形成三角形，若未形成三角形则是不应钉的位置。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 钉在A、C两点之间时，对角线AC将长方形ABCD分为两个三角形，利用三角形的稳定性可使窗框稳固，不符合题意；
B. 钉在G、H两点之间时，GH与窗框的部分边可构成三角形结构，能起到稳固作用，不符合题意；
C. 钉在B、F两点之间时，BF与窗框的部分边可构成三角形结构，能起到稳固作用，不符合题意；
D. 钉在E、G两点之间时，EG是长方形两组对边中点的连线，仅将长方形分成两个小四边形，没有形成三角形结构，无法利用三角形稳定性起到稳固作用，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的稳定性、四边形的不稳定性
【点评】
本题是三角形稳定性在生活中的实际应用问题，解题的关键是明确只要钉木条后构造出三角形结构即可实现稳固的效果，题目贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.8

9. 如图,点 D 在线段 BC 上,若$∠ ACE=180°-∠ ABC-2x°$,且$BC=ED,AC=CD,AB=CE$,则下列角中大小为$x°$的是 （）

A.$∠ EFC$
B.$∠ ABC$
C.$∠ FDC$
D.$∠ DFC$

9. C 解析:在$△ ABC$和$△ CED$中,$\begin{cases} AC=CD, \\ AB=CE, \\ BC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CED(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ ABC = ∠ E, ∠ ACB = ∠ CDE.$
$\because ∠ ACE = 180° - ∠ ABC - 2x° = 180° - ∠ E - ∠ CFE,$
$\therefore ∠ CFE = 2x°. \because ∠ CFE = ∠ CDE + ∠ ACB = 2∠ CDE,$即$∠ CFE = 2∠ FDC, \therefore ∠ FDC = x°.$

【分析】
拿到题首先观察已知条件，题目给出了三组对应边相等的关系，优先考虑用“边边边（SSS）”判定定理证明两个三角形全等，得到对应角相等的结论；再结合给出的∠ACE的表达式，利用三角形内角和定理建立等量关系，求出∠CFE的度数；最后利用三角形外角的性质，结合全等得到的等角关系，即可推导出大小为$x°$的角。
【解析】
在$△ ABC$和$△ CED$中，
$\begin{cases} AC=CD, \\ AB=CE, \\ BC=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CED(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ABC = ∠E$，$∠ACB = ∠CDE$。
根据三角形内角和定理，在$△ CFE$中，$∠ ACE = 180° - ∠ E - ∠ CFE$，
结合已知$∠ ACE = 180° - ∠ ABC - 2x°$，将$∠ ABC=∠ E$代入可得：
$180° - ∠ E - 2x° = 180° - ∠ E - ∠ CFE$，
化简得$∠ CFE=2x°$。
根据三角形外角的性质，$∠ CFE$是$△ DFC$的外角，因此$∠ CFE = ∠ CDE + ∠ ACB$，
结合$∠ ACB = ∠ CDE$，可得$∠ CFE = 2∠ CDE = 2∠ FDC$，
$\therefore 2∠ FDC=2x°$，即$∠ FDC=x°$。
【答案】
C
【知识点】
SSS证全等；全等三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题结合全等三角形的判定、性质与三角形角的计算，核心是从已知边相等的条件切入先证全等，再通过角的等量代换逐步推导，能有效考查基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

10. 在如图所示的$3×3$网格中，$△ ABC$是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与$△ ABC$有一条公共边且全等（不含$△ ABC$）的所有格点三角形的个数是________。

10. 4 解析:如图,观察图形可知,满足条件的三角形有4个.

【分析】
解题时我们按照分类讨论的思路结合全等三角形的SSS判定规则分析：首先明确所求三角形需满足三个条件：与△ABC有一条公共边、和△ABC全等、不是△ABC本身。我们按公共边的不同分为三类：分别以BC、AB、AC为公共边，结合格点特点，公共边已经对应相等，只需找第三个顶点满足到公共边两个端点的距离与原三角形第三个顶点到两端点的距离相等，即可符合SSS全等要求，最后统计三类的总个数即可。
【解析】
我们分三种情况逐一计数：
1. 以BC为公共边：BC为公共边已对应相等，在BC异侧（不含点A所在侧）的格点中，可找到2个格点，满足到B、C的距离分别等于点A到B、C的距离，对应2个全等三角形；
2. 以AB为公共边：AB为公共边已对应相等，除点C外，可找到1个格点，满足到A、B的距离分别等于点C到A、B的距离，对应1个全等三角形；
3. 以AC为公共边：AC为公共边已对应相等，除点B外，可找到1个格点，满足到A、C的距离分别等于点B到A、C的距离，对应1个全等三角形。
总个数为$2+1+1=4$。
【答案】
4
【知识点】
全等三角形SSS判定，格点图形计数
【点评】
本题需要结合分类讨论思想解题，按公共边的不同情况逐一排查计数，解题时要注意排除原三角形本身，避免出现多算或者漏算的错误。
【难度系数】
0.6

11. 如图,已知B、E、C、F在同一条直线上,$AB=DE$,$AC=DF$,$BE=CF$,AC与DE交于点G.
(1)求证:$△ ABC≌△ DEF$.
(2)若$∠ B=50°$,$∠ ACB=60°$,求$∠ EGC$的度数.

11. (1)证明:$\because BE=CF, \therefore BE+EC=CF+EC,$即$BC=EF.$
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DF, \\ BC=EF, \end{cases} \therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SSS}).$
(2)由(1)可知,$△ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ B = ∠ DEF, \therefore AB // DE, \therefore ∠ EGC = ∠ A. \because ∠ B = 50°, ∠ ACB = 60°, \therefore ∠ A = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 70°, \therefore ∠ EGC = 70°.$

【分析】
（1）要证明△ABC≌△DEF，已知AB=DE、AC=DF，缺少第三组对应边相等的条件。结合已知BE=CF，且B、E、C、F在同一直线上，给BE和CF同时加上公共线段EC，即可推导出BC=EF，满足三边对应相等的全等判定要求，就能用SSS定理证明全等。
（2）要求∠EGC的度数，先利用第一问的全等结论，得到对应角∠B=∠DEF，可推出AB//DE，进而得到∠EGC和∠A相等；再根据三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠ACB的度数算出∠A，即可得到∠EGC的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because BE=CF$，
$\therefore BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} AB=DE \\ AC=DF \\ BC=EF \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SSS})$。
(2) 解：
由(1)可知$△ ABC ≌ △ DEF$，
$\therefore ∠B = ∠DEF$，
$\therefore AB // DE$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠EGC = ∠A$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠A = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 50° - 60° = 70°$，
$\therefore ∠EGC = 70°$。
【答案】
(1) $△ ABC≌△ DEF$得证；
(2) $∠ EGC=70°$
【知识点】
全等三角形的判定（SSS）；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形的基础综合题，解题核心是先通过线段和差得到全等所需的等边条件，再利用全等的性质转化角的关系，结合三角形内角和即可求解，能够有效考查学生对全等判定、性质的掌握和简单几何推导的能力。
【难度系数】
0.7

12. 如图,已知$AB=AC,BD=CD,DE\bot AB$交$AB$的延长线于点$E,DF\bot AC$交$AC$的延长线于点$F$.
(1)求证:$∠ ACD=∠ ABD$.
(2)求证:$DE=DF$.

12. 证明:(1)如图,连接AD.在$△ ACD$和$△ ABD$中,$\begin{cases} AC=AB, \\ CD=BD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ ABD(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ ACD = ∠ ABD.$
(2)$\because DE ⊥ AB, DF ⊥ AC, \therefore ∠ E = ∠ F = 90°. \because ∠ ACD = ∠ ABD, \therefore 180° - ∠ ACD = 180° - ∠ ABD,$即$∠ DCF = ∠ DBE.$在$△ DBE$和$△ DCF$中,$\begin{cases} ∠ E = ∠ F, \\ ∠ DBE = ∠ DCF, \\ DB = DC, \end{cases} \therefore △ DBE ≌ △ DCF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore DE = DF.$

【分析】
(1)要证明∠ACD=∠ABD，已知AB=AC、BD=CD，可通过连接AD构造公共边，利用“边边边(SSS)”证明△ACD和△ABD全等，再根据全等三角形对应角相等即可得证。
(2)要证明DE=DF，已知DE、DF分别是两条垂线，可得∠E=∠F=90°，结合第一问得到的∠ACD=∠ABD，可推出二者的补角∠DCF=∠DBE，再结合BD=CD，利用“角角边(AAS)”证明△DBE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等即可得到DE=DF。
【解析】
(1)证明：如图，连接AD。
在$△ ACD$和$△ ABD$中，
$\begin{cases} AC=AB, \\ CD=BD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ ABD(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ACD = ∠ABD$。
(2)证明：$\because DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
$\therefore ∠E = ∠F = 90°$。
$\because ∠ACD = ∠ABD$，
$\therefore 180° - ∠ACD = 180° - ∠ABD$，即$∠DCF = ∠DBE$。
在$△ DBE$和$△ DCF$中，
$\begin{cases} ∠E = ∠F, \\ ∠DBE = ∠DCF, \\ DB = DC, \end{cases}$
$\therefore △ DBE ≌ △ DCF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE = DF$。
【答案】
12. 证明:(1)如图,连接AD.在$△ ACD$和$△ ABD$中,$\begin{cases} AC=AB, \\ CD=BD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ ABD(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ ACD = ∠ ABD.$
(2)$\because DE ⊥ AB, DF ⊥ AC, \therefore ∠ E = ∠ F = 90°. \because ∠ ACD = ∠ ABD, \therefore 180° - ∠ ACD = 180° - ∠ ABD,$即$∠ DCF = ∠ DBE.$在$△ DBE$和$△ DCF$中,$\begin{cases} ∠ E = ∠ F, \\ ∠ DBE = ∠ DCF, \\ DB = DC, \end{cases} \therefore △ DBE ≌ △ DCF(\mathrm{AAS}),$
$\therefore DE = DF.$
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、补角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是合理构造辅助线得到全等三角形，通过全等三角形的性质推导角和边的等量关系，重点考查学生对全等判定定理的掌握程度和基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7