7.求函数$f(x)=\tan^2 x - \tan x, x\in[-\dfrac{π}{4},\dfrac{π}{4}]$的最大值与最小值之和。

解：令$t=\tan x$。因为$x\in[-\dfrac{π}{4},\dfrac{π}{4}]$，所以$t\in[-1,1]$，
则原函数等价于$y=t^2-t=(t-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}$，
所以$y=t^2-t$的图象的对称轴方程为$t=\dfrac{1}{2}$，
所以$y=t^2-t$在$t\in[-1,\dfrac{1}{2}]$上单调递减，在$t\in(\dfrac{1}{2},1]$上单调递增。
当$t=-1$时，$y=2$，当$t=1$时，$y=0$，
所以当$t=-1$时，$y_{\max}=2$，当$t=\dfrac{1}{2}$时，$y_{\min}=-\dfrac{1}{4}$，
故函数$f(x)=\tan^2 x - \tan x, x\in[-\dfrac{π}{4},\dfrac{π}{4}]$的最大值与最小值之和为$2-\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{4}$。

8.(多选)对于函数$f(x)=\tan(2x+\frac{π}{4})$，则（）

A.$f(x)$的最小正周期为$\frac{π}{2}$
B.$f(x)$的图象关于$x=-\frac{π}{8}$对称
C.$f(x)$在$(0,\frac{π}{4})$上单调递增
D.$f(x)$的图象关于点$(\frac{3π}{8},0)$对称

AD 函数$f(x)=\tan(2x+\dfrac{π}{4})$的最小正周期为$\dfrac{π}{2}$，A正确；
正切函数$y=\tan x$没有对称轴，因此$f(x)$的图象不关于$x=-\dfrac{π}{8}$对称，B错误；
当$x\in(0,\dfrac{π}{4})$时，$2x+\dfrac{π}{4}\in(\dfrac{π}{4},\dfrac{3π}{4})$，正切函数$y=\tan x$在$(\dfrac{π}{4},\dfrac{3π}{4})$上不单调，因此函数$f(x)$在$(0,\dfrac{π}{4})$上不单调，C错误；
由$f(\dfrac{3π}{8})=\tanπ=0$，得$f(x)$的图象关于点$(\dfrac{3π}{8},0)$对称，D正确。

9.下列不等式成立的是 （）

A.$\tan 1 ＞ -\tan 2$
B.$\tan 735° ＞ \tan 800°$
C.$\tan \frac{5π}{7} ＞ \tan \frac{4π}{7}$
D.$\tan \frac{9π}{8} ＞ \tan \frac{π}{7}$

C 由$0＜1＜\dfrac{π}{3}$且$\dfrac{π}{2}＜2＜\dfrac{2π}{3}$，以及正切函数$y=\tan x$的性质，得$0＜\tan1＜\tan\dfrac{π}{3}=\sqrt{3}$，$\tan2＜0$且$\tan2＜\tan\dfrac{2π}{3}=-\sqrt{3}$，
所以$-\tan2＞\sqrt{3}$，所以$\tan1＜-\tan2$，所以A不成立。
由$\tan735°=\tan15°$，$\tan800°=\tan80°$，以及正切函数$y=\tan x$的单调性可得，$\tan15°＜\tan80°$，即$\tan735°＜\tan800°$，所以B不成立。
由正切函数$y=\tan x$在$(\dfrac{π}{2},π)$上单调递增，且$\dfrac{4π}{7}＜\dfrac{5π}{7}$，得$\tan\dfrac{5π}{7}＞\tan\dfrac{4π}{7}$，所以C成立。
由$\tan\dfrac{9π}{8}=\tan(π+\dfrac{π}{8})=\tan\dfrac{π}{8}$，$\dfrac{π}{8}＜\dfrac{π}{7}$，以及正切函数$y=\tan x$的单调性，得$\tan\dfrac{π}{8}＜\tan\dfrac{π}{7}$，即$\tan\dfrac{9π}{8}＜\tan\dfrac{π}{7}$，所以D不成立。

10.函数$y=|\tan x - \sin x| - \tan x - \sin x$在区间$(\frac{π}{2},\frac{3π}{2})$内的图象是（）

B 因为函数$y=|\tan x - \sin x| - \tan x - \sin x,x\in(\dfrac{π}{2},\dfrac{3π}{2})$，(分$x\in(\dfrac{π}{2},π]$和$x\in(π,\dfrac{3π}{2})$两种情况讨论，去掉绝对值判断)
所以当$x\in(\dfrac{π}{2},π]$时，$\tan x - \sin x＜0$，
所以$y=|\tan x - \sin x| - \tan x - \sin x=\sin x - \tan x - \tan x - \sin x=-2\tan x$，
此时函数在该区间上单调递减，且$y\ge0$，可排除选项C,D；
当$x\in(π,\dfrac{3π}{2})$时，$\tan x - \sin x＞0$，
所以$y=|\tan x - \sin x| - \tan x - \sin x=\tan x - \sin x - \tan x - \sin x=-2\sin x$，
此时函数在该区间上单调递增，且$0＜y＜2$，可排除选项A。

11.已知函数$f(x)=\tan(2ω x+\dfrac{π}{3})$（$ω＞0$）在$[0,\dfrac{π}{2}]$上单调递增，则$ω$的取值范围为。
(提示:先确定内层函数在区间$[0,\dfrac{π}{2}]$上的取值范围,再根据正切函数的单调性,确定该范围在正切函数的某个单调递增区间内,最后通过解不等式求出$ω$的取值范围)

$(0,\dfrac{1}{6})$ 当$x\in[0,\dfrac{π}{2}]$时，$2ω x+\dfrac{π}{3}\in[\dfrac{π}{3},ωπ+\dfrac{π}{3}]$。
因为$f(x)$在$[0,\dfrac{π}{2}]$上单调递增，结合正切函数的单调性，得$\dfrac{π}{3}＜ωπ+\dfrac{π}{3}＜\dfrac{π}{2}$，解得$0＜ω＜\dfrac{1}{6}$，
所以$ω$的取值范围为$(0,\dfrac{1}{6})$。

12.已知函数$f(x)=3\tan(\frac{1}{2}x-\frac{π}{3})$.
(1)求$f(x)$的定义域、值域；
(2)求$f(x)$的最小正周期、奇偶性和单调区间.
答案 P63

解：(1)令$\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{3}≠ \dfrac{π}{2}+kπ,k\in\mathbf{Z}$，得$x≠ \dfrac{5π}{3}+2kπ,k\in\mathbf{Z}$，
所以$f(x)$的定义域为$\{x∣ x≠ \dfrac{5π}{3}+2kπ,k\in\mathbf{Z}\}$。
因为函数$y=\tan x$的值域为$\mathbf{R}$，
所以$f(x)$的值域为$\mathbf{R}$。
(2)因为函数$f(x)$中的$ω=\dfrac{1}{2}$，所以函数$f(x)$的最小正周期$T=\dfrac{π}{ω}=2π$。
因为$f(x)$的定义域为$\{x∣ x≠ \dfrac{5π}{3}+2kπ,k\in\mathbf{Z}\}$，且$f(0)=3\tan(-\dfrac{π}{3})=-3\sqrt{3}≠0$，所以函数$f(x)$为非奇非偶函数。
令$-\dfrac{π}{2}+kπ＜\dfrac{1}{2}x-\dfrac{π}{3}＜\dfrac{π}{2}+kπ,k\in\mathbf{Z}$，
所以$-\dfrac{π}{3}+2kπ＜x＜\dfrac{5π}{3}+2kπ,k\in\mathbf{Z}$。
因为函数$f(x)$中的$A=3＞0,ω=\dfrac{1}{2}＞0$，
所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\dfrac{π}{3}+2kπ,\dfrac{5π}{3}+2kπ),k\in\mathbf{Z}$，没有单调递减区间。