【变式5】(多选)已知函数$f(x)=\tan(ω x - \dfrac{π}{3})$（$ω＞0$）的最小正周期为$\dfrac{π}{2}$，则（）

A.$ω=4$
B.$f(\dfrac{π}{2})=-\sqrt{3}$
C.$f(x)$的单调递增区间为$(\dfrac{kπ}{2} - \dfrac{π}{12}, \dfrac{kπ}{2} + \dfrac{5π}{12}),k\in\mathbf{Z}$
D.$f(x)$图象的对称中心为$(\dfrac{kπ}{2} + \dfrac{5π}{12},0),k\in\mathbf{Z}$

BC 由题意，得$\dfrac{π}{ω}=\dfrac{π}{2}$，所以$ω=2$，$f(x)=\tan(2x-\dfrac{π}{3})$，故A错误；
$f(\dfrac{π}{2})=\tan(2×\dfrac{π}{2}-\dfrac{π}{3})=\tan\dfrac{2π}{3}=-\sqrt{3}$，故B正确；
令$2x-\dfrac{π}{3}\in(-\dfrac{π}{2}+kπ,\dfrac{π}{2}+kπ),k\in\mathbf{Z}$，解得$x\in(\dfrac{kπ}{2}-\dfrac{π}{12},\dfrac{kπ}{2}+\dfrac{5π}{12}),k\in\mathbf{Z}$，
则$f(x)$的单调递增区间为$(\dfrac{kπ}{2}-\dfrac{π}{12},\dfrac{kπ}{2}+\dfrac{5π}{12}),k\in\mathbf{Z}$，故C正确；
由$2x-\dfrac{π}{3}=\dfrac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$，得$x=\dfrac{kπ}{4}+\dfrac{π}{6},k\in\mathbf{Z}$，
所以$f(x)=\tan(2x-\dfrac{π}{3})$图象的对称中心为$(\dfrac{kπ}{4}+\dfrac{π}{6},0),k\in\mathbf{Z}$，故D错误。(正切函数图象的对称中心为$(\dfrac{kπ}{2},0),k\in\mathbf{Z}$，而不是$(kπ,0),k\in\mathbf{Z}$)

1.函数$y=2\tan(x-\dfrac{π}{3})$的一个单调递增区间是（）

A.$(-\dfrac{π}{2},\dfrac{π}{2})$
B.$(-\dfrac{π}{6},\dfrac{5π}{6})$
C.$(\dfrac{π}{2},π)$
D.$(-\dfrac{π}{3},\dfrac{2π}{3})$

B 令$-\dfrac{π}{2}+kπ＜x-\dfrac{π}{3}＜\dfrac{π}{2}+kπ,k\in\mathbf{Z}$，得$-\dfrac{π}{6}+kπ＜x＜\dfrac{5π}{6}+kπ,k\in\mathbf{Z}$，
故$f(x)$的单调递增区间为$(-\dfrac{π}{6}+kπ,\dfrac{5π}{6}+kπ),k\in\mathbf{Z}$。
令$k=0$，则函数$y=2\tan(x-\dfrac{π}{3})$的一个单调递增区间是$(-\dfrac{π}{6},\dfrac{5π}{6})$。

2.函数$y=2\tan(x+\frac{π}{6})$的图象的一个对称中心是（）

A.$(-\frac{π}{12},0)$
B.$(\frac{π}{6},0)$
C.$(\frac{π}{4},0)$
D.$(\frac{π}{3},0)$

D 令$x+\dfrac{π}{6}=\dfrac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$，则$x=-\dfrac{π}{6}+\dfrac{kπ}{2},k\in\mathbf{Z}$，故$y=2\tan(x+\dfrac{π}{6})$的图象的对称中心是$(-\dfrac{π}{6}+\dfrac{kπ}{2},0),k\in\mathbf{Z}$。
取$k=1$，则其图象的一个对称中心是$(\dfrac{π}{3},0)$。

3.当$x\in[0,\frac{π}{2})\cup(\frac{π}{2},\frac{3π}{2})\cup(\frac{3π}{2},2π]$时，函数$f(x)=|\cos x|-|\tan x|$的零点个数为（）

A.4
B.5
C.6
D.7

A 由$f(x)=|\cos x|-|\tan x|=0$，得$|\cos x|=|\tan x|$。
在同一平面直角坐标系内作出$y=|\cos x|,y=|\tan x|$，$x\in[0,\dfrac{π}{2})\cup(\dfrac{π}{2},\dfrac{3π}{2})\cup(\dfrac{3π}{2},2π]$的图象如图所示。
由图可知，两函数的图象的交点有4个，
所以当$x\in[0,\dfrac{π}{2})\cup(\dfrac{π}{2},\dfrac{3π}{2})\cup(\dfrac{3π}{2},2π]$时，函数$f(x)=|\cos x|-|\tan x|$的零点个数为4。

4.函数$y=\tan(\frac{π}{4}-2x),x\in[\frac{π}{8},\frac{7π}{24}]$的值域是。

$[-\sqrt{3},0]$ 函数$y=\tan(\dfrac{π}{4}-2x)=-\tan(2x-\dfrac{π}{4})$。
令$t=2x-\dfrac{π}{4}$，因为$x\in[\dfrac{π}{8},\dfrac{7π}{24}]$，
所以$t\in[0,\dfrac{π}{3}]$。
因为函数$y=\tan t$在$[0,\dfrac{π}{3}]$上单调递增，
所以$0\le \tan t\le \sqrt{3}$，即$0\le \tan(2x-\dfrac{π}{4})\le \sqrt{3}$，
所以$-\sqrt{3}\le -\tan(2x-\dfrac{π}{4})\le 0$，
所以函数$y=\tan(\dfrac{π}{4}-2x),x\in[\dfrac{π}{8},\dfrac{7π}{24}]$的值域是$[-\sqrt{3},0]$。

5.比较大小：$\tan(-\dfrac{7π}{4})$ ______ $\tan(-\dfrac{9π}{5})$。
（填“＞”“＜”或“=”）

＞ 因为$\tan(-\dfrac{7π}{4})=-\tan(2π-\dfrac{π}{4})=\tan\dfrac{π}{4}$，
$\tan(-\dfrac{9π}{5})=-\tan(2π-\dfrac{π}{5})=\tan\dfrac{π}{5}$。
又$0＜\dfrac{π}{5}＜\dfrac{π}{4}＜\dfrac{π}{2}$，$y=\tan x$在$(0,\dfrac{π}{2})$内单调递增，
所以$\tan\dfrac{π}{5}＜\tan\dfrac{π}{4}$，
所以$\tan(-\dfrac{7π}{4})＞\tan(-\dfrac{9π}{5})$。

6.函数$y=\tan(-3x+\dfrac{π}{4})$的单调递减区间为。

$(-\dfrac{π}{12}+\dfrac{kπ}{3},\dfrac{π}{4}+\dfrac{kπ}{3})(k\in\mathbf{Z})$ 已知$y=\tan(-3x+\dfrac{π}{4})=-\tan(3x-\dfrac{π}{4})$。(要先用诱导公式将$y=\tan(-3x+\dfrac{π}{4})$化为$y=-\tan(3x-\dfrac{π}{4})$再求解)
由$-\dfrac{π}{2}+kπ＜3x-\dfrac{π}{4}＜\dfrac{π}{2}+kπ(k\in\mathbf{Z})$，得$-\dfrac{π}{12}+\dfrac{kπ}{3}＜x＜\dfrac{π}{4}+\dfrac{kπ}{3}(k\in\mathbf{Z})$，
故函数$y=\tan(-3x+\dfrac{π}{4})$的单调递减区间为$(-\dfrac{π}{12}+\dfrac{kπ}{3},\dfrac{π}{4}+\dfrac{kπ}{3})(k\in\mathbf{Z})$。