【生活情境】如图，直线a，b表示一条河的两岸，且$a// b$.在河的两岸有A，B两个村庄，现要在这条河上建一座桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示.

【问题提出】试问桥CD应建在何处，才能使村庄A到村庄B的路程最短. 请在图中画出示意图，并说明理由.
【问题分析】先确定$AA_1=CD$，且$AA_1// CD$，连结$BA_1$，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置.
【问题解决】
【问题反思】本题是一道运用两点之间线段最短、平移的基本性质的实际问题.

示意图见，作法：先作$AA_1$，使$AA_1$等于桥的长度，且$AA_1// CD$，连结$BA_1$，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置。

【分析】
要使A到B的路程最短，首先明确桥CD垂直河岸，CD长度为固定河宽，总路程为AD+CD+BC，因此只需保证AD+BC的和最小即可。我们可以利用平移的方法转化线段：将点A沿垂直河岸的方向平移河宽的长度得到点A₁，由平移性质可知AD=A₁C，此时AD+BC转化为A₁C+BC，根据“两点之间线段最短”，连接A₁B，与河岸a的交点即为C点，再过C作CD垂直河岸b，就能得到所求的桥的位置。
【解析】
作法如下：
1. 过点A作河岸b的垂线，在垂线上截取AA₁，使AA₁的长度等于河宽（即桥的长度），此时AA₁与河岸垂直，和桥的方向一致；
2. 连接A₁B，交河岸a于点C；
3. 过点C作CD⊥河岸b，垂足为D，线段CD就是所求的桥的位置。
理由：由平移的性质可知，AA₁//CD且AA₁=CD，因此AD=A₁C，总路程为AD+CD+BC=A₁C+BC+CD=A₁B+CD。因为CD长度固定，根据两点之间线段最短，A₁B是点A₁到B的最短路径，因此此时A到B的总路程最短。
【答案】
示意图见，作法：先作$AA_1$，使$AA_1$等于桥的长度，且$AA_1// CD$，连结$BA_1$，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置。
【知识点】
平移的性质、两点之间线段最短、最短路径问题
【点评】
本题是几何知识结合生活实际的典型应用题，核心是通过平移剥离固定长度的桥的部分，将待求的最短路径转化为两点之间的连线，既考查了平移性质的灵活应用，也强化了对最短路径原理的理解，能有效锻炼解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6