【典例1】如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=108°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于$D$，求证：$BC=CD+AB$.(用两种方法)


备用图

方法一(截长法):在BC上取点E,使BE=BA.
连接DE，
在△ABD和△EBD中,
$\begin{cases} AB=BE, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴∠BED=∠A=108°,
∴∠DEC=∠CDE=72°,
∴CD=CE,
∴BC=AB+CD.
方法二(补短法):在BA的延长线上取点E,使BE=BC,连接DE，
在△BED和△BCD中,
$\begin{cases} BE=BC, \\ ∠DBE=∠DBC, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△BDE≌△BDC(SAS),
∴DE=DC,
∠E=∠C=36°,
又
∵∠EAD=72°,
∴∠EDA=∠EAD=72°,
∴EA=ED,
∴BC=BE=AB+CD.

【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用截长补短法：①截长法：在较长线段BC上截取一段等于AB，再证明剩余线段等于CD即可，可结合角平分线条件构造全等三角形，再利用等腰三角形等角对等边的性质证明剩余线段相等；②补短法：将较短线段BA延长，使延长后的总长度等于BC，再证明延长的部分等于CD，同样通过构造全等三角形，结合等腰三角形的角度计算推导边相等。
【解析】
方法一（截长法）
在BC上取点E，使BE=BA，连接DE。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD。
在△ABD和△EBD中：
$\begin{cases} AB=BE, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴∠BED=∠BAC=108°。
∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠C=$\frac{180°-108°}{2}$=36°，
∴∠DEC=180°-108°=72°，∠CDE=180°-72°-36°=72°，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CD=CE，
∴BC=BE+CE=AB+CD。
方法二（补短法）
在BA的延长线上取点E，使BE=BC，连接DE。
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠DBC。
在△BED和△BCD中：
$\begin{cases} BE=BC, \\ ∠DBE=∠DBC, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△BDE≌△BDC（SAS），
∴DE=DC，∠E=∠C=36°。
∵∠BAC=108°，
∴∠EAD=180°-108°=72°，
∴∠EDA=180°-36°-72°=72°，
∴∠EDA=∠EAD，
∴EA=ED=CD，
∴BC=BE=AB+AE=AB+CD。
【答案】
方法一(截长法):在BC上取点E,使BE=BA.
连接DE，
在△ABD和△EBD中,
$\begin{cases} AB=BE, \\ ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴∠BED=∠A=108°,
∴∠DEC=∠CDE=72°,
∴CD=CE,
∴BC=AB+CD.
方法二(补短法):在BA的延长线上取点E,使BE=BC,连接DE，
在△BED和△BCD中,
$\begin{cases} BE=BC, \\ ∠DBE=∠DBC, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△BDE≌△BDC(SAS),
∴DE=DC,
∠E=∠C=36°,
又
∵∠EAD=72°,
∴∠EDA=∠EAD=72°,
∴EA=ED,
∴BC=BE=AB+CD.
【知识点】
全等三角形判定与性质、等腰三角形性质、截长补短证线段和差
【点评】
本题是线段和差证明的典型题，核心考查截长补短的几何证明思路，结合角平分线、全等三角形、等腰三角形的性质即可推导结论，掌握截长补短法的适用场景和构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

题型二 抓等角与问题中线段和差，将线段和差问题转化为等线段问题构全等
【典例2】如图，在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=AC$，过点$C$作$BC$的垂线$CD$，点$E$为$BC$上一点，且$∠1=∠2$，求证：$BE+CD=DE$。

方法一(截长法):在DE上取点M,使DM=CD.
连接BM,AM，
则△DCA≌△DMA,
∴AM=AC=AB,
∴∠ABM=∠AMB,
∵∠EMA=45°=∠ABE,
∴∠EBM=∠EMB,
∴BE=EM,
∴BE+CD=DE.

方法二(补短法):延长EB至N,使BN=CD.
连接AN,DN,则△ABN≌△ACD,
∴AN=AD,∠1=∠ANB,
∵∠AND=∠ADN,
∴∠END=∠EDN,
∴ED=EN=BE+BN=BE+CD.

【分析】
要证明线段和差关系BE+CD=DE，优先采用截长补短的解题思路：①截长法：在较长线段DE上截取一段等于CD，证明剩余线段等于BE；②补短法：延长较短线段BE，补上一段长度等于CD，证明延长后的总线段等于DE。结合已知条件∠1=∠2、AD为公共边，以及等腰Rt△ABC的边角性质，可通过构造全等三角形转化边的等量关系，再结合等腰三角形等角对等边的性质完成推导。
【解析】
方法一（截长法）
1. 在DE上取点M，使DM=CD，连接AM、AD。
2. 在$△ DCA$和$△ DMA$中：
$\begin{cases}CD=DM\\∠ 2=∠ 1\\AD=AD\end{cases}$
因此$△ DCA ≌ △ DMA$（SAS）。
3. 由全等性质得$AM=AC$，又已知$AB=AC$，所以$AM=AB$，可得$∠ ABM=∠ AMB$。
4. 等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ ABE=45°$，由全等得$∠ AMD=∠ ACD=90°+45°=135°$，因此$∠ EMA=180°-135°=45°$，即$∠ EMA=∠ ABE$。
5. 对角度做差可得$∠ ABM-∠ ABE=∠ AMB-∠ AME$，即$∠ EBM=∠ EMB$，由等角对等边得$BE=EM$。
6. 因此$DE=EM+DM=BE+CD$，得证。
方法二（补短法）
1. 延长EB至N，使BN=CD，连接AN、AD。
2. 等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ ABC=45°$，故$∠ ABN=180°-45°=135°$；$CD⊥ BC$，故$∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=45°+90°=135°$，即$∠ ABN=∠ ACD$。
3. 在$△ ABN$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC\\∠ ABN=∠ ACD\\BN=CD\end{cases}$
因此$△ ABN ≌ △ ACD$（SAS）。
4. 由全等性质得$AN=AD$，$∠ ANB=∠ 2$，结合已知$∠1=∠2$，得$∠ ANB=∠1$。
5. 由$∠ BAN=∠ CAD$，可得$∠ NAD=∠ BAN+∠ BAD=∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=90°$，即$△ AND$为等腰直角三角形，因此$∠ AND=∠ ADN=45°$。
6. 推导得$∠ END=45°-∠ ANB=45°-∠1$，$∠ EDN=45°-∠1$，故$∠ END=∠ EDN$，由等角对等边得$ED=EN$。
7. 因此$ED=EN=BE+BN=BE+CD$，得证。
【答案】
方法一(截长法):在DE上取点M,使DM=CD.
连接BM,AM，
则△DCA≌△DMA,
∴AM=AC=AB,
∴∠ABM=∠AMB,
∵∠EMA=45°=∠ABE,
∴∠EBM=∠EMB,
∴BE=EM,
∴BE+CD=DE.

方法二(补短法):延长EB至N,使BN=CD.
连接AN,DN,则△ABN≌△ACD,
∴AN=AD,∠1=∠ANB,
∵∠AND=∠ADN,
∴∠END=∠EDN,
∴ED=EN=BE+BN=BE+CD.
【知识点】
截长补短法；全等三角形判定与性质；等腰三角形性质
【点评】
本题是线段和差证明的经典题型，核心是通过截长补短的思想构造全等三角形实现边的等量转化，结合特殊三角形的角度性质推导边相等，对锻炼几何辅助线构造能力和逻辑推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.6