8. 若$|6-x|$与$|y+9|$互为相反数，则$x=$，$y=$。

由题意可得$6-x=y+9=0$,则$x=6,y=-9$.

9. (1)当$x=$时，$|x - 3| + 5$有最小值，为。
(2)当$x=$时，$9 - \left|x + \frac{1}{2}\right|$有最大值，为。

(1)当$x=3$时,$|x-3|$取最小值,为 0,$|x-3|+5$有最小值,为 5.
(2)当$x=-\frac{1}{2}$时,$\left|x+\frac{1}{2}\right|$取最小值,为 0,$9-\left|x+\frac{1}{2}\right|$有最大值,为 9.

10. 已知$|xy-2|$与$|y-1|$互为相反数，试求代数式$\frac{1}{xy} + \frac{1}{(x+1)(y+1)} + \frac{1}{(x+2)(y+2)} + \dots + \frac{1}{(x+2026)(y+2026)}$的值。

由题意得$|xy-2|+|y-1|=0$,所以$xy=2,y=1$,所以$x=2$,则原式$=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2 027×2 028}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2 027}-\frac{1}{2 028}=1-\frac{1}{2 028}=\frac{2 027}{2 028}$.

11. (2025·武汉校级月考)【定义新知】
我们知道:式子$|x-3|$的几何意义是数轴上表示有理数$x$的点与表示有理数3的点之间的距离,因此,若点$A,B$在数轴上分别表示有理数$a,b$,则$A,B$两点之间的距离$AB=|a-b|$.若点$P$表示的数为$x$,请根据数轴解决以下问题:
(1)若$|x+5|=6$,则$x$的值为.
(2)当$|x+3|+|x-1|$取最小值时,$x$可以取整数;$|x+3|-|x-1|$的最大值为.
(3)当$x=$时,$|x+2|+|x+6|+|x-1|$的值最小,最小值为.
(4)如图,一条笔直的公路边有三个居民区$A,B,C$和市民广场$O$,居民区$A,B,C$分别位于市民广场左侧5 km,右侧1 km,右侧3 km.$A$居民区有居民1 000人,$B$居民区有居民2 000人,$C$居民区有居民3 000人.现因物流需要,需要在该公路上建菜鸟驿站,用于接收这3个小区的快递,若快递的运输成本为1元/(千份·千米),那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低,最低成本是多少?

(1)$|x+5|=6$表示数轴上 x 与-5 相距6个单位长度,得$x=1$或-11.
(2)根据题意可得$|x+3|+|x-1|$的几何意义是数轴上表示有理数 x 的点与表示有理数-3 的点和与表示有理数 1 的点之间的距离之和,当$|x+3|+|x-1|$取最小值时,则 x 在-3 和 1 之间(包含-3 和 1),即 x 可以取整数-3,-2,-1,0,1;
$|x+3|-|x-1|$的几何意义是数轴上表示有理数 x 的点与表示有理数-3 的点和与表示有理数 1 的点之间的距离的差,当 x 在 1 的右边时,则$|x+3|-|x-1|$为表示有理数-3 的点与表示有理数 1 的点之间的距离,即为 4;
当 x 在 1 的左边时,则$|x+3|-|x-1|＜4$,所以$|x+3|-|x-1|$的最大值为 4.
(3)根据题意可得$|x+2|+|x+6|+|x-1|$的几何意义是数轴上表示有理数 x 的点与表示有理数-2 的点和与表示有理数-6 的点和与表示有理数 1 的点之间的距离之和,当$x=-2$时,$|x+2|+|x+6|+|x-1|$的值最小,此时$|x+2|+|x+6|+|x-1|$即为-6 和 1 之间的距离,即为 7,所以$|x+2|+|x+6|+|x-1|$的最小值为 7.
(4)设菜鸟驿站建在 x 处,根据题意可得,运输成本为$|x+5|+2|x-1|+3|x-3|$,当 x 在-5 和 3 之间时,$|x+5|+|x-3|$取最小值,当 x 在 1 和 3 之间时,$2|x-1|+3|x-3|$取最小值,所以当 x 在 1 和 3 之间时,$|x+5|+2|x-1|+3|x-3|$取最小值,可令$x=2$,得最小值为 12.所以菜鸟驿站建在点 B,点 C 之间(包含点 B,点 C)才能使总运输成本最低,最低成本是 12 元.