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1.解下列方程：
(1)$\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x}$；
(2)$\frac{x}{2x-5}+\frac{5}{5-2x}=1$；
(3)$\frac{1}{x-2}+3=\frac{1-x}{2-x}$；
(4)$\frac{2x+9}{3x-9}=\frac{4x-7}{x-3}+2$；
(5)$\frac{2}{1-x^2}=\frac{3}{1+x}$；
(6)$\frac{1}{x-1}$
$\frac{x-2}{x+1}-1$；
(7)$\frac{2x}{x-1}+\frac{2}{x+2}=2$；
(8)$\frac{2}{x+1}=\frac{6}{x^2-1}-\frac{3}{x-1}$。
(1)$\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x}$；
(2)$\frac{x}{2x-5}+\frac{5}{5-2x}=1$；
(3)$\frac{1}{x-2}+3=\frac{1-x}{2-x}$；
(4)$\frac{2x+9}{3x-9}=\frac{4x-7}{x-3}+2$；
(5)$\frac{2}{1-x^2}=\frac{3}{1+x}$；
(6)$\frac{1}{x-1}$
$\frac{x-2}{x+1}-1$；(7)$\frac{2x}{x-1}+\frac{2}{x+2}=2$；
(8)$\frac{2}{x+1}=\frac{6}{x^2-1}-\frac{3}{x-1}$。
答案
(1)方程两边同乘以$x(x-1)$得，
$3x=4x-4$，
$\therefore x=4$，
经检验，$x=4$是原分式方程的解；
(2)方程两边同乘以$(2x-5)$得，
$x-5=2x-5$，
$\therefore x=0$，
经检验，当$x=0$时，$2x-5≠0$，
$\therefore x=0$是原分式方程的解；
(3)方程两边同乘以$(x-2)$得
$1+3(x-2)=x-1$，
$\therefore x=2$，
检验:当$x=2$时，$x-2=0$，
$\therefore$原分式方程无解；
(4)方程两边同乘以$(3x-9)$得
$2x+9=3(4x-7)+2(3x-9)$，
$\therefore x=3$，
检验:当$x=3$时，$3x-9=0$，
$\therefore$原分式方程无解；
(5)方程两边同乘以$(1-x^2)$得
$2=3(1-x)$，
$\therefore x=\frac{1}{3}$，
检验:当$x=\frac{1}{3}$时，$1-x^2≠0$，
$\therefore$原分式方程的解为$x=\frac{1}{3}$；
(6)方程两边同乘以$(x^2-1)$得
$x+1=(x-2)(x-1)-(x^2-1)$，
$\therefore 4x=2$，
$x=\frac{1}{2}$，
检验:当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2-1≠0$，
$\therefore$原分式方程的解为$x=\frac{1}{2}$；
(7)方程两边同乘以$(x-1)(x+2)$得
$2x(x+2)+2(x-1)=2(x-1)(x+2)$，
$\therefore 2x=-1$，
$x=-\frac{1}{2}$，
检验:当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x-1)(x+2)≠0$，
$\therefore$原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$；
(8)方程两边同乘以$(x^2-1)$得
$2(x-1)=6-3(x+1)$，
$\therefore x=1$，
检验:当$x=1$时，$x^2-1=0$，
$\therefore$原分式方程的无解。
$3x=4x-4$，
$\therefore x=4$，
经检验，$x=4$是原分式方程的解；
(2)方程两边同乘以$(2x-5)$得，
$x-5=2x-5$，
$\therefore x=0$，
经检验，当$x=0$时，$2x-5≠0$，
$\therefore x=0$是原分式方程的解；
(3)方程两边同乘以$(x-2)$得
$1+3(x-2)=x-1$，
$\therefore x=2$，
检验:当$x=2$时，$x-2=0$，
$\therefore$原分式方程无解；
(4)方程两边同乘以$(3x-9)$得
$2x+9=3(4x-7)+2(3x-9)$，
$\therefore x=3$，
检验:当$x=3$时，$3x-9=0$，
$\therefore$原分式方程无解；
(5)方程两边同乘以$(1-x^2)$得
$2=3(1-x)$，
$\therefore x=\frac{1}{3}$，
检验:当$x=\frac{1}{3}$时，$1-x^2≠0$，
$\therefore$原分式方程的解为$x=\frac{1}{3}$；
(6)方程两边同乘以$(x^2-1)$得
$x+1=(x-2)(x-1)-(x^2-1)$，
$\therefore 4x=2$，
$x=\frac{1}{2}$，
检验:当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2-1≠0$，
$\therefore$原分式方程的解为$x=\frac{1}{2}$；
(7)方程两边同乘以$(x-1)(x+2)$得
$2x(x+2)+2(x-1)=2(x-1)(x+2)$，
$\therefore 2x=-1$，
$x=-\frac{1}{2}$，
检验:当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x-1)(x+2)≠0$，
$\therefore$原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$；
(8)方程两边同乘以$(x^2-1)$得
$2(x-1)=6-3(x+1)$，
$\therefore x=1$，
检验:当$x=1$时，$x^2-1=0$，
$\therefore$原分式方程的无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体步骤为：1. 找到各分式分母的最简公分母；2. 方程两边同时乘最简公分母，去掉分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；3. 解所得的整式方程；4. 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，该解就是原分式方程的解；若最简公分母为0，该解是增根，原分式方程无解，检验是分式方程求解的必要步骤，不可省略。
【解析】
(1) 方程两边同乘以最简公分母$x(x-1)$得：
$3x=4(x-1)$，即$3x=4x-4$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$x(x-1)=12≠0$，故$x=4$是原分式方程的解。
(2) 原方程变形为$\frac{x}{2x-5}-\frac{5}{2x-5}=1$，两边同乘以最简公分母$(2x-5)$得：
$x-5=2x-5$
解得$x=0$
检验：当$x=0$时，$2x-5=-5≠0$，故$x=0$是原分式方程的解。
(3) 原方程变形为$\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-1}{x-2}$，两边同乘以最简公分母$(x-2)$得：
$1+3(x-2)=x-1$
展开整理得$2x=4$，解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，$x=2$是增根，故原分式方程无解。
(4) 最简公分母为$3x-9$，方程两边同乘以$3x-9$得：
$2x+9=3(4x-7)+2(3x-9)$
展开整理得$16x=48$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$3x-9=0$，$x=3$是增根，故原分式方程无解。
(5) 最简公分母为$1-x^2$，方程两边同乘以$1-x^2$得：
$2=3(1-x)$
展开整理得$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$1-x^2=\frac{8}{9}≠0$，故$x=\frac{1}{3}$是原分式方程的解。
(6) 最简公分母为$x^2-1$，方程两边同乘以$x^2-1$得：
$x+1=(x-2)(x-1)-(x^2-1)$
展开整理得$4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2-1=-\frac{3}{4}≠0$，故$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
(7) 最简公分母为$(x-1)(x+2)$，方程两边同乘以$(x-1)(x+2)$得：
$2x(x+2)+2(x-1)=2(x-1)(x+2)$
展开整理得$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x-1)(x+2)=-\frac{9}{4}≠0$，故$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
(8) 最简公分母为$x^2-1$，方程两边同乘以$x^2-1$得：
$2(x-1)=6-3(x+1)$
展开整理得$5x=5$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x^2-1=0$，$x=1$是增根，故原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=0$；(3) 无解；(4) 无解；(5) $x=\frac{1}{3}$；(6) $x=\frac{1}{2}$；(7) $x=-\frac{1}{2}$；(8) 无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，去分母法则
【点评】
本组题是分式方程解法的基础训练，覆盖了分式方程有解、增根导致无解的常见考查类型，解题关键是准确找到最简公分母，去分母时不要漏乘常数项，切记解完必须检验，避免把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体步骤为：1. 找到各分式分母的最简公分母；2. 方程两边同时乘最简公分母，去掉分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；3. 解所得的整式方程；4. 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，该解就是原分式方程的解；若最简公分母为0，该解是增根，原分式方程无解，检验是分式方程求解的必要步骤，不可省略。
【解析】
(1) 方程两边同乘以最简公分母$x(x-1)$得：
$3x=4(x-1)$，即$3x=4x-4$
解得$x=4$
检验：当$x=4$时，$x(x-1)=12≠0$，故$x=4$是原分式方程的解。
(2) 原方程变形为$\frac{x}{2x-5}-\frac{5}{2x-5}=1$，两边同乘以最简公分母$(2x-5)$得：
$x-5=2x-5$
解得$x=0$
检验：当$x=0$时，$2x-5=-5≠0$，故$x=0$是原分式方程的解。
(3) 原方程变形为$\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-1}{x-2}$，两边同乘以最简公分母$(x-2)$得：
$1+3(x-2)=x-1$
展开整理得$2x=4$，解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，$x=2$是增根，故原分式方程无解。
(4) 最简公分母为$3x-9$，方程两边同乘以$3x-9$得：
$2x+9=3(4x-7)+2(3x-9)$
展开整理得$16x=48$，解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$3x-9=0$，$x=3$是增根，故原分式方程无解。
(5) 最简公分母为$1-x^2$，方程两边同乘以$1-x^2$得：
$2=3(1-x)$
展开整理得$3x=1$，解得$x=\frac{1}{3}$
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$1-x^2=\frac{8}{9}≠0$，故$x=\frac{1}{3}$是原分式方程的解。
(6) 最简公分母为$x^2-1$，方程两边同乘以$x^2-1$得：
$x+1=(x-2)(x-1)-(x^2-1)$
展开整理得$4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2-1=-\frac{3}{4}≠0$，故$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
(7) 最简公分母为$(x-1)(x+2)$，方程两边同乘以$(x-1)(x+2)$得：
$2x(x+2)+2(x-1)=2(x-1)(x+2)$
展开整理得$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x-1)(x+2)=-\frac{9}{4}≠0$，故$x=-\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
(8) 最简公分母为$x^2-1$，方程两边同乘以$x^2-1$得：
$2(x-1)=6-3(x+1)$
展开整理得$5x=5$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x^2-1=0$，$x=1$是增根，故原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=0$；(3) 无解；(4) 无解；(5) $x=\frac{1}{3}$；(6) $x=\frac{1}{2}$；(7) $x=-\frac{1}{2}$；(8) 无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，去分母法则
【点评】
本组题是分式方程解法的基础训练，覆盖了分式方程有解、增根导致无解的常见考查类型，解题关键是准确找到最简公分母，去分母时不要漏乘常数项，切记解完必须检验，避免把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
