【变式2】已知角α是第二象限角，试确定角$\frac{α}{2}$是第几象限角.

解:因为角$α$是第二象限角,所以$90°+k·360°＜α＜180°+k·360°(k\in\mathbb{Z})$,
所以$45°+k·180°＜\frac{α}{2}＜90°+k·180°(k\in\mathbb{Z})$.
①当$k$是偶数时,设$k=2n(n\in\mathbb{Z})$,则$45°+n·360°＜\frac{α}{2}＜90°+n·360°(n\in\mathbb{Z})$,此时$\frac{α}{2}$是第一象限角;
②当$k$是奇数时,设$k=2n+1(n\in\mathbb{Z})$,则$45°+(2n+1)·180°＜\frac{α}{2}＜90°+(2n+1)·180°(n\in\mathbb{Z})$,
即$225°+n·360°＜\frac{α}{2}＜270°+n·360°(n\in\mathbb{Z})$,此时$\frac{α}{2}$是第三象限角.
综上所述,角$\frac{α}{2}$是第一象限角或第三象限角.

【典例3】如图，终边落在阴影部分的角α的集合为.

解题指导 看到表示阴影部分角的范围，想到先确定$0°$～$360°$范围内角的范围，注意阴影边界的虚实线.
解析 在$0°$～$360°$范围内，终边落在阴影部分的角α满足$30°≤α＜105°$或$210°≤α＜285°$，所以角α的集合为$\{α∣ 30° + k·360°≤α＜105° + k·360°,k\in\mathbb{Z}\}\cup\{α∣ 210° + k·360°≤α＜285° + k·360°,k\in\mathbb{Z}\}=\{α∣ 30° + 2k·180°≤α＜105° + 2k·180°,k\in\mathbb{Z}\}\cup\{α∣ 210° + 2k·180°≤α＜285° + 2k·180°,k\in\mathbb{Z}\}=\{α∣ 30° + 2k·180°≤α＜105° + 2k·180°,k\in\mathbb{Z}\}\cup\{α∣ 30° + (2k + 1)·180°≤α＜105° + (2k + 1)·180°,k\in\mathbb{Z}\}=\{α∣ 30° + n·180°≤α＜105° + n·180°,n\in\mathbb{Z}\}$.
答案 $\{α∣ 30° + n·180°≤α＜105° + n·180°,n\in\mathbb{Z}\}$

$\boldsymbol{\{α ∣ 30° + n·180° ≤ α ＜ 105° + n·180°, n\in\mathbb{Z}\}}$

解：
在$0° ∼ 360°$范围内，
虚线边界对应的角为$180° - 75° = 105°$，实线边界对应的角为$30°$，
终边落在阴影部分的角满足$30° ≤ α ＜ 105°$或$210° ≤ α ＜ 285°$。
因此所有满足条件的角的集合为：
$\begin{aligned}&\{α ∣ 30° + k·360° ≤ α ＜ 105° + k·360°, k\in\mathbb{Z}\} \\\cup&\{α ∣ 210° + k·360° ≤ α ＜ 285° + k·360°, k\in\mathbb{Z}\}\end{aligned}$
将两个集合变形：
第一个集合等价于$\{α ∣ 30° + 2k·180° ≤ α ＜ 105° + 2k·180°, k\in\mathbb{Z}\}$，
第二个集合等价于$\{α ∣ 30° + (2k+1)·180° ≤ α ＜ 105° + (2k+1)·180°, k\in\mathbb{Z}\}$，
合并两个集合，令$n\in\mathbb{Z}$，可得统一形式：
$\{α ∣ 30° + n·180° ≤ α ＜ 105° + n·180°, n\in\mathbb{Z}\}$
最终

【变式3】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为。

由题图,知与阴影部分下侧终边相同的角为$-120°+k·360°,k\in\mathbb{Z}$,与阴影部分上侧终边相同的角为$135°+k·360°,k\in\mathbb{Z}$,
所以阴影部分(包括边界)的角$α$的集合为$\{α∣-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k\in\mathbb{Z}\}$.

【典例4】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α=30°,R=18 cm,求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为12 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?最大值是多少?
解题指导 (1)先将所给角度转化为弧度,再代入弧长弧度制公式计算.
(2)根据扇形的周长,可将弧长l用R表示,进一步表示出扇形的面积,再结合二次函数的性质(或用基本不等式)确定最值.
答案 解:(1)由题意,得扇形的圆心角α=30°=$\frac{π}{6}$,半径R=18 cm,
所以扇形的弧长$l=α R=\frac{π}{6}×18=3π$(cm).
(2)因为扇形的周长为12 cm,即$l+2R=12$,所以$l=12-2R$,
所以$S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}(12-2R)·R=-R^2+6R=-(R-3)^2+9$,所以当R=3 cm时,面积S取得最大值,最大值为9 cm²,
(也可通过$S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}(12-2R)·R=\frac{1}{4}(12-2R)·2R≤\frac{1}{4}×\frac{(12-2R+2R)^2}{4}=9$,当且仅当R=3 cm时,等号成立,求得面积S的最大值)
此时$l=12-2×3=6$(cm),所以$α=\frac{l}{R}=\frac{6}{3}=2$(rad).
故当扇形的圆心角α为2 rad时,这个扇形的面积最大,最大值是9 cm².

解：
(1) 由题意，将角度转化为弧度得$α=30°=\frac{π}{6}$，已知$R=18\ \mathrm{cm}$，
代入弧长公式$l=α R$，得$l=\frac{π}{6}×18=3π\ (\mathrm{cm})$。
(2) 由扇形周长为$12\ \mathrm{cm}$，可得$l+2R=12$，即$l=12-2R$，
因此扇形面积$S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}(12-2R)· R=-R^2+6R=-(R-3)^2+9$，
由二次函数的性质可知，当$R=3\ \mathrm{cm}$时，面积$S$取得最大值，最大值为$9\ \mathrm{cm}^2$。
此时$l=12-2×3=6\ (\mathrm{cm})$，由弧度制弧长公式得$α=\frac{l}{R}=\frac{6}{3}=2\ (\mathrm{rad})$。
故当扇形的圆心角$α$为$2$弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是$9\ \mathrm{cm}^2$。