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疑难点拨
用配方法解一元二次方程 $x^{2}-2x-2\ 026=0$,将它转化为$(x+a)^{2}=b$ 的形式,则 $a^{b}$ 的值为
点拨 要注意一次项系数的符号和常数项都发生了变化.
用配方法解一元二次方程 $x^{2}-2x-2\ 026=0$,将它转化为$(x+a)^{2}=b$ 的形式,则 $a^{b}$ 的值为
-1
.点拨 要注意一次项系数的符号和常数项都发生了变化.
答案
【疑难点拨】 -1
解析
【分析】
要解决这个问题，需用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，步骤如下：首先将常数项移到等号右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式，进而确定$a$和$b$的值，最后计算$a^b$。
【解析】
对一元二次方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$进行配方法变形：
1. 移项：将常数项移到等号右边，得$x^2 - 2x = 2026$；
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半为$-1$，平方为$1$，在方程两边同时加$1$，得$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$；
3. 写成完全平方形式：左边为$(x - 1)^2$，右边为$2027$，即$(x + (-1))^2 = 2027$，因此$a = -1$，$b = 2027$；
4. 计算$a^b$：$(-1)^{2027} = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，核心是掌握配方法的操作逻辑，准确处理完全平方形式中的符号和常数项，计算时需注意负数的奇次幂为负，避免出错。
【难度系数】
0.3
要解决这个问题，需用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，步骤如下：首先将常数项移到等号右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式，进而确定$a$和$b$的值，最后计算$a^b$。
【解析】
对一元二次方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$进行配方法变形：
1. 移项：将常数项移到等号右边，得$x^2 - 2x = 2026$；
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半为$-1$，平方为$1$，在方程两边同时加$1$，得$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$；
3. 写成完全平方形式：左边为$(x - 1)^2$，右边为$2027$，即$(x + (-1))^2 = 2027$，因此$a = -1$，$b = 2027$；
4. 计算$a^b$：$(-1)^{2027} = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，核心是掌握配方法的操作逻辑，准确处理完全平方形式中的符号和常数项，计算时需注意负数的奇次幂为负，避免出错。
【难度系数】
0.3
1. 方程 $x^{2}-3=0$ 的根是 (
A.$x=3$
B.$x_{1}=3,x_{2}=-3$
C.$x=\sqrt{3}$
D.$x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$
D
)A.$x=3$
B.$x_{1}=3,x_{2}=-3$
C.$x=\sqrt{3}$
D.$x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$
答案
1. D
解析
【分析】
要解一元二次方程$x^2 - 3 = 0$，首先通过移项将方程变形为$x^2 = 3$，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，对等式两边开平方即可得到方程的根，据此判断选项。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 3 = 0$移项，得$x^2 = 3$。
根据平方根的定义：若$x^2 = a$（$a＞0$），则$x = \pm\sqrt{a}$，因此$x = \pm\sqrt{3}$，即方程的根为$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法、平方根
【点评】
本题考查一元二次方程的直接开平方法，属于基础题，主要检验学生对平方根概念的掌握，解题思路清晰，步骤简单。
【难度系数】
0.9
要解一元二次方程$x^2 - 3 = 0$，首先通过移项将方程变形为$x^2 = 3$，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，对等式两边开平方即可得到方程的根，据此判断选项。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 3 = 0$移项，得$x^2 = 3$。
根据平方根的定义：若$x^2 = a$（$a＞0$），则$x = \pm\sqrt{a}$，因此$x = \pm\sqrt{3}$，即方程的根为$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = -\sqrt{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法、平方根
【点评】
本题考查一元二次方程的直接开平方法，属于基础题，主要检验学生对平方根概念的掌握，解题思路清晰，步骤简单。
【难度系数】
0.9
2. 方程 $2(x+5)^{2}-16=0$ 的根为 (
A.$x=-1$
B.$x=-9$
C.$x_{1}=-1,x_{2}=-9$
D.$x_{1}=2\sqrt{2}-5,x_{2}=-2\sqrt{2}-5$
D
)A.$x=-1$
B.$x=-9$
C.$x_{1}=-1,x_{2}=-9$
D.$x_{1}=2\sqrt{2}-5,x_{2}=-2\sqrt{2}-5$
答案
2. D
解析
【分析】
要解这个一元二次方程，可采用直接开平方法。首先将方程中的常数项移到等号另一侧，再把二次项系数化为1，得到形如$(x+a)^2 = b$的形式，然后对等式两边开平方（注意开平方有正负两种情况），最后解出x的值，对应选项选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$2(x+5)^2 -16=0$变形：
1. 移项得：$2(x+5)^2 = 16$；
2. 两边同除以2，得：$(x+5)^2 = 8$；
3. 开平方得：$x + 5 = ±\sqrt{8} = ±2\sqrt{2}$；
4. 分别求解：
当$x +5 = 2\sqrt{2}$时，$x = 2\sqrt{2} -5$；
当$x +5 = -2\sqrt{2}$时，$x = -2\sqrt{2} -5$；
因此方程的根为$x_1=2\sqrt{2}-5$，$x_2=-2\sqrt{2}-5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法（直接开平方法）
【点评】
本题考查一元二次方程的直接开平方法，属于基础题型，解题关键是掌握直接开平方法的步骤，开平方时需注意正负两种情况，避免漏解，整体难度不大，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
要解这个一元二次方程，可采用直接开平方法。首先将方程中的常数项移到等号另一侧，再把二次项系数化为1，得到形如$(x+a)^2 = b$的形式，然后对等式两边开平方（注意开平方有正负两种情况），最后解出x的值，对应选项选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$2(x+5)^2 -16=0$变形：
1. 移项得：$2(x+5)^2 = 16$；
2. 两边同除以2，得：$(x+5)^2 = 8$；
3. 开平方得：$x + 5 = ±\sqrt{8} = ±2\sqrt{2}$；
4. 分别求解：
当$x +5 = 2\sqrt{2}$时，$x = 2\sqrt{2} -5$；
当$x +5 = -2\sqrt{2}$时，$x = -2\sqrt{2} -5$；
因此方程的根为$x_1=2\sqrt{2}-5$，$x_2=-2\sqrt{2}-5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法（直接开平方法）
【点评】
本题考查一元二次方程的直接开平方法，属于基础题型，解题关键是掌握直接开平方法的步骤，开平方时需注意正负两种情况，避免漏解，整体难度不大，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
3. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $3x^{2}+1=13$；
(2) $4x^{2}+5=12$；
(3) $3x^{2}-1=4$；
(4) $3x^{2}+261=261$.
(1) $3x^{2}+1=13$；
(2) $4x^{2}+5=12$；
(3) $3x^{2}-1=4$；
(4) $3x^{2}+261=261$.
答案
3. (1) $x_{1}=2,x_{2}=-2$ (2) $x_{1}=\frac{\sqrt{7}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$
(3) $x_{1}=\frac{\sqrt{15}}{3},x_{2}=-\frac{\sqrt{15}}{3}$ (4) $x_{1}=x_{2}=0$
(3) $x_{1}=\frac{\sqrt{15}}{3},x_{2}=-\frac{\sqrt{15}}{3}$ (4) $x_{1}=x_{2}=0$
解析
【分析】直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$x^2 = p$（$p≥0$）的形式，再根据平方根的定义，对两边直接开平方得到方程的根；若$p=0$，则方程有两个相等的实数根。解题时需先通过移项、系数化为1完成变形，再计算平方根得到结果。
【解析】
(1) 移项得：$3x^2 =13 -1=12$，系数化为1得：$x^2=4$，开平方得：$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，故$x_1=2,x_2=-2$；
(2) 移项得：$4x^2=12-5=7$，系数化为1得：$x^2=\frac{7}{4}$，开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{7}{4}}=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，故$x_1=\frac{\sqrt{7}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{7}}{2}$；
(3) 移项得：$3x^2=4+1=5$，系数化为1得：$x^2=\frac{5}{3}$，开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$，故$x_1=\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=-\frac{\sqrt{15}}{3}$；
(4) 移项得：$3x^2=261-261=0$，系数化为1得：$x^2=0$，开平方得：$x=0$，故$x_1=x_2=0$；
【答案】(1)$x_{1}=2,x_{2}=-2$；(2)$x_{1}=\frac{\sqrt{7}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$；(3)$x_{1}=\frac{\sqrt{15}}{3},x_{2}=-\frac{\sqrt{15}}{3}$；(4)$x_{1}=x_{2}=0$
【知识点】直接开平方法解一元二次方程，平方根，一元二次方程的解法
【点评】本题是直接开平方法的基础练习题，重点考察移项、系数化为1的变形能力及平方根的计算，需注意分母有理化的规范，当常数项为0时方程有两个相等的实数根，整体难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 移项得：$3x^2 =13 -1=12$，系数化为1得：$x^2=4$，开平方得：$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，故$x_1=2,x_2=-2$；
(2) 移项得：$4x^2=12-5=7$，系数化为1得：$x^2=\frac{7}{4}$，开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{7}{4}}=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$，故$x_1=\frac{\sqrt{7}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{7}}{2}$；
(3) 移项得：$3x^2=4+1=5$，系数化为1得：$x^2=\frac{5}{3}$，开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$，故$x_1=\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=-\frac{\sqrt{15}}{3}$；
(4) 移项得：$3x^2=261-261=0$，系数化为1得：$x^2=0$，开平方得：$x=0$，故$x_1=x_2=0$；
【答案】(1)$x_{1}=2,x_{2}=-2$；(2)$x_{1}=\frac{\sqrt{7}}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$；(3)$x_{1}=\frac{\sqrt{15}}{3},x_{2}=-\frac{\sqrt{15}}{3}$；(4)$x_{1}=x_{2}=0$
【知识点】直接开平方法解一元二次方程，平方根，一元二次方程的解法
【点评】本题是直接开平方法的基础练习题，重点考察移项、系数化为1的变形能力及平方根的计算，需注意分母有理化的规范，当常数项为0时方程有两个相等的实数根，整体难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.7
4. 用配方法解一元二次方程 $x^{2}-2x-2\ 026=0$,将它转化为$(x+h)^{2}=k$ 的形式,则 $h^{k}$ 的值为 (
A.$-2\ 024$
B.$2\ 024$
C.$-1$
D.$1$
C
)A.$-2\ 024$
B.$2\ 024$
C.$-1$
D.$1$
答案
4. C
解析
【分析】
本题要求用配方法将一元二次方程转化为$(x+h)^2=k$的形式，再计算$h^k$的值。解题思路是：先通过移项将常数项移到方程右侧，再根据完全平方公式的特点，在方程两侧添加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，从而得到$h$和$k$的值，最后代入计算$h^k$。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$进行配方法变形：
1. 移项：将常数项$-2026$移到方程右边，得$x^2 - 2x = 2026$；
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2 = 1$，方程两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$；
3. 写成完全平方形式：左侧根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x - 1)^2 = 2027$；
对比$(x + h)^2 = k$的形式，可知$h = -1$，$k = 2027$；
因此$h^k = (-1)^{2027} = -1$。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心是掌握配方时添加常数项的规则（一次项系数一半的平方），属于一元二次方程章节的基础题型，难度适中，需学生熟练掌握配方法的步骤。
【难度系数】
0.6
本题要求用配方法将一元二次方程转化为$(x+h)^2=k$的形式，再计算$h^k$的值。解题思路是：先通过移项将常数项移到方程右侧，再根据完全平方公式的特点，在方程两侧添加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，从而得到$h$和$k$的值，最后代入计算$h^k$。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$进行配方法变形：
1. 移项：将常数项$-2026$移到方程右边，得$x^2 - 2x = 2026$；
2. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2 = 1$，方程两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 2026 + 1$；
3. 写成完全平方形式：左侧根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x - 1)^2 = 2027$；
对比$(x + h)^2 = k$的形式，可知$h = -1$，$k = 2027$；
因此$h^k = (-1)^{2027} = -1$。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，核心是掌握配方时添加常数项的规则（一次项系数一半的平方），属于一元二次方程章节的基础题型，难度适中，需学生熟练掌握配方法的步骤。
【难度系数】
0.6
5. 若一元二次方程 $x^{2}-8x=48$ 可表示成 $(x-a)^{2}=48+b$ 的形式,其中 $a、b$ 为整数,则 $a-b=$
-12
.答案
5. -12
解析
【分析】本题需通过配方法将给定的一元二次方程转化为完全平方形式，核心是利用完全平方公式对二次式配方。先对原方程左边的二次式添加一次项系数一半的平方完成配方，同时右边同步添加该数保证等式成立，再与题目给出的$(x-a)^2=48+b$的形式对应，求出整数$a$、$b$的值，最后计算$a-b$。
【解析】解：对一元二次方程$x^2 -8x=48$进行配方，
一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(-8÷2)^2=16$，
在方程两边同时加上16，得：
$x^2 -8x +16 =48 +16$，
左边根据完全平方公式化为$(x-4)^2$，右边计算得64，
即$(x-4)^2=48+16$，
对比题目形式$(x-a)^2=48+b$，可得$a=4$，$b=16$，
因此$a-b=4-16=-12$。
【答案】-12
【知识点】一元二次方程配方法，完全平方公式
【点评】本题考查一元二次方程的基础配方法，关键是掌握配方时添加常数项的规则，步骤清晰易操作，属于基础得分题。
【难度系数】0.6
【解析】解：对一元二次方程$x^2 -8x=48$进行配方，
一次项系数为$-8$，其一半的平方为$(-8÷2)^2=16$，
在方程两边同时加上16，得：
$x^2 -8x +16 =48 +16$，
左边根据完全平方公式化为$(x-4)^2$，右边计算得64，
即$(x-4)^2=48+16$，
对比题目形式$(x-a)^2=48+b$，可得$a=4$，$b=16$，
因此$a-b=4-16=-12$。
【答案】-12
【知识点】一元二次方程配方法，完全平方公式
【点评】本题考查一元二次方程的基础配方法，关键是掌握配方时添加常数项的规则，步骤清晰易操作，属于基础得分题。
【难度系数】0.6
6. 将代数式 $x^{2}+6x+7$ 进行如下变形:$x^{2}+6x+7=x^{2}+2· x· 3+9-9+7=(x+3)^{2}-2$.当$x$的值为
-3
时,$(x+3)^{2}$取得最小值,最小值为0,即$(x+3)^{2}-2$的最小值为-2,从而代数式 $x^{2}+6x+7$ 的最小值为-2
.答案
6. -3 -2
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用平方数的非负性：任意实数的平方都大于等于0。首先找到使平方项$(x+3)^2$取最小值的$x$值，再代入变形后的代数式求出整个代数式的最小值。
【解析】
1. 对于平方项$(x+3)^2$，根据平方数的非负性，可知$(x+3)^2 ≥ 0$，当且仅当$x+3=0$时，$(x+3)^2$取得最小值0，此时解得$x=-3$。
2. 将$(x+3)^2=0$代入变形后的代数式$(x+3)^2 -2$，可得$0 -2 = -2$，即代数式$x^2+6x+7$的最小值为$-2$。
【答案】
-3 -2
【知识点】
配方法求最值、平方数的非负性
【点评】
本题是二次式求最值的基础题型，通过配方法将代数式转化为“平方项+常数”的形式，结合平方数的非负性即可快速求解，核心是掌握配方法的变形逻辑和平方数的性质。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用平方数的非负性：任意实数的平方都大于等于0。首先找到使平方项$(x+3)^2$取最小值的$x$值，再代入变形后的代数式求出整个代数式的最小值。
【解析】
1. 对于平方项$(x+3)^2$，根据平方数的非负性，可知$(x+3)^2 ≥ 0$，当且仅当$x+3=0$时，$(x+3)^2$取得最小值0，此时解得$x=-3$。
2. 将$(x+3)^2=0$代入变形后的代数式$(x+3)^2 -2$，可得$0 -2 = -2$，即代数式$x^2+6x+7$的最小值为$-2$。
【答案】
-3 -2
【知识点】
配方法求最值、平方数的非负性
【点评】
本题是二次式求最值的基础题型，通过配方法将代数式转化为“平方项+常数”的形式，结合平方数的非负性即可快速求解，核心是掌握配方法的变形逻辑和平方数的性质。
【难度系数】
0.7
7. 用配方法解下列方程：
(1) $x^{2}-6x+4=0$；
(2) $x^{2}+3x-1=0$；
(3) $x^{2}-\frac{1}{2}x-1=0$.
(1) $x^{2}-6x+4=0$；
(2) $x^{2}+3x-1=0$；
(3) $x^{2}-\frac{1}{2}x-1=0$.
答案
7. (1) $x_{1}=\sqrt{5}+3,x_{2}=-\sqrt{5}+3$.
(2) $x_{1}=\frac{\sqrt{13}-3}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{13}+3}{2}$.
(3) $x_{1}=\frac{\sqrt{17}+1}{4},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$.
(2) $x_{1}=\frac{\sqrt{13}-3}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{13}+3}{2}$.
(3) $x_{1}=\frac{\sqrt{17}+1}{4},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程左边构造为完全平方式，右边化为常数，再通过开平方求解。具体步骤为：①移项，把常数项移到方程右侧；②配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧成为完全平方式；③整理为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式；④开平方得到$x+m=\pm\sqrt{n}$；⑤求解得到方程的根。本题三个方程二次项系数均为1，直接按上述步骤操作即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -6x +4=0$：
移项，得$x^2 -6x = -4$；
配方，两边加$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$x^2 -6x +9 = -4 +9$，即$(x-3)^2=5$；
开平方，得$x-3=\pm\sqrt{5}$；
解得$x_1=3+\sqrt{5}$，$x_2=3-\sqrt{5}$。
(2) 解方程$x^2 +3x -1=0$：
移项，得$x^2 +3x =1$；
配方，两边加$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2 +3x +\frac{9}{4}=1+\frac{9}{4}$，即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}$；
开平方，得$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$；
解得$x_1=\frac{\sqrt{13}-3}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$。
(3) 解方程$x^2 -\frac{1}{2}x -1=0$：
移项，得$x^2 -\frac{1}{2}x =1$；
配方，两边加$(\frac{-\frac{1}{2}}{2})^2=\frac{1}{16}$，得$x^2 -\frac{1}{2}x +\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$，即$(x-\frac{1}{4})^2=\frac{17}{16}$；
开平方，得$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$；
解得$x_1=\frac{\sqrt{17}+1}{4}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $x_{1}=3+\sqrt{5},x_{2}=3-\sqrt{5}$；(2) $x_{1}=\frac{\sqrt{13}-3}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{13}+3}{2}$；(3) $x_{1}=\frac{\sqrt{17}+1}{4},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，属于基础题型，核心是掌握配方时“加一次项系数一半的平方”的关键步骤，按步骤操作即可顺利求解，适合巩固一元二次方程的基础解法。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程左边构造为完全平方式，右边化为常数，再通过开平方求解。具体步骤为：①移项，把常数项移到方程右侧；②配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧成为完全平方式；③整理为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式；④开平方得到$x+m=\pm\sqrt{n}$；⑤求解得到方程的根。本题三个方程二次项系数均为1，直接按上述步骤操作即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -6x +4=0$：
移项，得$x^2 -6x = -4$；
配方，两边加$(\frac{-6}{2})^2=9$，得$x^2 -6x +9 = -4 +9$，即$(x-3)^2=5$；
开平方，得$x-3=\pm\sqrt{5}$；
解得$x_1=3+\sqrt{5}$，$x_2=3-\sqrt{5}$。
(2) 解方程$x^2 +3x -1=0$：
移项，得$x^2 +3x =1$；
配方，两边加$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2 +3x +\frac{9}{4}=1+\frac{9}{4}$，即$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}$；
开平方，得$x+\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$；
解得$x_1=\frac{\sqrt{13}-3}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{13}-3}{2}$。
(3) 解方程$x^2 -\frac{1}{2}x -1=0$：
移项，得$x^2 -\frac{1}{2}x =1$；
配方，两边加$(\frac{-\frac{1}{2}}{2})^2=\frac{1}{16}$，得$x^2 -\frac{1}{2}x +\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$，即$(x-\frac{1}{4})^2=\frac{17}{16}$；
开平方，得$x-\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$；
解得$x_1=\frac{\sqrt{17}+1}{4}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1) $x_{1}=3+\sqrt{5},x_{2}=3-\sqrt{5}$；(2) $x_{1}=\frac{\sqrt{13}-3}{2},x_{2}=-\frac{\sqrt{13}+3}{2}$；(3) $x_{1}=\frac{\sqrt{17}+1}{4},x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，属于基础题型，核心是掌握配方时“加一次项系数一半的平方”的关键步骤，按步骤操作即可顺利求解，适合巩固一元二次方程的基础解法。
【难度系数】
0.7
8. 用配方法解方程 $x^{2}-2\sqrt{6}x-7=0$,配方后可得 (
A.$(x-\sqrt{6})^{2}=7$
B.$(x-\sqrt{6})^{2}=13$
C.$(x+\sqrt{6})^{2}=7$
D.$(x+\sqrt{6})^{2}=13$
B
)A.$(x-\sqrt{6})^{2}=7$
B.$(x-\sqrt{6})^{2}=13$
C.$(x+\sqrt{6})^{2}=7$
D.$(x+\sqrt{6})^{2}=13$
答案
8. B
解析
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路是：先将方程的常数项移到等号右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边转化为完全平方式，进而得到配方后的结果，据此选出正确选项。
【解析】解：对原方程$x^{2}-2\sqrt{6}x-7=0$移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^{2}-2\sqrt{6}x=7$
进行配方：一次项系数为$-2\sqrt{6}$，其一半为$-\sqrt{6}$，平方为$(-\sqrt{6})^2=6$，在方程两边同时加6，得：
$x^{2}-2\sqrt{6}x +6=7+6$
左边整理为完全平方式，即$(x-\sqrt{6})^2=13$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握“移项、加一次项系数一半的平方”的操作步骤，需注意配方时等号两边要同时加相同的数，避免符号错误，属于必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.7
【解析】解：对原方程$x^{2}-2\sqrt{6}x-7=0$移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^{2}-2\sqrt{6}x=7$
进行配方：一次项系数为$-2\sqrt{6}$，其一半为$-\sqrt{6}$，平方为$(-\sqrt{6})^2=6$，在方程两边同时加6，得：
$x^{2}-2\sqrt{6}x +6=7+6$
左边整理为完全平方式，即$(x-\sqrt{6})^2=13$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握“移项、加一次项系数一半的平方”的操作步骤，需注意配方时等号两边要同时加相同的数，避免符号错误，属于必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.7
9. 已知方程 $x^{2}-6x+q=0$ 可转化为 $x-3=\pm\sqrt{7}$,则 $q=$
2
.答案
9. 2
解析
【分析】本题可通过配方法将原一元二次方程变形，结合已知转化后的形式建立等式求解参数。首先，已知方程可转化为$x-3=\pm\sqrt{7}$，说明是用配方法对原方程进行变形，需将原方程配成完全平方式，再与已知形式对比求出$q$的值。
【解析】对原方程用配方法变形：
$x^2 -6x + q =0$
移项得：$x^2 -6x = -q$
配方：两边同时加上一次项系数一半的平方$9$，得：
$x^2 -6x +9 = -q +9$
整理为：$(x-3)^2 =9 - q$
由题意，方程可转化为$x-3=\pm\sqrt{7}$，因此$(x-3)^2=(\pm\sqrt{7})^2=7$，即：
$9 - q =7$
解得：$q=2$
【答案】2
【知识点】配方法解一元二次方程
【点评】本题考查配方法解一元二次方程的应用，核心是掌握配方法的操作步骤，通过变形后的完全平方式与已知形式对比建立等式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】对原方程用配方法变形：
$x^2 -6x + q =0$
移项得：$x^2 -6x = -q$
配方：两边同时加上一次项系数一半的平方$9$，得：
$x^2 -6x +9 = -q +9$
整理为：$(x-3)^2 =9 - q$
由题意，方程可转化为$x-3=\pm\sqrt{7}$，因此$(x-3)^2=(\pm\sqrt{7})^2=7$，即：
$9 - q =7$
解得：$q=2$
【答案】2
【知识点】配方法解一元二次方程
【点评】本题考查配方法解一元二次方程的应用，核心是掌握配方法的操作步骤，通过变形后的完全平方式与已知形式对比建立等式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
10. 若 $x^{2}+8$ 与 $6x-3$ 互为相反数,则 $x$ 的值为
-1或-5
.答案
10. -1或-5
解析
【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，先列出关于x的一元二次方程，再通过整理、因式分解求解该方程，即可得到x的值。
【解析】因为$x^2 + 8$与$6x - 3$互为相反数，所以它们的和为0，据此列方程：
$x^2 + 8 + 6x - 3 = 0$
整理得：$x^2 + 6x + 5 = 0$
对左边因式分解：$(x + 1)(x + 5) = 0$
则$x + 1 = 0$或$x + 5 = 0$
解得：$x = -1$或$x = -5$
【答案】-1或-5
【知识点】相反数的性质、一元二次方程的解法
【点评】本题结合相反数的性质考查一元二次方程的求解，属于基础题型，关键是准确利用相反数的和为0建立方程，再选择合适的方法解一元二次方程，整体难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】因为$x^2 + 8$与$6x - 3$互为相反数，所以它们的和为0，据此列方程：
$x^2 + 8 + 6x - 3 = 0$
整理得：$x^2 + 6x + 5 = 0$
对左边因式分解：$(x + 1)(x + 5) = 0$
则$x + 1 = 0$或$x + 5 = 0$
解得：$x = -1$或$x = -5$
【答案】-1或-5
【知识点】相反数的性质、一元二次方程的解法
【点评】本题结合相反数的性质考查一元二次方程的求解，属于基础题型，关键是准确利用相反数的和为0建立方程，再选择合适的方法解一元二次方程，整体难度较低。
【难度系数】0.7
