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1. (2026·连云港期末) 对有理数 $a, b$，定义 $G(a, b)$ 的计算方式为：当 $a ≤ b$ 时，$G(a, b) = a - b$，当 $a ＞ b$ 时，$G(a, b) = a + b$。例如，$G(1, 3) = 1 - 3 = -2$；$G(1, 0) = 1 + 0 = 1$。已知 $A, B$ 是数轴上的两个点，分别表示有理数 $a$ 和 $b$，且线段 $AB$ 的长为 3。若数 $a$ 满足 $G(a^2 + 1, -1) = 0$，设代数式 $Q = G(1, a + b) + G(2, a + 2b) + G(3, a + 3b) + G(100, a + 100b)$，则 $Q$ 的值为
-212
。答案
1. -212 解析$: G(a^2 + 1, -1) = 0, $因为$ a^2 + 1 ≥ 1, 1 ＞ -1, $所以
$G(a^2 + 1, -1) = (a^2 + 1) + (-1) = a^2 = 0, $故 a = 0; 由线段 AB 长为 3,得 |a - b| = 3, 即 |b| = 3, 所以 b = 3 或 b = -3;
当 b = 3 时,对于每个 k(1 ≤ k ≤ 100), 有 k ≤ k · b, 所以 G(k,a + kb) = G(k, 0 + 3k) = k - 3k = -2k;
当 b = -3 时, 对于每个 k(1 ≤ k ≤ 100), 有 k ＞ k · b, 故 G(k,a+kb)=G(k,0-3k)=k+(-3k)=-2k;
因此,无论 b=3 或 b=-3,均有 G(k,a+kb)=-2k;
所以代数式 Q = G(1,a+b) + G(2,a+2b) + G(3,a+3b) + G(100,a+100b) = -2×1 + (-2)×2 + (-2)×3 + (-2)×100 = -2×(1+2+3+100) = -2×106 = -212.
$G(a^2 + 1, -1) = (a^2 + 1) + (-1) = a^2 = 0, $故 a = 0; 由线段 AB 长为 3,得 |a - b| = 3, 即 |b| = 3, 所以 b = 3 或 b = -3;
当 b = 3 时,对于每个 k(1 ≤ k ≤ 100), 有 k ≤ k · b, 所以 G(k,a + kb) = G(k, 0 + 3k) = k - 3k = -2k;
当 b = -3 时, 对于每个 k(1 ≤ k ≤ 100), 有 k ＞ k · b, 故 G(k,a+kb)=G(k,0-3k)=k+(-3k)=-2k;
因此,无论 b=3 或 b=-3,均有 G(k,a+kb)=-2k;
所以代数式 Q = G(1,a+b) + G(2,a+2b) + G(3,a+3b) + G(100,a+100b) = -2×1 + (-2)×2 + (-2)×3 + (-2)×100 = -2×(1+2+3+100) = -2×106 = -212.
2. (2025·泰州期末)【探索数的奇妙规律】
小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律:对于任意一个四位数$\overline{abcd}$(定义:$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$),如果$a+b+c+d$可以被3整除,那么这个四位数可以被3整除.例如,数1 245,$1+2+4+5=12$,12能被3整除,则1 245能被3整除;数5 489,$5+4+8+9=26$,26不能被3整除,则5 489不能被3整除.
(1)根据规律,判断:①2 025;②4 786;③9 543,其中可以被3整除的是
(2)如果$a+b+c+d$可以被3整除,试说明四位数$\overline{abcd}$可以被3整除;
(3)判断$\overline{abcd}-\overline{cdab}$是否可以被99整除,并说明理由.
小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律:对于任意一个四位数$\overline{abcd}$(定义:$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$),如果$a+b+c+d$可以被3整除,那么这个四位数可以被3整除.例如,数1 245,$1+2+4+5=12$,12能被3整除,则1 245能被3整除;数5 489,$5+4+8+9=26$,26不能被3整除,则5 489不能被3整除.
(1)根据规律,判断:①2 025;②4 786;③9 543,其中可以被3整除的是
①③
(填序号);(2)如果$a+b+c+d$可以被3整除,试说明四位数$\overline{abcd}$可以被3整除;
(3)判断$\overline{abcd}-\overline{cdab}$是否可以被99整除,并说明理由.
答案
2. (1)①③ 解析:①2 025,2+0+2+5=9,9能被3整除,则2 025能被3整除；
②4 786,4+7+8+6=25,25不能被3整除,则4 786不能被3整除；
③9 543,9+5+4+3=21,21能被3整除,则9 543能被3整除；故可以被3整除的是①③.
(2)因为 $a+b+c+d$ 可以被 3 整除,故设 $a+b+c+d=3k$, 对于四位数$\overline{abcd}$,$\overline{abcd}=1 000a+100b+10c+d$,则 $1 000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3(333a+33b+3c)+a+b+c+d$,将 $a+b+c+d=3k$ 代入,得$\overline{abcd}=3(333a+33b+3c)+3k=3(333a+33b+3c+k)$.
因为 $3(333a+33b+3c+k)$ 能被 3 整除,所以$\overline{abcd}$能被3整除.
(3)可以.理由如下:对于四位数$\overline{abcd}$,$\overline{abcd}=1 000a+100b+10c+d$,对于四位数$\overline{cdab}$,$\overline{cdab}=1 000c+100d+10a+b$,故$\overline{abcd}-\overline{cdab}=1 000a+100b+10c+d-(1 000c+100d+10a+b)=990a+99b-990c-99d=99(10a+b-10c-d)$,因为 $99(10a+b-10c-d)$ 能被 99 整除,故$\overline{abcd}-\overline{cdab}$能被99整除.
②4 786,4+7+8+6=25,25不能被3整除,则4 786不能被3整除；
③9 543,9+5+4+3=21,21能被3整除,则9 543能被3整除；故可以被3整除的是①③.
(2)因为 $a+b+c+d$ 可以被 3 整除,故设 $a+b+c+d=3k$, 对于四位数$\overline{abcd}$,$\overline{abcd}=1 000a+100b+10c+d$,则 $1 000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3(333a+33b+3c)+a+b+c+d$,将 $a+b+c+d=3k$ 代入,得$\overline{abcd}=3(333a+33b+3c)+3k=3(333a+33b+3c+k)$.
因为 $3(333a+33b+3c+k)$ 能被 3 整除,所以$\overline{abcd}$能被3整除.
(3)可以.理由如下:对于四位数$\overline{abcd}$,$\overline{abcd}=1 000a+100b+10c+d$,对于四位数$\overline{cdab}$,$\overline{cdab}=1 000c+100d+10a+b$,故$\overline{abcd}-\overline{cdab}=1 000a+100b+10c+d-(1 000c+100d+10a+b)=990a+99b-990c-99d=99(10a+b-10c-d)$,因为 $99(10a+b-10c-d)$ 能被 99 整除,故$\overline{abcd}-\overline{cdab}$能被99整除.
3. (2026·苏州期末)综合与实践
定义:我们称关于x的方程$ax+b=0$与方程$bx+a=0$($a,b$均为不等于0的常数)互为“轮换方程”,如:方程$2x+4=0$与方程$4x+2=0$互为“轮换方程”.
(1)判断:①$3x+7=0$与$7x+3=0$;②$-6x+3=0$与$3x-6=0$;③$-11x-1=0$与$x-11=0$;其中互为“轮换方程”的有
(2)若关于$x$的方程$5x+m+3=0$与方程$4x+n-2=0$互为“轮换方程”,求$m^n$的值;
(3)若关于$x$的方程$5x-p=0$与其“轮换方程”的解都是整数,$p$也为整数,对于多项式$A=6x^2-2kx+8$和$B=-2(3x^2-\frac{3}{2}x+k)$,不论$x$取多少,$A$与$B$的和始终等于整数$p$,求常数$p$的值.
定义:我们称关于x的方程$ax+b=0$与方程$bx+a=0$($a,b$均为不等于0的常数)互为“轮换方程”,如:方程$2x+4=0$与方程$4x+2=0$互为“轮换方程”.
(1)判断:①$3x+7=0$与$7x+3=0$;②$-6x+3=0$与$3x-6=0$;③$-11x-1=0$与$x-11=0$;其中互为“轮换方程”的有
①②
;(填序号)(2)若关于$x$的方程$5x+m+3=0$与方程$4x+n-2=0$互为“轮换方程”,求$m^n$的值;
(3)若关于$x$的方程$5x-p=0$与其“轮换方程”的解都是整数,$p$也为整数,对于多项式$A=6x^2-2kx+8$和$B=-2(3x^2-\frac{3}{2}x+k)$,不论$x$取多少,$A$与$B$的和始终等于整数$p$,求常数$p$的值.
答案
3. (1)①② 解析:由题可知,关于x的方程$ax+b=0$与方程$bx+a=0$(a,b均为不等于0的常数)互为“轮换方程”,判断得①②符合题意.
(2)因为关于x的方程$5x+m+3=0$与方程$4x+n-2=0$互为“轮换方程”,所以 $m+3=4$,$n-2=5$,解得 $m=1$,$n=7$,所以 $m^n=1^7=1$.
(3)关于x的方程$5x-p=0$的“轮换方程”为$-px+5=0$,由方程$5x-p=0$得$x=\frac{p}{5}$,由方程$-px+5=0$得$x=\frac{5}{p}$,因为关于x的方程$5x-p=0$与其“轮换方程”的解都是整数,p也为整数,所以 $p=5$ 或 $-5$,$A+B=6x^2-2kx+8-2(3x^2-\frac{3}{2}x+k)=6x^2-2kx+8-6x^2+3x-2k=(3-2k)x+8-2k$. 因为多项式 $A=6x^2-2kx+8$ 和 $B=-2(3x^2-\frac{3}{2}x+k)$,不论x取多少,A与B的和始终等于整数p,所以 $3-2k=0$,$8-2k=p$,解得 $k=\frac{3}{2}$,$p=5$,综上分析可知,常数p的值为5.
(2)因为关于x的方程$5x+m+3=0$与方程$4x+n-2=0$互为“轮换方程”,所以 $m+3=4$,$n-2=5$,解得 $m=1$,$n=7$,所以 $m^n=1^7=1$.
(3)关于x的方程$5x-p=0$的“轮换方程”为$-px+5=0$,由方程$5x-p=0$得$x=\frac{p}{5}$,由方程$-px+5=0$得$x=\frac{5}{p}$,因为关于x的方程$5x-p=0$与其“轮换方程”的解都是整数,p也为整数,所以 $p=5$ 或 $-5$,$A+B=6x^2-2kx+8-2(3x^2-\frac{3}{2}x+k)=6x^2-2kx+8-6x^2+3x-2k=(3-2k)x+8-2k$. 因为多项式 $A=6x^2-2kx+8$ 和 $B=-2(3x^2-\frac{3}{2}x+k)$,不论x取多少,A与B的和始终等于整数p,所以 $3-2k=0$,$8-2k=p$,解得 $k=\frac{3}{2}$,$p=5$,综上分析可知,常数p的值为5.
