(1) $125×17×8=17×(125×8)$运用了()。

A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律和乘法结合律

(1)C

【分析】
我们先回忆乘法交换律和乘法结合律的核心特征：乘法交换律的核心是改变乘数的前后位置，乘法结合律的核心是通过括号调整运算顺序。首先观察等式左右两边的变化：左边原式是125×17×8，右边是17×(125×8)，首先看乘数的位置变化，原本排在第二位的17换到了第一位，原本第一位的125移到了括号内，说明125和17交换了位置，符合交换律的特点；之后又把125和8优先结合计算，改变了原本从左到右的运算顺序，符合结合律的特点，两个定律都用到了，就能选出正确答案。
【解析】
1. 先明确两个运算律的定义：
乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为$a× b = b× a$。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为$(a× b)× c = a×(b× c)$。
2. 拆解等式的变化过程：
原式$125×17×8$首先交换因数125和17的位置，得到$17×125×8$，这一步运用了乘法交换律；
之后给后两个因数125和8加上括号优先计算，得到$17×(125×8)$，这一步运用了乘法结合律。
因此整个式子同时运用了乘法交换律和乘法结合律。
【答案】
C
【知识点】
乘法交换律；乘法结合律
【点评】
本题是基础的乘法运算律辨识题，易错点是很多同学只注意到了括号改变运算顺序的结合律特征，忽略了因数位置交换的交换律特征，解题时要分别从「因数位置是否变化」和「运算顺序是否变化」两个维度判断，避免漏选。
【难度系数】
0.7

(2) 新素养 符号意识 下列能表示乘法分配律的是()。

A. $☆×□=□×☆$
B.
C.

(2)B

【分析】
首先我们先回忆乘法分配律的核心定义：两个数的和与同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变，形式为$a×(b+c)=a×b+a×c$。接下来逐个分析选项：首先看选项A，两个因数交换位置积不变，对应乘法交换律，不符合要求；再看选项B，用两个拼接的长方形的面积和来表示等式，正好匹配乘法分配律的形式；最后看选项C，两个线段分别表示$b+a$和$a+b$，对应加法交换律，也不符合要求，由此就能选出正确答案。
【解析】
我们逐一判断每个选项对应的运算律：
1. 选项A：$☆×□=□×☆$，体现的是两个因数交换位置后乘积不变，属于乘法交换律，不符合乘法分配律的要求。
2. 选项B：图中两个小长方形的宽均为$a$，长分别为$b$和$c$，两个小长方形的面积之和为$a×b + a×c$；将二者拼接成大长方形后，大长方形的宽为$a$，总长度为$b+c$，大长方形面积为$a×(b+c)$，二者面积相等，即$a×b+a×c=a×(b+c)$，完全符合乘法分配律的定义。
3. 选项C：两段线段分别表示长度$b+a$和$a+b$，二者长度相等，体现的是加法交换律$a+b=b+a$，不符合乘法分配律的要求。
因此能表示乘法分配律的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
乘法分配律，乘法交换律，加法交换律
【点评】
本题结合符号表征、图形表征两种形式考察常见运算律的辨析，既考查学生对乘法分配律概念的准确掌握，也通过数形结合的方式帮助学生理解运算律的几何意义，同时区分易混淆的交换律和分配律，强化对不同运算律本质的认知。
【难度系数】
0.8

2. 下面每组的两道算式是否相等？把你发现的规律用字母表示出来。
$12×(8-5)$ ○ $12×8-12×5$
$(40-4)×25$ ○ $40×25-4×25$
$15×7-5×7$ ○ $(15-5)×7$
我发现：。

2. = = = $a×c-b×c=(a-b)×c$

【分析】
我们可以按照两步思路来解题：第一步先分别计算每组两道算式的结果，对比得数判断是否相等；第二步观察这几组相等算式的共同特征，总结出通用规律，再用字母替代具体数字把规律表示出来。计算的时候注意有括号先算括号内的，没有括号的乘减运算先算乘法再算减法，就能得到准确结果。
【解析】
1. 计算第一组算式：
左边：$12×(8-5)=12×3=36$
右边：$12×8-12×5=96-60=36$
两边结果相等，填$=$。
2. 计算第二组算式：
左边：$(40-4)×25=36×25=900$
右边：$40×25-4×25=1000-100=900$
两边结果相等，填$=$。
3. 计算第三组算式：
左边：$15×7-5×7=105-35=70$
右边：$(15-5)×7=10×7=70$
两边结果相等，填$=$。
观察三组算式可以发现：两个数的差和同一个数相乘，等于把两个数分别同这个数相乘，再把两个积相减，结果不变，用字母表示为$a×c-b×c=(a-b)×c$。
【答案】
$=$；$=$；$=$；$a×c-b×c=(a-b)×c$
【知识点】
乘法分配律；四则运算
【点评】
本题通过计算对比引导学生自主探究乘法分配律的减法变式，跳出仅掌握加法形式乘法分配律的思维局限，帮助学生更全面地理解乘法分配律的内涵，为后续简便计算的灵活运用打下基础。
【难度系数】
0.8

3. 怎样算简便就怎样算。
$45×18$ $15×(13×8)$
$125×(4×8)×25$ $82×99$
$43×99+43$ $87×101-87$

3. 810 1560 100000 8118 4300
8700

【分析】
这道题要求用简便方法计算，核心思路是利用乘法运算定律进行凑整，把复杂的乘法转化为整十、整百、整千数的口算，大幅降低计算难度。解题时先观察每个算式的数字特征：①遇到25优先找4配对、遇到125优先找8配对，借助乘法交换律、结合律凑整；②遇到接近整十整百的数比如99、101，把它转化为整百数加/减一个数的形式，用乘法分配律展开计算；③形如a×b+a、a×b-a的算式，逆用乘法分配律提取公因数，凑出整百数再计算，逐个处理6个算式即可快速得到结果。
【解析】
我们逐个用简便方法计算：
1. 计算$45×18$
把18拆分为$2×9$，利用$45×2=90$凑整：
$45×18$
$=45×2×9$
$=90×9$
$=810$
2. 计算$15×(13×8)$
去括号后用乘法交换律，先算$15×8=120$凑整：
$15×(13×8)$
$=15×8×13$
$=120×13$
$=1560$
3. 计算$125×(4×8)×25$
分组凑整，125配对8、25配对4，用乘法交换律和结合律：
$125×(4×8)×25$
$=(125×8)×(4×25)$
$=1000×100$
$=100000$
4. 计算$82×99$
把99转化为$100-1$，用乘法分配律展开：
$82×99$
$=82×(100-1)$
$=82×100 - 82×1$
$=8200 - 82$
$=8118$
5. 计算$43×99+43$
逆用乘法分配律，把末尾的43看成$43×1$，提取公因数43：
$43×99+43$
$=43×99 + 43×1$
$=43×(99+1)$
$=43×100$
$=4300$
6. 计算$87×101-87$
逆用乘法分配律，把末尾的87看成$87×1$，提取公因数87：
$87×101-87$
$=87×101 - 87×1$
$=87×(101-1)$
$=87×100$
$=8700$
【答案】
810 1560 100000 8118 4300 8700
【知识点】
乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律
【点评】
本题是小学阶段典型的乘法简便运算练习题，重点考察学生对凑整思想的理解，以及乘法三大运算定律的正向、逆向灵活运用，避免复杂的竖式硬算，能有效提升计算速度和准确率，易错点是逆用分配律时漏看隐含的“×1”，以及分组凑整时括号使用错误。
【难度系数】
0.8

4. 李芳每周花4天时间看书,连续看了3周,看完了一本故事书。李芳每天看25页,这本故事书有多少页？

4. $25×4×3=300$(页)
答:这本故事书有300页。

【分析】
这是一道典型的连乘实际应用题，我们可以从两个角度梳理解题思路：第一种思路，先算出李芳每周看书的总页数，已知她每天看25页，每周花4天看书，用每天看的页数乘每周看书的天数就能得到每周看的页数，再乘总共看书的3周，就能算出整本书的总页数；第二种思路，先算出李芳看完这本书一共花了多少天，每周看4天，连续看3周，用每周看书天数乘周数得到总看书天数，再乘每天看的25页，同样能得到总页数，注意不要误用一周7天的常识来计算，题目已经明确给出每周仅花4天看书。
【解析】
步骤1：整理已知条件：每日看书25页，每周看书4天，累计看书3周。
方法一：先计算每周看书页数，再推导总页数
每周看书页数：$25×4 = 100$（页）
全书总页数：$100×3 = 300$（页）
列综合算式：$25×4×3=300$（页）
方法二：先计算累计看书总天数，再推导总页数
累计看书总天数：$4×3 = 12$（天）
全书总页数：$25×12 = 300$（页）
答：这本故事书有300页。
【答案】
这本故事书有300页
【知识点】
整数连乘运算，乘法实际应用
【点评】
本题属于小学低年级基础应用题，核心是考察学生梳理多步数量关系的能力，易错点是部分学生容易忽略题干给出的“每周花4天看书”的明确条件，误用一周7天的常识计算，解题时优先提取题干给出的限定条件即可轻松得分。
【难度系数】
0.9

5. 李老师准备用600元选购12副相同的乒乓球拍和12盒相同的乒乓球,怎样选择费用最接近600元？

5. $600÷12=50$(元),$41+8=49$(元),$41+$
$12=53$(元),$29+8=37$(元),$29+12=$
41(元) 因为49元最接近50元,所以
买41元/副的乒乓球拍和8元/盒的乒
乓球最合适。

【分析】
我们可以这样梳理解题思路：题目要求选购12副相同的乒乓球拍和12盒相同的乒乓球，总费用要最接近600元。由于球拍和乒乓球的购买数量都是12，我们可以把1副球拍+1盒乒乓球看作1套组合，先算出刚好花完600元时单套组合的参考价格，这样就不用重复计算12份的总价，大幅简化运算。接下来枚举所有球拍和乒乓球的组合，计算每套的价格，对比哪个单套价格最接近算出的参考价，对应的组合总费用就最接近600元，同时直接排除总价超过600元的不合理组合即可。
【解析】
1. 计算单套组合的参考目标价
因为一共要购买12套（1副球拍+1盒乒乓球），总预算为600元，若刚好花完600元，单套的价格为：
$600 ÷ 12 = 50$（元）
2. 枚举所有合理组合的单套价格
搭配41元/副的球拍：
和8元/盒的乒乓球组合：$41 + 8 = 49$（元）
和12元/盒的乒乓球组合：$41 + 12 = 53$（元）
搭配29元/副的球拍：
和8元/盒的乒乓球组合：$29 + 8 = 37$（元）
和12元/盒的乒乓球组合：$29 + 12 = 41$（元）
搭配58元/副的球拍：
即使选最便宜的8元/盒的乒乓球，单套价格为$58+8=66$元，12套总价为792元，远超过600元，直接排除该类组合。
3. 对比差值选出最优方案
对比各有效单套价格和50元的差值：49元差1、53元差3、37元差13、41元差9，其中49元最接近50元，对应的总费用为$49×12=588$元，是所有组合中最接近600元的。
【答案】
买41元/副的乒乓球拍和8元/盒的乒乓球，总费用最接近600元。
【知识点】
总价数量单价关系，最优方案选择，整数四则运算
【点评】
本题是贴近生活的购物优化应用题，巧妙利用两类商品购买数量相同的特点，把总费用的比较转化为单套组合价格的比较，大幅降低了计算量，同时考察了学生筛选不合理方案的能力，帮助学生建立用优化思维解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7

6. 用简便方法计算下面各题。
$450×51+490×45$ $999×5+111×55$

6. 45000 11100

【分析】
这两道题都可以利用乘法分配律进行简便计算，核心思路是先通过积不变的规律或者数的拆分，构造出两个乘法算式中相同的公因数，再提取公因数简化运算：
1. 第一题观察到450和45是10倍的关系，我们可以把490×45根据积不变规律，转化为49×10×45=49×450，这样两个项就有共同因数450，之后用乘法分配律把450提取出来，计算剩下的51+49的和，就能快速得出结果。
2. 第二题观察到999是111的9倍，我们可以把999拆分成111×9，这样原式就变成111×9×5 + 111×55，先算出9×5=45，两个项就有共同因数111，提取公因数后计算45+55的和，就能快速得到结果。
【解析】
1. 计算$450×51+490×45$
第一步：根据积不变的规律，一个因数缩小10倍，另一个因数扩大10倍，积不变，将$490×45$变形为$49×10×45 = 49×450$
原式改写为：
$=450×51 + 450×49$
第二步：提取公因数450，利用乘法分配律$a×b + a×c = a×(b+c)$
$=450×(51+49)$
$=450×100$
$=45000$
2. 计算$999×5+111×55$
第一步：将999拆分为$111×9$，代入原式：
$=111×9×5 + 111×55$
第二步：先计算$9×5=45$，得到：
$=111×45 + 111×55$
第三步：提取公因数111，利用乘法分配律：
$=111×(45+55)$
$=111×100$
$=11100$
【答案】
45000；11100
【知识点】
乘法分配律，积不变规律，四则简便运算
【点评】
这两道题是乘法分配律的典型变式题，没有直接给出相同公因数，需要学生通过观察数字特征，利用积不变性质或者数的拆分构造出相同公因数，避免复杂硬算，能够有效考察学生对乘法分配律的灵活掌握程度和数感。
【难度系数】
0.6